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Transcripción

1 MODELOS MATEMÁTICOS Un modelo matemático es una descripción matemática de un fenómeno o situación del mundo real, como por ejemplo el tamaño de una pobalción, la demanda por un producto, etc. El propósito del módelo es entender el fenómeno y si se puede hacer predicciones con respecto al comportamiento futuro. () 30 de marzo de / 13

2 MODELOS MATEMÁTICOS Un modelo matemático es una descripción matemática de un fenómeno o situación del mundo real, como por ejemplo el tamaño de una pobalción, la demanda por un producto, etc. El propósito del módelo es entender el fenómeno y si se puede hacer predicciones con respecto al comportamiento futuro. () 30 de marzo de / 13

3 CATALOGO DE FUNCIONES BASICAS Función lineal: como sabemos la gráfica de ella es una ĺınea recta cuya expresión general es f (x) = mx + b, donde m representa la pendiente y b el corte de la recta con el eje y. Una característica representativa de las funciones lineales es que crecen a una tasa constante. Ejemplo 1: A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es 20 o C y la temperatura a la altura de 1 Km es 10 o C, exprese la temperatura T (en o C) como una función de la altura h (en kilómetros) suponiendo que es un modelo lineal adecuado. () 30 de marzo de / 13

4 CATALOGO DE FUNCIONES BASICAS Función lineal: como sabemos la gráfica de ella es una ĺınea recta cuya expresión general es f (x) = mx + b, donde m representa la pendiente y b el corte de la recta con el eje y. Una característica representativa de las funciones lineales es que crecen a una tasa constante. Ejemplo 1: A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es 20 o C y la temperatura a la altura de 1 Km es 10 o C, exprese la temperatura T (en o C) como una función de la altura h (en kilómetros) suponiendo que es un modelo lineal adecuado. () 30 de marzo de / 13

5 Ejemplo 2: En la tabla se enumera el nivel promedio de bióxido de carbono en la atmósfera medido en parte por millón en el observatorio Mauna Loa de 1980 a Use los datos que en ella aparecen para encontrar un modelo para el nivel de bióxido de carbono. () 30 de marzo de / 13

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8 POLINOMIOS A una función P(x) se le llama polinomio si P(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 donde n es un número natural y los números a 1, a 2,..., a n son constantes que llamaremos coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier función polinomica es R. Si el primer coeficiente a n 0, diremos que el grado del polinomio es n. Ejemplos: P 1 (x) = x 5 5x + 1. P 2 (x) = 20x + 1. P 3 (x) = 9x P 4 (x) = x 2. () 30 de marzo de / 13

9 POLINOMIOS A una función P(x) se le llama polinomio si P(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 donde n es un número natural y los números a 1, a 2,..., a n son constantes que llamaremos coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier función polinomica es R. Si el primer coeficiente a n 0, diremos que el grado del polinomio es n. Ejemplos: P 1 (x) = x 5 5x + 1. P 2 (x) = 20x + 1. P 3 (x) = 9x P 4 (x) = x 2. () 30 de marzo de / 13

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11 Ejemplo: Desde la plataforma superior de observación de la torre CN, a 450m por arriba del suelo, se deja caer una pelota y en la gráfica se registra su altura h por arriba del suelo a intervalos de un segudo. Encuentre un modelo que coincida con los datos y úselo para predecir el tiempo en que la pelota toca el suelo. Donde h(t) = 449,36 + 0,96t 4,9t 2 () 30 de marzo de / 13

12 Ejemplo: Desde la plataforma superior de observación de la torre CN, a 450m por arriba del suelo, se deja caer una pelota y en la gráfica se registra su altura h por arriba del suelo a intervalos de un segudo. Encuentre un modelo que coincida con los datos y úselo para predecir el tiempo en que la pelota toca el suelo. Donde h(t) = 449,36 + 0,96t 4,9t 2 () 30 de marzo de / 13

13 FUNCIONES DE POTENCIA A una función de la forma f (x) = x a, donde a es una constante la llamaremos función potencia. Estudiaremos algunos casos: I. a N: f (x) = x n, donde n es un número natural mayor que 0, sabemos que si n = 2, f es una parábola. Así para todos los n pares, la gráfica de f es similar a la de f (x) = x 2. Si m es un número impar, la función f (x) = x m es impar y su gráfica es similar a la gráfica de f (x) = x 3. () 30 de marzo de / 13

14 FUNCIONES DE POTENCIA A una función de la forma f (x) = x a, donde a es una constante la llamaremos función potencia. Estudiaremos algunos casos: I. a N: f (x) = x n, donde n es un número natural mayor que 0, sabemos que si n = 2, f es una parábola. Así para todos los n pares, la gráfica de f es similar a la de f (x) = x 2. Si m es un número impar, la función f (x) = x m es impar y su gráfica es similar a la gráfica de f (x) = x 3. () 30 de marzo de / 13

