Caracterización de funciones polinómicas y racionales

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1 ÁREA MATEMÁTICAS GRADO ONCE UNIDAD DE APRENDIZAJE LAS FUNCIONES, UNA FORMA DE INTERPRETAR RELACIONES ENTRE NÚMEROS REALES TITULO DEL OBJETO DE APRENDIZAJE EJE CURRICULAR ESTÁNDAR Caracterización de funciones polinómicas y racionales Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos. Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas. OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Clasificar funciones de variable real de acuerdo a su estructura. Identificar funciones polinómicas. Identificar funciones polinómicas racionales. HABILIDADES/CONOCIMIENTOS SCO: Reconoce las funciones polinómicas. 1. Reconoce la definición de función polinómica. 2. Identifica funciones polinómicas analizando su gráfica. 3. Encuentra el dominio y el recorrido de funciones polinómicas. 4. Encuentra relaciones entre el grado de la función polinómica y los ceros del polinomio. 5. Grafica funciones polinómicas teniendo en cuenta crecimiento, decrecimiento y ceros del polinomio. FLUJO DE APRENDIZAJE SCO: Identifica funciones polinómicas racionales. 6. Identifica la función polinómica racional como un cociente entre polinomios. 7. Encuentra el dominio y el recorrido de funciones polinómicas. 8. Identifica intervalos de crecimiento y decrecimiento en una gráfica de un polinomio racional. 9. Grafica funciones polinómicas racionales teniendo en cuenta crecimiento, decrecimiento, ceros del polinomio y asíntotas. 10. Hace uso del algoritmo de la división para expresar una función racional como la suma de dos funciones. Introducción

2 Objetivos. El docente presenta los objetivos y puede establecer otros si así lo desea. Desarrollo Actividad 1. Funciones Polinómicas (Skil: 1, 2, 3, 4, 5,7). Actividad 2. Funciones Racionales (Skill: 6, 8, 9, 10). Resumen Tarea GUÍA DE VALORACIÓN El estudiante reconoce las funciones polinómicas y halla su grado, punto de corte con el eje y y puntos de corte con el eje x o ceros de la función, utiliza los conceptos vistos para graficar funciones y halla asíntotas de las funciones racionales.

3 Etapa Flujo de aprendizaje Enseñanza/actividades de aprendizaje s recomendados Introducción Introducción El docente presenta las funciones polinómicas y racionales haciendo referencia a algunas de sus características y utilidad. Presenta la forma básica de las gráficas de funciones polinómicas y racionales. Animación Desarrollo Contenido Actividad 1 SCO: Reconoce las funciones polinómicas. 1. Reconoce la definición de función polinómica. 2. Identifica funciones polinómicas analizando su gráfica. 3. Encuentra el dominio y el recorrido de funciones polinómicas. 4. Encuentra relaciones entre el grado de la función polinómica y los ceros del polinomio. 5. Grafica funciones polinómicas teniendo en cuenta crecimiento, decrecimiento y ceros del polinomio. Encuentra el dominio y el recorrido de funciones polinómicas. FUNCIONES POLINÓMICAS El docente presenta el concepto de función polinómica, dando a conocer los nombres de las funciones dependiendo de su grado. Se realizan dos ejemplos con el cual se explica cómo hallar el vértice de una función cuadrática, así como su dominio y

4 rango, datos para realizar la gráfica de la función. Actividad de aprendizaje Se realizan dos actividades, la primera en la plataforma, correspondiente a relacionar cada función con su respectiva gráfica. La segunda corresponde a una actividad para desarrollar en el aula de clase. Resuelva las siguientes situaciones: 1. Una caja de cartón tiene una base cuadrada, cada arista de la caja con longitud de x pulgadas, como se ve en la figura. La longitud total de las 12 aristas de la caja es de 144 pulgadas. Animación Imagen y texto a. Cuál es el dominio de V? [0, 18] b. Trace una gráfica de la función V y úsela para estimar el volumen máximo para esa caja. (Stewart, p.246., 2012). volumen= 1728pulg 2 Juego relacionar

5 2. Halle los ceros de la función, su dominio y rango, además grafíquelas. a. f x = 2x! 3x + 2 Ceros: No tiene Dom: Reales Rango: [0. 88, ) b. f x = x! + x! Ceros: 0 y 1 Dom: Reales Rango: Reales c. f x = x! 1 Ceros: -1 y 1 Dom: reales Rango: [ 1, ) Material del estudiante

