Repaso de Funciones. 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 20

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1 Repaso de Funciones 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 20

2 FUNCIONES Referencia del Web: Math2me: Precálculo 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 2 de 20

3 Cómo se representa una función? Sea x={1,2,3}, y = {1, 4} 1. Tabla de valores f(1)=1, f(2)=4, f(3)=1 3. f ={(1,1), (2,4), (3,1)} 4. Gráfica 5. Expresión algebraica. 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 3 de 20

4 Evaluando funciones Para la función f (x) 2x 2 5 a) f (3) 2(3) b) f ( 1 2) 2(1 2) 2 5 2(1 2)(1 2) 5 2(3 2 2) TI30XS Multiview: 2[(]1[ ][2nd][ x 2 ][)][ x 2 ][ ]5 c) f(x + h) 2( x h) 2 5 2( x h)( x h) 5 2( x 2x 2 2 2xh h 4xh 2 2h ) /29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 4 de 20

5 Gráfica de una función 4 2 Trace la gráfica de la función f ( x) x 7x 3 Solución: Se asume como el conjunto mayor de números reales que pueda sustituir la variable (Dominio). Para graficar use programas computadorizados (graficadores) 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 5 de 20

6 Graficador: GRAPH Permite del menú Function: Graficar funciones (Insert Function) Conjunto de puntos (Insert point series) Aproximar un conjunto de puntos por una gráfica (Insert trendline) Relaciones (Insert relation) Bajar de: 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de 20

7 Interpretación de la gráfica De la gráfica de la función f siguiente, determine a) f(4). b) El valor de x, si que f(x) = 3 c) El dominio, rango e interceptos. d) Dónde crece y decrece e) El valor máximo y mínimo de la función. f(4) = 0 f(2) = 3 x = 2 Rango = [-3,3] (0, -3) y 4 0 Intercepto en y = -4 (2, 3) (4, 0) Interceptos en x (10, 0) (1, 0) x (7,-3) Decrece entre [2,7] Crece en [0,2] y [7,10] El valor máximo de la función es 3. El valor mínimo de la función es -3. Dominio = [0,10] 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 7 de 20

8 Ejercicio de clase #1 1. Si f x = 3x + 1 calcule: f 2.5 f(x+h) f(x) h Cuál es el dominio de f? 2. Si g x = x2 3x 2 2 x g( 2) g(2) Cuál es el dominio de g? 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 8 de 20

9 De la gráfica aproxime 1. Interceptos 2. Dominio 3. Rango 4. intervalo dónde crece y decrece 5. El valor máximo de la función y el valor de x dónde ocurre 6. El valor mínimo de la función y el valor de x dónde ocurre Ejercicio de clase #2 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 9 de 20

10 V r = πr 2 Volumen de un cilindro vertical A x = 4x 3 160x x Cantidad de material (área de superficie) de una caja que se forma de una cartulina cuadrada de 40 cm. MODELADO A TRAVÉS DE FUNCIONES 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 10 de 20

11 Funciones Ingreso Costo - Ganancia Un producto se vende a $20 por unidad. Exprese el (R) ingreso (revenue) que se recauda como una función de x unidades vendidos Solución: R x = 20x Si la compañía determina que la función costo de producir x unidades C x = x x 2, determine la función ganancia (utilidad). Solución: Ganancia = Ingreso Costo G(x) = R(x) C(x) = 20x ( x x 2 ) = 0.02x x 600 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 11 de 20

12 TIPOS DE FUNCIONES 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 12 de 20

13 La Función Lineal La función lineal es la función de la forma: f(x) = mx + b La gráfica de una función lineal es la recta con pendiente m, intercepto en y en (0,b). Tres tipos de funciones lineales: Pendiente 0: Función constante Pendiente positiva Función creciente Pendiente negativa: Función decreciente 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 13 de 20

14 Interpretación de la pendiente como razón de cambio En una relación lineal y = mx + b, la pendiente m indica que: La variable y cambiará m unidades por cada unidad de cambio en x. la razón de cambio promedio de y con respecto al cambio en en x. Ejemplos: En y = ¼ x + 12, cada cuatro unidades de cambio en x, habrá un cambio de 1 en y. O, la razón de cambio promedio entre y, x será de 1:4. Si y es la población de una especie en una región cada x meses. Entonces, la pendiente indica el número de especies que aumentará o disminuirá por cada mes adicional que pase. Si y es el costo de producir x artículos. Entonces, la pendiente indica cuánto cambiará el costo por producir un artículo adicional. 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 14 de 20

15 Pendiente (Slope) (x 1, y 1 ) Sea y (x 2, y 2 ) dos puntos en una recta su pendiente (m) está definida como: m y y 2 1 x 1 x 2 x 2 x 1 Las rectas verticales no tienen pendiente. Las rectas horizontales tienen pendiente 0. Ejemplo: Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (1,3) y (4,5): m y x 2 2 y x 1 1 (5) (3) (4) (1) 2 3 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 15 de 20

16 Formas de la ecuación de la recta Si m es la pendiente de una recta que pasa por el punto (x 1, y 1 ). Entonces, su ecuación se puede expresar como: (pendiente-punto) y y 1 = m(x x 1 ) Ejemplo: Si una recta tiene pendiente -3 y pasa por el punto (-1, 2) entonces su ecuación es: y 2 = ( 3)(x ( 1)) y 2 = 3(x + 1) y 2 = 3x 3 y = 3x 1 pendiente-intercepto ya que su intercepto en y será (0,-1). 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 16 de 20

17 Ejemplo 1 Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1,-2) (3,2) Solución: Determine pendiente: Sustituya la pendiente m = 1 y cualquiera de los puntos en la ecuación de la forma pendiente punto. y y y ( 2) (1) x ( 1) y 2 x 1 y y x 1 2 x 1 m y 2 y 1 x 2 x 1 m x 1 x 1 2 (2) 3 (1) y 2 (1) x y 2 x 3 y y x 3 2 x 1 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 17 de 20

18 Ejercicio de Clase #3 Dado que la demanda por 60 unidades (q) de un producto cuando el precio (p) es $15.30 por unidad y $35 unidades cuando el precio es $ Determine la función demanda asumiendo que es lineal. 2. Determine el precio por unidad para la demanda de 40 unidades. 3. Cuál de las siguientes gráficas mejor representa la función: 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 18 de 20

19 Funciones Polinómicas Funciones de la forma: f ( x) P( x) Donde P(x) es un polinomio. Los extremos de las gráficas de las funciones polinómicas se parecen de acuerdo a la paridad de su grado y el signo del coeficiente que determina su grado. 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 19 de 20

20 Funciones por partes x 1 si x 2 Si f ( x) determine f(-1), f(2), f(4) y - 2x 9 si x 2 sus interceptos, si los tiene. Solución: f(-1) = (-1) + 1 = 0 f(2) = (2) + 1 = 3 f(3) = -2(4) + 9 = 1 Si x = 0, entonces f(0) = (0) + 1 = 1 Intercepto en y es (0,1) Si f(x) = 0, entonces 0 = x +1 0 = -2x + 9 x = -1 x = 4.5 Interceptos en x son (-1, 0), (4.5, 0) 8/29/2017 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 20 de 20