Tema 3. Calculo de primitivas (2ª parte)

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1 Tema 3. Calculo de primitivas (2ª parte) Este tema es una continuación del anterior y está dedicado al estudio de los métodos de integración adecuados a la resolución de dos tipos de integrales concretas: las integrales racionales, es decir, aquellas en las que el integrando es una función racional, y las integrales irracionales, en cuyo integrando aparece la raiz de un polinomio. Se trata de un tema técnico en el que los pasos a dar están bien establecidos y sólo hace falta practicarlos para desarrollar la destreza adecuada. Animated Newton Fractal de Wikimedia Commons Matemáticas II Página 1 de 19

2 1. Integrales racionales En este apartado del tema, vamos a estudiar el método de integración de las funciones racionales. Se trata de hacer a integral del tipo: donde P(x) y Q(x) son polinomios El método se basa en la descomposición de una función racional en suma de otras funciones racionales más sencillas cuyas integrales son fáciles de calcular. Para realizar la integrales racionales usaremos conocimientos que adquirimos y practicamos en el curso anterior como son: la división de polinomios, la descomposición factorial de un polinomio, además de técnicas de integración de las que hemos practicado en el tema anterior de esta unidad. Mathematics concept collage de Wikimedia Commons Mariano Real Pérez, Creación realizada con GeoGebra Matemáticas II Página 2 de 19

3 1.1. El primer paso Podremos suponer que el grado del polinomio del numerador, P(x), será siempre de grado inferior al del denominador Q(x), ya que si el grado del polinomio P(x) es mayor que el grado del polinomio Q(x), podemos hacer la división de los polinomios y tendremos que: Donde C(x) es el cociente de la división y R(x) el resto. Además sabemos que el grado de R(x) es menor que el de Q(x). Así, tenemos que: En la siguiente ventana interactiva se muestra un ejemplo, desarrollado paso a paso, del proceso anterior, en el que el denominador de la fracción es un polinomio de primer grado y en el que las integrales en que queda descompuesta la integral original son de las que ya sabemos resolver. Pulsa sobre ella para seguir avanzando: Calcula la siguiente integral racional: Calcula la siguiente integral racional: Calcula la siguiente integral racional: Matemáticas II Página 3 de 19

4 Calcula las siguientes integrales racionales: Matemáticas II Página 4 de 19

5 1.2. Descomposición en fracciones simples Una vez hemos conseguido una fracción algebraica con el numerador de menor grado que el denominador, la resolución de las integrales racionales sigue con la descomposición de esta fracción en fracciones simples. Para ello lo primero que haremos es descomponer el denominador en factores. De forma general se sabe que la descomposición en factores de un polinomio tiene dos tipos de factores: Potencias de factores de primer grado, es decir del tipo (x a) n Potencias de factores irreducibles (sin raíces reales) de segundo grado, es decir de la forma (x 2 +bx+c) m Puede haber varios factores de cada tipo y el exponente puede ser cualquier número entero a partir de 1. Para averiguar las raíces del denominador, es decir resolver la ecuación que resulta de igualarlo a 0, se emplea la fórmula de resolución de las ecuaciones de segundo grado o el método de Ruffini para grado superior. Como consecuencia es posible demostrar el siguiente resultado sobre la descomposición en fracciones simples del que depende la integración de las funciones racionales. Teorema de descomposición en fracciones simples Toda fracción algebraica, con el numerador de menor grado que el denominador, puede descomponerse en fracciones simples de dos tipos:, donde a y A son números reales y n es un número natural., donde b, c, M y N son números reales y m es un número natural. En este curso sólo consideraremos dos posibilidades: Sólo factores del primer tipo. Factores del primer tipo y un único factor del segundo tipo con exponente 1. Existiría además la posibilidad de que hubiese más de un factor del segundo tipo y éstos pueden ser múltiples. Así pues en los ejemplos que haremos, de forma general, nos enfrentaremos a una fracción algebráica que tendrá el siguiente aspecto: A cada factor del denominador le asociaremos varias fracciones simples: A los factores del primer tipo les asociaremos tantos sumandos como indica el exponente n: Al segundo tipo de factores le asociaremos un sumando del tipo: El problemas es la determinacionón de las constantes de los numeradores de las fracciones simples. Pondremos denominador común y haremos las operaciones hasta obtener una fracción, cuyo numerador será, logiicamente, Q(x). El numerador debe ser, por tanto, P(x), así que la dientificación de ambos numeradores permite averiguar las constante ya sea: identificando los coeficientes de los términos de igual grado en ambos miembros de la igualdad; dar valores a la variable en ambos miembros de la igualdad. Son muy útiles las raíces de Q(x). Descomponer en suma de fracciones simples la siguiente fracción algebraica: Matemáticas II Página 5 de 19