6 Desarrollo de contenidos Actividad 2 SCO: Identifica funciones polinómicas racionales. 6. Identifica la función polinómica racional como un cociente entre polinomios. 8. Identifica intervalos de crecimiento y decrecimiento en una gráfica de un polinomio racional. 9. Grafica funciones polinómicas racionales teniendo en cuenta crecimiento, decrecimiento, ceros del polinomio y asíntotas. 10. Hace uso del algoritmo de la división para expresar una función racional como la suma de dos funciones. FUNCIONES RACIONALES El docente explica las características de una función racional, partiendo de un ejemplo en el que se explica el método para hallar los ceros de la función, así como las asíntotas de la misma, para concluir con la gráfica. El docente presenta un ejemplo en contexto de una función, en el que se evidencia la forma de hallar asíntotas, tanto vertical como horizontal, puntos de corte con los ejes, el dominio y rango de la función. Actividad de aprendizaje en el aula 1. Encuentre las asíntotas, los ceros o puntos de corte de la gráfica de la función con los ejes; además halle su dominio y rango. a. f x =!!!! Animación

7 Asíntotas: horizontal eje x, Vertical 1 Ceros: no tiene Dominio:, 1 (1, ) Rango:, 0 (0, ) b. f x =!!!!"!!!!! Asíntotas: vertical -2 y 2 Ceros: -3 y 0 Dominio:, 2 ( 2, 2) (2, ) Rango:Reales c. f x =!"!!!!!!!!!" Asíntotas: horizontal 5 Ceros: 0 Dominio: Reales Rango: [6. 25, 5) (5, 0] d. f x =!!!!!!! Asíntotas: vertical 1 Ceros: no tiene Dominio:, [5. 47, ) Rango:, (1, ) Imagen y texto Material del estudiante 2. En grupos de máximo 3 personas, encuentren una función que tenga 3 ceros, además planteen una situación que se

8 modele con tal función. Finalmente, grafíquenla. Resumen Resumen Haciendo uso de una infografía, el docente da a conocer la información relevante acerca de las funciones polinómicas y racionales, teniendo en cuenta los puntos de corte de la gráfica de las funciones con cada uno de los ejes, las asíntotas (en el caso de las funciones racionales), el dominio, rango y el método para graficar las funciones. Infografía Tarea Tarea 1. Nombre cada una de las siguientes funciones como polinómicas o racionales según sea el caso. a. f x = x! + 2x! Imagen Material imprimible b. f x =!!!!! c. f x =!!!! d. f x = 5x! + 2x 1 2. Resuelva las siguientes situaciones problema y grafíquelas. a. Se observa que la población de conejos de una pequeña isla está dada por la función P t = 120t 0.4t! Donde t representa el tiempo (en meses), Cuándo alcanzará la máxima población, y cuál es la máxima población? b. Después de que cierta droga se inyecta a un paciente, se vigila la concentración c de la droga en el torrente sanguíneo. En el tiempo t 0 (en horas desde que se aplicó la droga), la concentración (en mg/l) está dada

9 por: c t = 30t t! + 2 Qué le ocurre finalmente a la concentración del medicamento en el torrente sanguíneo?, Desaparece del torrente sanguíneo o perdura en pequeñas cantidades? 3. Halle el dominio y rango de las funciones propuestas, además trace la gráfica. a. f x = x! + 4x! b. f x =!!!!!!! Evaluación Evaluación f x = x! + 1 2x! + 3 En los puntos 1 y 2 marque falso o verdadero según sea el caso 1. Todas las funciones racionales tienen asíntotas horizontales. FALSO Retroalimentación respuesta correcta: las funciones racionales cuyo exponente del numerador es mayor que el del denominador no tienen asíntota horizontales. Retroalimentación respuesta incorrecta: Se recomienda repasar el tema asíntotas horizontales de funciones racionales. desarrollado en plataforma. Material imprimible 2. Las funciones polinomicas deben su nombre al grado o exponente máximo. VERDADERO Retroalimentación respuesta correcta: las funciones polinomicas se nombran según su grado o exponente mayor. Retroalimentación respuesta incorrecta: Se recomienda repasar el tema funciones polinómicas.

