Las Funciones Trigonométricas. Sección 5.5 Más sobre gráficas trigonométricas

Transcripción

1 5 Las Funciones Trigonométricas Sección 5.5 Más sobre gráficas trigonométricas

2 Introduction Las gráficas trigonométricas siguen las mismas reglas de transformación en el plano que las gráficas de otras funciones. Por ejemplo, para graficar f(x) = a sin x ó g(x) = a cos x, podemos tomar las coordenadas de y = sin x ó a. y = cos x y multiplicarlos por

3 Gráfica de y = sin (x) Periodo = π Podemos observar que en ambos casos el largo de un ciclo (o sea el periodo de la función) es π.

4 Gráfica de y = 1 sin (x) Periodo = π Podemos observar que en ambos casos el largo de un ciclo (o sea el periodo de la función) es π.

5 Amplitud Para cualquier a 0, la gráfica de y = a sin x tiene la misma forma y los mismos ceros (int-x) que la gráfica del y = sin x. El signo y el valor absoluto de a determinan si se refleja la gráfica de y = sin x y la cantidad de estiramiento (o encogimiento) que ésta sufre, respectivamente.

6 Amplitud (cont.) La amplitud de la gráfica o, de manera equivalente, la amplitud de la función f (x) = a sin (x) está dada por a. Gráficamente, es y max y min

7 Ejemplo Construya la gráfica de y = 3cos x y determine su amplitud. Periodo = π Podemos observar que en ambos casos el largo de un ciclo (o sea el periodo de la función) es π.

8 Desplazamiento vertical Ahora consideramos y = sin x + d y = cos x + d Nota que la amplitud de ambas gráficas es Amplitud = a = 1 Partimos de las tablas básicas que hemos usado anteriormente, ya que según las expresiones, debemos buscar el valor de sin x (o cos x) y luego sumarle d.

9 Gráfica de y = cos (x) + 3 Periodo = π Podemos observar que en ambos casos el largo de un ciclo (o sea el periodo de la función) es π.

10 Identifique la gráfica de g(x) = sin (x) - Cuál es la amplitud de la gráfica D?

11 Amplitud y Periodo Ahora consideramos y = a sin bx y y = a cos bx Para a y b real, diferente de cero Amplitud = a Si b > 0, podemos identificar el periodo de la gráfica como P = π b.

12 Ejemplo Determinar el periodo y la amplitud de y = 3 sin x. Luego, construya su gráfica. Solución: Usando a = 3 y b = tenemos que Amplitud = 3 Periodo = π b = π = π

13 Solución (cont) x 0 π 8 π 4 3π 8 π 5π 8 3π 4 7π 8 π 3sinx

14 Ejemplo Determinar la amplitud y el period y trace la gráfica de y = cos 1 x Solución: amplitud periodo Entonces, hay un ciclo completo de amplitud en el intervalo [0, 4π].

15 Solución (cont) x 0 π π 3π π 5π 3π 7π 4π cos(0.5x)

16 Ejemplo Hallar la amplitud y el periodo de y = sin ( 3x), luego trace su gráfica. Solución: Primeramente debemos notar que como sin ( 3x), sin(3x), una expresión equivalente para la función es amplitud = y = sin (3x) Periodo = Como b = 3, el periodo es, Hay un ciclo completo de la gráfica que tiene amplitud igual a en el intervalo. El hecho de que a<0 implica que la gráfica es una reflexión sobre el eje de x.

17 Solución (cont) Hay un ciclo completo de la gráfica en el intervalo 0, π 3, x 0 π 6 π 3 π π 3 -sin(3x) 0-0 0

18 Ejemplo Trazar la gráfica de y = sin (x) + 3. Es importante notar que esto es diferente a y = sin x + 3 Es una traslación vertical de y = sin x, 3 unidades

19 Obtener la ecuación de la forma Amplitud: Los máximos y mínimos de y son 4 y 4, respectivamente. Por lo tanto, la amplitud = 4. Pero como a<0, trataremos la gráfica como una reflexión y usaremos a = - 4 Periodo: Como un ciclo de la gráfica del coseno ocurre en el intervalo [0,], el periodo es. Por lo tanto, f(x) = a cos(bx) para a < 0, b > 0 π = b b = π Por lo tanto una ecuación podría ser: y = - 4 cos (π x)