6 Descomponer en suma de fracciones simples la siguiente fracción algebraica: Descomponer en suma de fracciones simples la siguiente fracción algebraica: Hacer la descomposición en fracciones simples de las siguientes fracciones algebraicas: Matemáticas II Página 6 de 19

7 1.3. Logarítmo más arcotangente Este apartado lo dedicaremos a estudiar una integral en particular. Hemos visto que en la descomposición de una fracción algebraica aparecen tres tipos de fracciones: Fracciones del tipo cuya integral es inmediata: Fracciones del tipo cuya integral también es inmediata: Fracciones del tipo cuya integral vamos a estudiar en este apartado. La integración de este tipo de fracciones es el resultado de una serie de procedimientos algebráicos que se repiten en cada caso particular, por lo que el estudio detallado de un ejemplo es suficiente para su aprendizaje. Veamos el proceso de cálculo completo de la siguiente integral cuyo denominador es irreducible. Luego iremos analizando los pasos que hay que dar: Primer paso (1): Preparando el logaritmo Una vez se ha conseguido que el numerador tenga la forma la integral se puede descomponer en dos integrales, de las cuales, la primera es inmediata ya que se trata del logaritmo neperiano del denominador. El segundo paso consiste en hacer que el coeficiente de x 2 en el denominador sea 1. Para ello simplemente basta con sacar como factor común del denominador el coeficiente de x 2. Tercer y cuarto paso (3) y (4): Preparando el arcotangente Este poceso se denomina "completar el cuadrado". El resto del cálculo se limita a averiguar la primitiva de esta última expresión, que es un arcotangente, y ajustar las constantes. Matemáticas II Página 7 de 19

8 Calcular la integral racional siguiente: Calcula la siguiente integral racional: Aunque tienes la resolución completa del ejercicio a continuación, si quieres, puedes ver una explicación de la resolución, paso a paso, de esta integral en el video al que se accede en el siguiente enlace. Calcular las siguientes integrales racionales: Matemáticas II Página 8 de 19

9 1.4. El caso general La resolución de la integral de uan función racional pasa, en general, por la aplicación de los tres pasos que acabamos de explicar en los apartados anteriores: Si el grado del numerador es mayor o igual que el del denominador se hace la división de los dos polinomios y descompone la integral en suma de la integral de un polinomio y la integral de una fracción algebraica con el numerador de grado menor que el denominador. Una vez tenemos el grado del numerador inferior al del denominador se descompone en factores el denominador y como consecuencia de esa descomposicón se plantea la descomposición de la fracción algebraica en suma de fracciones simples. 3. Finalmente se resuleven las integrales de las fracciones simples que son de uno de los tres tipos que hemos analizado en el apartado anterior. Alguno de los pasos pueden no ser necesarios según sean las características de las fracciones algebraicas a integrar. Vamos a ver varios ejemplos (En ellos no será preciso dar el primer paso). Calcular la siguiente integral racional: Calcular la siguiente integral racional: En la siguiente ventana interactiva se puede ver un resumen del método de integración de integrales racionales paralos dos casos en los que el denominador se puede descomponer en factores simple o múltiples de primer grado. Pulsa sobre esta ventana para ir observando la explicación poco a poco y observa los ejemplos que se recogen. Matemáticas II Página 9 de 19

10 Calcular la siguiente integral racional: Calcula las siguientes integrales: Matemáticas II Página 10 de 19

11 2. Integrales irracionales De forma general, se denominan integrales irracionales a aquellas en las que aparecen raíces de expresiones polinómicas. Pero más en concreto, estudiaremos dos tipos de integrales irracionales: 1. Integrales de una función racional de la variable x y de raíces de un polinomio de primer grado: 2. Integrales de la raíz cuadrada de un polinomio de segundo grado o de su inversa: En su resolución emplearemos el método de cambio de variable, que conducirá a otro tipo de integrales: de funciones racionales o de funciones trigonométricas. 10,000 digits of square root of 2 - poster de Wikimedia Commons Matemáticas II Página 11 de 19

12 2.1. Primer tipo de integrales irracionales Las integrales irracionales del primer tipo, es decir las integrales de funciones racionales de la variable, x, y de raíces de un polinomio de primer grado, ax+b : Se resuelven haciendo el cambio de variable: Calcular la siguiente integral irracional: Calcular la siguiente integral irracional: Calcular la siguiente integral irracional: Calcular la siguiente integral irracional: Matemáticas II Página 12 de 19