10 En las preguntas 3 y 4 complete las siguientes frases. 3. La función f x = 3x! + 3x! 2x tiene _2 ceros. Retroalimentación respuesta correcta: la función al ser de grado 4 corta con el eje x en a los sumo 3 puntos. Retroalimentación respuesta incorrecta: Revisar cómo hallar los ceros de una función polinómica. 4. La función f x =!!!!!!!! tiene 2 asíntotas verticales. Retroalimentación respuesta correcta: al aplicar el método para hallar las asíntotas verticales se tiene que hay 2, una en x=2 y otra en x=3 Retroalimentación respuesta incorrecta: Revisar el tema asíntotas de funciones racionales. En las preguntas 5 y 6 seleccione la respuesta correcta. 5. La siguiente grafica corresponde a la función:

11 a. f x = 3x! 2 b. f x = x! + 1 c. f x =!!!!! d. f x = x! + 2 Rta:/a Retroalimentación respuesta correcta: la grafica corresponde a una función cuadrática cuyo coeficiente del término mayor es negativo. Retroalimentación respuesta incorrecta: revisar el tema grafica de funciones polinomicas. 6. Para hallar los puntos de corte de una función polinomica con el eje x o ceros se a. Reemplaza y por 0 y se despeja la variable. b. Iguala el denominador a cero y se despeja la variable. c. Reemplaza x por 0 y se despeja la variable. d. Dividen todos los términos por el término del denominador con mayor exponente.

12 Rta:/a Retroalimentación respuesta correcta: para hallar los puntos de corte de la función con el eje x se reemplaza y por 0 y se despeja la variable x. Rta:/a Retroalimentación respuesta incorrecta: Revisar el método para hallar los puntos de corte de la función polinómica con los ejes. En los puntos 1 y 2 marque falso o verdadero según sea el caso 6. Todas las funciones racionales tienen asíntotas horizontales. FALSO Retroalimentación respuesta correcta: las funciones racionales cuyo exponente del numerador es mayor que el del denominador no tienen asíntota horizontales. Retroalimentación respuesta incorrecta: Se recomienda repasar el tema asíntotas horizontales de funciones racionales. 7. Las funciones polinomicas deben su nombre al grado o exponente máximo. VERDADERO Retroalimentación respuesta correcta: las funciones polinomicas se nombran según su grado o exponente mayor. Retroalimentación respuesta incorrecta: Se recomienda repasar el tema funciones polinómicas. En las preguntas 3 y 4 complete las siguientes frases. 8. La función f x = 3x! + 3x! 2x tiene _2 ceros.

13 Retroalimentación respuesta correcta: la función al ser de grado 4 corta con el eje x en a los sumo 3 puntos. Retroalimentación respuesta incorrecta: Revisar cómo hallar los ceros de una función polinómica. 9. La función f x =!!!!!!!! tiene 2 asíntotas verticales. Retroalimentación respuesta correcta: al aplicar el método para hallar las asíntotas verticales se tiene que hay 2, una en x=2 y otra en x=3 Retroalimentación respuesta incorrecta: Revisar el tema asíntotas de funciones racionales. En las preguntas 5 y 6 seleccione la respuesta correcta. 10. La siguiente grafica corresponde a la función: e. f x = 3x! 2

14 f. f x = x! + 1 g. f x =!!!!! h. f x = x! + 2 Rta:/a Retroalimentación respuesta correcta: la grafica corresponde a una función cuadrática cuyo coeficiente del término mayor es negativo. Retroalimentación respuesta incorrecta: revisar el tema grafica de funciones polinomicas. 7. Para hallar los puntos de corte de una función polinomica con el eje x o ceros se e. Reemplaza y por 0 y se despeja la variable. f. Iguala el denominador a cero y se despeja la variable. g. Reemplaza x por 0 y se despeja la variable. h. Dividen todos los términos por el término del denominador con mayor exponente. Rta:/a Retroalimentación respuesta correcta: para hallar los puntos de corte de la función con el eje x se reemplaza y por 0 y se despeja la variable x. Rta:/a Retroalimentación respuesta incorrecta: Revisar el método para hallar los puntos de corte de la función polinómica con los ejes.

15 Glosario Glosario Dominio: subconjunto de los números reales en el que se define la función. Rango: conjunto de valores reales que toma la variable y o f x. Función polinómica: es una función p(x) donde p es un polinomio. Función racional: es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios. Asíntota: recta que se prolonga indefinidamente, a la cual se acerca progresivamente la función sin tocarla, salvo en algunos casos con las asíntotas horizontales. Ceros de una función: corresponde a los puntos de corte de una función polinómica con el eje x. s