ESTUDIO Y TIPOS DE FUNCIONES

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1 ESTUDIO Y TIPOS DE FUNCIONES I. Conceptos fundamentales de una función Una función es la relación entre dos magnitudes, de modo que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Las funciones poseen diversos conceptos que hay que analizar: Dominio: valores de x para los que existe función. Recorrido: valores de y para los que existe función. Corte con el eje X: y = 0 Corte con el eje Y: x = 0 Crecimiento: valores de x en los cuales crece la función. Decrecimiento: valores de x en los cuales decrece la función. Constancia: valores de x en los cuales la función es constante. Punto máximo relativo: puntos mayores de la función; a ambos lados debe haber función. Punto máximo absoluto: único punto mayor de toda la función. Punto mínimo relativo: puntos menores de la función: a ambos lados debe haber función. Punto mínimo absoluto: único punto menor de toda la función. Continuidad: sin saltos. Simetría: igualdad o semejanza a partir de un punto. II. Dominio de una función Función Dominio f(x) = x 2 + 3x 5 f(x) = 5 f(x) = 2 x 3 f(x) = x f(x) = 1 {0} x Excluir el valor que al operar provoque error f(x) = x + 1 x ϵ [-1, ) x + 1 0; x 1 Para realizar estas operaciones y determinar el dominio hay que hallar el valor de la inecuación f(x) = x x ϵ (-, -1] ᵕ [1, ) x Para operar tenemos que resolver primero la inecuación que tenemos de radicando f(x) = 2x 1 x ϵ (-1, ) x+1 x + 1 0; x x Resolvemos la operación con un sistema de inecuaciones III. Recorrido de una función Función Gráfica Recorrido f(x) = x 2 y ϵ R

2 f(x) = 1 x y ϵ R-{0} f(x) = 5 y ϵ 5 f(x) = x + 3 y ϵ [0, ) f(x) = x 3 y ϵ R f(x) = 1 x 2 y ϵ R-{0} f(x) = x 2 y ϵ [0, ) f(x) = x 2 4 y ϵ [-4, )

3 f(x) = 1 3 x y ϵ R {0} f(x) = e x y ϵ (0, ) IV. Puntos de corte con los ejes Punto de corte con el eje X (y = 0) Ej.: f(x) = x 2 ; y = x 2 ; x 2 = 0; x = 0 P.C.E OX = (0,0) Punto de corte con el eje Y (x = 0) Ej.: f(x) = x 2 ; y = x 2 ; y = 0 2 ; y = 0 P.C.E OY = (0,0) V. Simetría y periodicidad Simetría par: f(x) = f(-x) Ej.: f(x) = x 4 ; f(-x) = (-x) 4 ; f(-x) = x 4 f(x) = f(-x) SIM. PAR Simetría impar: f(x) = f(x) Ej.: f(x) = x 3 ; f(-x) = (-x) 3 f(x) = f(x) SIM. IMPAR Una función es periódica cuando se repite concierto periodo. Ej.: la función de sin(x) es periódica. VI. Composición de funciones f g x = f g(x) Ej.: f x = x + 1 g x = x 2 g f x = g f x = g x + 1 = (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1

4 VII. Función recíproca Valor con el que al componer con f(x) obtenemos el elemento neutro: x. Ej.: f x = x g x = x 2 f g x = f g x = f x 2 = x 2 = x Para obtener cualquier función recíproca seguimos los siguientes pasos: Paso Operación Función original f x = 2x + 5 Sustituir f(x) por y y = 2x + 5 Intercambiar y por x x = 2y + 5 Despejar y Sustituir y por f -1 (x) y = x 5 2 f 1 x = x 5 2 VIII. Función definida a trozos Dadas ecuaciones con los intervalos que ocupan en una gráfica, creamos tablas con los valores a representar y los colocamos en una gráfica. 2x + 4 si x 1 f(x)= 4 si x IX. Asíntotas Existen asíntotas horizontales representadas con y = a. Siendo a el punto al que se acercan. Existen asíntotas verticales representadas con x = a. Siendo a el punto al que se acercan. Existen asíntotas oblicuas representadas por la recta que une los puntos a los que se acercan. Asíntota horizontal y = 1. Asíntota vertical x = 1.

5 Asíntota vertical x = 1. Asíntota oblicua y = x 2. Para poder saber si existen asíntotas sin observar el dibujo debemos utilizar diversas operaciones. Asíntota horizontal: existirá en la solución de alguno de los siguientes límites (aparte, el grado del denominador de la función ha de ser mayor o igual al del numerador). lim n f(x) ó lim n f x Ej.: f(x) = 5 A.H y = 0 x 3 5 lim = 5 = 0 n x 3 Asíntota vertical: existirá en el valor k del límite si la solución de éste es igual a infinito. lim n k f x = ± ó lim n k f x = ± ó lim n k + f x = ± 2x+1 Ej.: f(x) = A.V x = 1 x 2 +6x 7 2x+1 lim = 2+1 n 1 x 2 +6x 7 = 3 = Asíntota oblicua: el grado del numerador tiene que ser una unidad mayor que el grado del denominador. Tras haber analizado la función y ver que cumple esta condición se realiza la división polinómica de la función. X. Hipérbolas y = k x Siendo k una constante positiva se dibujará en el 1 er y 3 er cuadrante y si es negativa en el 2º y 4º. K marcará el número en x e y en el que se iniciará y finalizará la curva (punto de inflexión). Ej.: f(x) = 2 x

6 XI. Funciones exponenciales En estas funciones la variable independiente se encuentra en el exponente. La base de la función es el valor de y para el punto (1, 0). El valor de a (base) nunca será igual a 1 y siempre será mayor que 0. y = a x Ej.: f(x) = 2 x Cuando el valor del exponente es negativo, la base pasa a fracción para convertirse éste en positivo y, a su vez, la representación se invierte. Ej.: f(x) = 2 -x XII. Dibujo de funciones por traslación Si partimos de una función determinada y le sumamos o restamos cifras conseguiremos moverla de modo vertical u horizontal. y = x a ± k (Desplazamiento vertical) y = (x k) a (Desplazamiento horizontal) En la gráfica A se representan las siguientes funciones: f(x) = x f(x) = x f(x) = x f (x) = x 2 f(x) = x 2 1 Y en la gráfica B se representan las siguientes funciones: f(x) = (x+3) 2 f(x) = (x+2) 2 f(x) = (x+1) 2 f(x) = x 2 f(x) = (x-1) 2