13 Calcula las siguientes integrales irracionales: Calcula la siguiente integral irracional: Si quieres ver algún otro ejemplo resuelto, de este tipo de integrales, puedes visitar los enlaces siguientes: enlace1 enlace2 Matemáticas II Página 13 de 19

14 2.2. Segundo tipo de integrales irracionales Las integrales que vamos a resolver son del tipo: Estas integrales resultan bastane complicadas de hacer ya que en ellas se emplean diversos métodos de integración de los que hemos estudiado anteriormente, pero por eso mismo son un buen campo para ponerlos en práctica, aunque son de un nivel algo más alto del que se exige en este curso. La clave del procedimiento está en una tarea de preparación que se hace antes de aplicar un cambio de variable. Es un procedimiento que trata de expresar el polinomio de segundo grado como suma o diferencia de dos cuadrados. Diremos que vamos a "completar el cuadrado". Hay dos posibilidades que depende el signo del coeficiente del termino de segundo grado: Si a> 0 entonces trataremos de conseguir que: Si a<0 entonces trataremos de conseguir que: La técnica para conseguirlo consiste en igualar el polinomio de segundo grado a la expresión candidata con coeficientes indeterminados, m, n y p. Luego de operar, se trata de identificar los coeficientes y deducir a partir de las ecuaciones resultantes el valor de los coeficientes indeterminados. Veamos algún ejemplo: Completar los siguientes cuadrados: Las integrales irracionales del segundo tipo se resuelven con un cambio de variable que depende del tipo de resultado que se obtenga al completar el cuadrado: Si es del tipo se hace el cambio de variable. Si es del tipo se hace el cambio de variable. Si es del tipo se hace el cambio de variable. Matemáticas II Página 14 de 19

15 Calcula la siguiente integral: Calcular la integral siguiente: Calcular la integral siguiente: Habrás observado que en la resolución de este tipo de integrales siempre aparece, después del primer cambio de variable trigonométrico, una integral de un producto de potencias (de exponentes entro positivos o negativos) de sen x y cos x, es decir: Para resolver este tipo de integrales se hace un cambio de variable, que la transforma en una integral racional, y que depende de los exponentes n y m. Los cambios apropiados son: Si n es impar el cambio que debe hacerse es: t = cos x Si m es impar el cambio que debe hacerse es: t= sen x Si n y m son pares el cambio que debe hacerse e: t = tan x Calcular la siguiente integral: Matemáticas II Página 15 de 19

16 Seguro que has observado que el cálculo de este tipo de integrales es bastante complicado, pero que es siempre idéntico, jugándo tan sólo a la búsqueda de los coeficientes de los términos que aparecen en la primitiva. Si quieres ver algún otro ejemplo resuelto, de este tipo de integrales, puedes visitar los enlaces siguientes: enlace1 enlace2 enlace3 Matemáticas II Página 16 de 19

17 3. Para saber más Determina la función f(x) sabiendo que: y que f(2)=ln4. Calcular la siguiente integral: Calcular la siguiente integral: Calcular la siguiente integral: Calcular la siguiente integral: Calcular la siguiente integral: Matemáticas II Página 17 de 19

18 Para reforzar el aprendizaje de los conceptos y técnicas que has estudiado en este tema te proponemos los siguientes ejercicios: * Ejercicios de consolidación. * Solución a los ejercicios propuestos. Mujer enseñando Geometría de Wikimedia Commons Matemáticas II Página 18 de 19

19 4. Especial selectividad Vamos con la última parte del tema. Recuerda que lo que pretendemos aquí es mostrarte ejemplos de actividades que han aparecido en Selectividad, en particular en la Universidad de Zaragoza, pero puedes encontrar ejercicios similares aparecidos en otras universidades. Son ejercicios parecidos a los que los que van a aparecer en la tarea presencial o en la tarea del tema, por lo que te vendrá bien ver los procesos que se han empleado para resolverlos. Recuerda que vamos a utilizar las mismas operaciones y propiedades que tienes que utilizar en los ejercicios que si debes hacer. No han aparecido, en las pruebas de Selectividad de la Universidad de Zaragoza, muchos ejercicios relacionados con los métodos que hemos tratado en este tema. Hemos seleccionados unos cuantos, que como verás, son más sencillos que los que hemos hecho a lo largo del tema. No debes olvidar, por otra parte, que en los enlaces siguientes puedes ver: * Los enunciados de las pruebas de la Universidad de Zaragoza. * Los exámenes resueltos en la página web de José Mª Sorando. Calcular Septiembre 200 Calcular Septiembre 2008 Calcule la siguiente integral indefinida: Junio 2012 Matemáticas II Página 19 de 19