20 Cambio de fase Consideraremos la gráfica de Igual que antes, y = a sin(bx + c). amplitud es a periodo es Además, cambio de fase c b π b (Esto es el desplazamiento horizontal.) Un intervalo que contiene un ciclo de la gráfica es

21 Ejemplo Para y = 3sin x + π Hallar o la amplitud o el periodo o el cambio de fase o un intervalo que contiene un ciclo de la gráfica o trace un ciclo completo de la gráfica. Incluya una tabla de valores que muestre los interceptos, el mínimo y el máximo de la función en ese intervalo.

22 Solución (cont) Para y = 3sin x + π la amplitud es 3 el periodo es π el cambio de fase c = b = π π = π 1 = π 4 Un intervalo que contiene un ciclo de la gráfica se puede encontrar en:

23 Solución (cont) Una tabla de valores que muestre los interceptos, el mínimo y el máximo de la función en este intervalo es: x y π π 0 4 π -3 3π 0 4 3π 4 π 4 4 = π 4

24 Solución (cont. sin calculadora grafica) Si x = π 4 entonces Si x = 0 entonces Si x = π 4 entonces x π 4 y 0 y = 3sin x + π y = 3sin π 4 + π y = 3sin π 4 + π y = 3sin (0) + π y = 3 sin 0 + π y = 3 sin π y = 3sin π 4 + π y = 3sin π 4 + π y = 3 sin π + π π π 0 4 π -3 3π 0 4 y = 3 sin π + π y = 3 y = 3sin π = 0 y = 3sin 0 = 0

25 Solución (cont) Un ciclo de la gráfica

26 Solución (cont) y = 3 sin(x)

27 Obtener una ecuación de la forma y = a sin (bx + c) Obtendremos la ecuación para a > 0, b > 0, y el valor real positivo menor para c. Amplitud: Los máximos y mínimos de y son 5 y 5, respectivamente por lo tanto a= 5 Periodo: Como un ciclo de la gráfica ocurre en el intervalo [ 1, 3], el periodo es 3 ( 1) = 4 Por lo tanto, podemos hallar b: Note que la escala NO es trigonométrico.

28 Obtener la ecuación de la forma y = a sin (bx + c) La gráfica dada se ha obtenido desplazando la gráfica y = 5sin πx hacia la izquierda una unidad. Por lo tanto, c b = 1 La ecuación de la gráfica es y 5sin x. Cambio de fase

29 Ejemplo Obtener una ecuación de la forma y = a sin (bx + c)+d Obtendremos la ecuación para a > 0, b > 0, el valor real positivo más pequeño para c, y d igual al desplazamiento vertical Amplitud: la gráfica muestra desplazamienlto vertical. Por lo tanto, la amplitud está dada por y max y min = 3 ( 1) = 4 = a=

30 Obtener la ecuación de la forma y = a sin (bx + c)+d Periodo: Un ciclo de la gráfica ocurre en el intervalo [ π, π]. Entonces el periodo es π π = π Ejemplo (cont) Por lo tanto, π b = π 4π = πb b = 4 Cambio de fase: No hay cambio de fase Desplazamiento vertical : es de 1 unidad

31 Obtener la ecuación de la forma y = a sin (bx + c)+d Ejemplo (cont) En resumen: a= b= 4 c= 0 d= 1 Por lo tanto la ecuación podría ser: y = sin (4x) + 1

32 Hallar una ecuación de la forma y = a cos(bx + c)

33 Hallar la ecuación de la forma y = a cos(bx + c) Amplitud = a = y max y min (solución) π b = π π = πb a = 3 4 cambio de fase es π hacia la izquierda 3 c b = π 3 c = π 3 c = π 3 periodo= π 3 π 3 = π

34 Hallar la ecuación de la forma y = a cos(bx + c) (solución continuada) En resumen: a = 3 4 b = c = π 3 Por lo tanto, la ecuación es: y = 3 4 cos x + π 3