UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE ECONOMÍA Y EMPRESA. 1. Funciones reales

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1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE ECONOMÍA Y EMPRESA INGENIERIA COMERCIAL CALCULO I. Funciones reales Introducción: Los puntos en el plano carteano (o rectangular) se anotan P(, y); (, y) son las coordenadas del punto P, el número real a es la abscisa de P y el número real b es la ordenada de P. Una recta en el plano carteano tiene ecuación general A + By + C =, donde A, B, C son números reales. La recta que pasa por los puntos P(, y ) y Q(, y ) tiene ecuación y y y y = ( ) () y El número y m= se llama pendiente de la recta que pasa por P y Q. Por lo tanto, la ecuación () se puede rescribir del guiente modo: y y = m( ) () y corresponde a la ecuación de la recta que pasa por el punto P con pendiente m. Dos rectas se dicen paralelas tienen la misma pendiente y se llaman perpendiculares el producto de sus pendientes es -.. Suponiendo que (a, b) es un punto del cuadrante II, determine el cuadrante en el cual se localiza: (-a, -b), (-a, b), (a, -a), (b, a) y (-b, a).. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(-, -) y Q(, ) y grafíquela.. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos: a) A(4, ) y B(-, 5). b) A(-6, -8) y B(5, ) c) A(, ) y B(-, -6) 4. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas de ecuaciones y + 4 =, y = 5 + y es paralela a la primera. 5. Determine: a) La pendiente y los interceptos de la recta de ecuación - 7y + 5 =. b) Si los puntos (4, ), (-, ), (, ), (-, ) pertenecen a la recta de ecuación + 5y = 8. c) La ecuación de la recta que pasa por P(, 5) con pendiente. Univerdad Diego Portales Ing. Comercial Cálculo I Funciones reales

2 d) La ecuación de la recta que pasa por P(, -) con pendiente -. e) La ecuación de la recta que intersecta el eje X en 5 y el eje Y en. f) La ecuación de la recta que pasa por P(, -6) y Q(-6, ) g) La ecuación de la recta que pasa por P(8, ) y Q(-, ) y 6. Demuestre que la recta que pasa por A(a, ) y B(, b) tiene ecuación + =. a b 7. Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del segmento que une (7, ) con (5, -) y es perpendicular a dicho segmento. 8. Demuestre que: a) Las rectas de ecuaciones A + By + C = y a + by + c = son paralelas y sólo Ab ab =. b) Las rectas de ecuaciones a + by + c = y b ay + d = son perpendiculares. 9. Determine, en cada caso, el valor de k de modo que la recta k y =, a) Pase por el punto (, ). b) Gráficamente sea una recta horizontal. c) Sea paralela a la recta y + + =. d) Sea perpendicular a la recta y = ( ). e) Tenga igual intersección en los ejes coordenados X e Y.. Determine cuáles de las guientes relaciones de A en B son funciones: a) A = { / año entre 98 y 5}, B = Q (números racionales), F() = IPC anual en Chile en el año. b) A = {seres humanos}, B = {seres humanos}, F(a) = hermano de a. c) A = IN, B = IN, F(n) = n 5. d) A = IN, B = IR, F(n) = n - 5 e) A = IR, B = IR, F() = +. + f) A = IR, B = IR, F() =. Si f() = -7, determine f(), f(-) y f() + f(). Si f() = +, determine f(), f(-4) y f(a+). Si f() = +, determine f(5), f() y f(5) f() Univerdad Diego Portales Ing. Comercial Cálculo I Funciones reales

3 4. Grafique la función f definida por 5. Si 4+ g() = + 7 < < f () = 4 9 < < 7, determine g(), g(-5), g(4) y bosqueje su gráfico. 6. Dibuje las parábolas correspondientes a las gráficas de las funciones f() = y g() = 4 indicando el vértice y los interceptos con los ejes coordenados. 7. Determine el dominio de las guientes funciones algebraicas: a) F() = 5 7 b) F() = c) F() = + d) F() = e) F() = + f) F() = 8. Condere las funciones a) Los IR tal que f() = b) Los IR tal que g() = c) Si está en el recorrido de f d) Si -7 está en el recorrido de g e) Si - está en el recorrido de h f) El recorrido de g g) El recorrido de h 9. Determine el dominio de las funciones: f ( ) =, g() =, h() = para determinar, + a) F() = b) F() = + 9 c) F() = d) F() = 4 e) F() = f) F() = g) F() = + Univerdad Diego Portales Ing. Comercial Cálculo I Funciones reales

4 . Determine el dominio de las guientes funciones: a) G() = e b) G() = c) G() = d) G() = + e 8 e) G() = ln( ) f) G() = ln( ) g) G() = log (+5) h) G() = + ln(+). Condere las funciones f: [-6, ] IR, f() = + 5; g : ], ] IR,. Determine el Rec(f) y Rec(g).. Si f y g son las funciones definidas por f() = +, g() = f( - ) y g( ).. Dadas las funciones f y g definidas por f() = + + y g() = -, a) Encuentre ( f o g)( 4), ( f of )( ) y ( gof )( ). b) Eiste algún IR tal que ( f o g)( ) = ( gof )( )? 4. Grafique y determine el dominio y el recorrido de las guientes funciones: + > f ( ) =, g ( ) =, > h ( + ) = +, determine > 5. Sean f y g funciones reales tales que ( f o g)( ) = Si f() =, determine la función g. 6. