UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO EN ARECIBO UPRA

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María Isabel Nieto Serrano
hace 6 años
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1 UNIVERSIDAD DE PUERTO RICO EN ARECIBO UPRA MECU 3031 MODULO DE ESTUDIO: Funciones Lineales PROFA. CAROLINE RODRIGUEZ MARTINEZ SEM

2 Si un punto, (h,k), satisface una función entonces es cierto que f evaluada en h es k. Lo que también se puede expresar: cuando x = h entonces f(x) = k. Usando notación de funciones escribimos simplemente, f(h) = k. Para toda función, si x = 0 es un valor del dominio entonces f(0) es la notación que describe el intercepto en y. El intercepto en x es el valor de x cuando f(x) = 0. La función lineal Una función de la forma f(x) =mx + b, donde m y b son números reales, es una función lineal. La gráfica de una función lineal es una recta con pendiente igual a m, e intercepto en y igual a b. El dominio y el campo de valores de una función lineal es el conjunto de todos los reales, (, ), por que cualquier valor de x tiene una imagen correspondiente para y usando la regla 2x + 3. Ejemplo: Se presenta la gráfica de f(x) = 2x + 3. El lector observará que la gráfica de esta función lineal es una recta que sube en el plano o sea es una función creciente en todo su dominio. Además, el lector debe poder justificar las siguientes aseveraciones: La pendiente de la función f(x) = 2x + 3 es 2. El intercepto en y de la función f(x) = 2x + 3 es 3. El intercepto en x de la función f(x) = 2x + 3 es 3 2. f(2) = 7

3 Ejemplo: Sea f una función lineal: f(x) = 9 3x a) Si un punto (-3,k) satisface a f, entonces determine el valor de k. b) Determinar las intersecciones con los ejes para f. c) Construya la gráfica de f. d) Determinar los valores de x tal que f(x) < 0. a) Si un punto (-3,k) satisface la función, entonces determine el valor de k. Si (-3,k) satisface a f(x) entonces x = -3 y el valor que desconocemos es el valor de la y. Entonces y = 9 3x se convierte en k = 9 3( 3) k= k = 18 b) Determinar los interceptos: intercepto en y f(0) = 9 3(0) f(0) = 9 El intercepto en y es (0, 9) intercepto en x 0 = 9 3x 3x = 9 x = 9 3 = 3 El intercepto en x es (3, 0) c) Construya la gráfica de f. Usando los interceptos la gráfica es:

4 d) Determinar los valores de x tales que f(x) < 0 9 3x < 0-3x <- 9 x > 9 3 x > 3 Se concluye que f(x) < 0 para valores de x en (3, ). El lector puede comprobar la veracidad de la aseveración anterior examinando la gráfica que se construyó en la parte c de este ejemplo. Ejemplo: Determinar cuál de las siguientes es una función lineal creciente. a) 2x 3y = 4 b) 14x 2y 2 = 5 En cada caso hay que expresar la ecuación lineal como una función lineal y determinar su pendiente. a) 2x 3y = 4 2x 4 = 3y 2x 4 3 = y y = 2 x f(x) = 2 x 4 m = La pendiente es positiva. Por lo tanto, f, es creciente. b) 14x+2y 2 = 5 14x + 2y = 10 2y = 10 14x y = 10 14x 2

5 g(x) = 5 7x La pendiente es negativa. Por lo tanto, g, es decreciente. Ejemplo: Determinar la función lineal que satisface las siguientes condiciones: (a) f(-7) = 1 y f(3) = -4 f(-7) = 1 entonces el punto (-7, 1) pertenece a la gráfica de f. f(3) = -4 entonces el punto (3, -4) pertenece a la gráfica de f. La pendiente de f es: m = y 2 y 1 x 2 x 1 = ( 7) = 5 10 = 1 2 Sustituimos en y = mx + b y = - ½ x + b Utilizamos un punto para hallar b. -4 = - ½ (3) + b 4 = b = b 5 2 = b y = 1/2 x 5/2, por lo tanto f(x) = 1 2 x 5 2

6 Ejemplo: Hallar la función lineal, f, que cumple las siguientes condiciones: f(6) = -7 Su gráfica es perpendicular a la gráfica de 6x + 3y = 4. Hallar la forma pendiente intercepto de la ecuación: 6x + 3y = 4 3y = 4 6x y = 4 6x 3 y = 4 2x (La pendiente de esta recta es m = -2) 3 La pendiente de f es m = 1 2 Con el punto (6, -7) y la pendiente, m = ½ tenemos: f (x) = ½ x + b, sustituimos el punto -7 = ½ (6) + b -7 3 = b b = -10 La función lineal que cumple las condiciones es: f (x) = ½ x 10 Ejemplo de una aplicación verbal: Una tienda de una cadena de tiendas de descuento, tiene las siguientes ventas en dos años diferentes. TIENDA VENTAS EN 2000 VENTAS EN 2005 TIENDA B $ 50, ,000 Encuentre una función que describe las ventas si la relación entre año y ventas es una función lineal.

7 Podemos considerar los datos como puntos: (0, 50,000) y (5, 140,000). La pendiente, m = 140,000 50, Por lo que tenemos: f (x) = x + b = Sustituimos un punto para determinar b = (0) + b = b = 18,000 Una función que describe las ventas durante este periodo es f (x) = x Práctica sugerida: a) Determinar si la siguiente es una función lineal creciente o decreciente: 9y 5x + 6 = 0 b) Dado que f(t) = 5t + 7, calcule f(1), f(-3) f(a) f(-5) f(2) f(5) +2f(1) c) Si f(3) =6 y f(-2) = -4), determine una función lineal que cumple las condiciones dadas. d) Una empresa que fabrica radios tiene costos fijos de $3000 y costos variados de $15 por radio. Determine la función de costo, es decir, el costo total como una función del número de radios producidos. Si cada radio se vende por $25, encuentre la función de ingresos y la función de utilidades o ganancia.

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