15 II. a = 1 n, n N: f (x) = x 1 n = n x es una función raíz. Para n = 2 es la función raíz cuadrada f (x) = x, cuyo dominio es D(f ) = [0, ) y rango R(f ) = [0, ), su gráfica es la mitad superior de la parábola x = y 2. Idem que para las potencias naturales, las raices pares tienen gráfica similar a la de f (x) = x. Para el caso n = 3, f (x) = 3 x y su gráfica es el mismo conjunto de puntos {(x, y) x = y 3 }, como es de esperarse la gráfica de f (x) = m x para m impar es similar a la gráfica de f (x) = 3 x. III. a = 1: f (x) = x 1 = 1 x es la función recíproca, la gráfica de ella la hemos estudiado, sabemos además que su dominio al igual que su rango son todos los números reales distintos de 0 (R {0}). () 30 de marzo de / 13

16 II. a = 1 n, n N: f (x) = x 1 n = n x es una función raíz. Para n = 2 es la función raíz cuadrada f (x) = x, cuyo dominio es D(f ) = [0, ) y rango R(f ) = [0, ), su gráfica es la mitad superior de la parábola x = y 2. Idem que para las potencias naturales, las raices pares tienen gráfica similar a la de f (x) = x. Para el caso n = 3, f (x) = 3 x y su gráfica es el mismo conjunto de puntos {(x, y) x = y 3 }, como es de esperarse la gráfica de f (x) = m x para m impar es similar a la gráfica de f (x) = 3 x. III. a = 1: f (x) = x 1 = 1 x es la función recíproca, la gráfica de ella la hemos estudiado, sabemos además que su dominio al igual que su rango son todos los números reales distintos de 0 (R {0}). () 30 de marzo de / 13

17 II. a = 1 n, n N: f (x) = x 1 n = n x es una función raíz. Para n = 2 es la función raíz cuadrada f (x) = x, cuyo dominio es D(f ) = [0, ) y rango R(f ) = [0, ), su gráfica es la mitad superior de la parábola x = y 2. Idem que para las potencias naturales, las raices pares tienen gráfica similar a la de f (x) = x. Para el caso n = 3, f (x) = 3 x y su gráfica es el mismo conjunto de puntos {(x, y) x = y 3 }, como es de esperarse la gráfica de f (x) = m x para m impar es similar a la gráfica de f (x) = 3 x. III. a = 1: f (x) = x 1 = 1 x es la función recíproca, la gráfica de ella la hemos estudiado, sabemos además que su dominio al igual que su rango son todos los números reales distintos de 0 (R {0}). () 30 de marzo de / 13

18 FUNCIONES RACIONALES Una función racional es un cociente de dos polinomios, es decir, f (x) = P(x) Q(x) donde P y Q son polinomios. El dominio de f consta de todos los numeros reales x para los cuales Q(x) 0. Un ejemplo de ellas es la función recíproca que acabamos de estudiar. Ejemplos: f (x) = 1 x 2 g(x) = x2 1 x 1 h(x) = x3 1 x 5 +x 2 1 () 30 de marzo de / 13

19 FUNCIONES RACIONALES Una función racional es un cociente de dos polinomios, es decir, f (x) = P(x) Q(x) donde P y Q son polinomios. El dominio de f consta de todos los numeros reales x para los cuales Q(x) 0. Un ejemplo de ellas es la función recíproca que acabamos de estudiar. Ejemplos: f (x) = 1 x 2 g(x) = x2 1 x 1 h(x) = x3 1 x 5 +x 2 1 () 30 de marzo de / 13

20 FUNCIONES ALGEBRAICAS Si una función puede construirse usando operaciones algebraicas entre polinomios (suma, resta, multiplicación y sacar raíces) se le llama función algebraica. Las funciones que hemos estudiado hoy, son funciones algebraicas. Ejemplos: f (x) = 1+x5 x 1 g(x) = 3 x x+1 x 2 +1 Un ejemplo en la vida real surge en la teoría de la relatividad. Donde la masa de una partícula en función de su velocidad queda expresada como m 0 m = f (v) = 1 v 2 /c 2 () 30 de marzo de / 13

21 FUNCIONES ALGEBRAICAS Si una función puede construirse usando operaciones algebraicas entre polinomios (suma, resta, multiplicación y sacar raíces) se le llama función algebraica. Las funciones que hemos estudiado hoy, son funciones algebraicas. Ejemplos: f (x) = 1+x5 x 1 g(x) = 3 x x+1 x 2 +1 Un ejemplo en la vida real surge en la teoría de la relatividad. Donde la masa de una partícula en función de su velocidad queda expresada como m 0 m = f (v) = 1 v 2 /c 2 () 30 de marzo de / 13

22 QUIZ Es el siguiente conjunto de puntos una función? {(0, 1), (1, 2), ( 1, 4), (2, 6), ( 2, 0)} si es así, halle el dominio, rango y haga su gráfica. Si no lo es, represente este conjunto en el plano cartesiano. Encuentre el dominio, rango y trace la gráfica de la función { x + 2 si x < 0 f (x) = 1 x si x 0 () 30 de marzo de / 13

23 QUIZ Es el siguiente conjunto de puntos una función? {(0, 1), (1, 2), ( 1, 4), (2, 6), ( 2, 0)} si es así, halle el dominio, rango y haga su gráfica. Si no lo es, represente este conjunto en el plano cartesiano. Encuentre el dominio, rango y trace la gráfica de la función { x + 2 si x < 0 f (x) = 1 x si x 0 () 30 de marzo de / 13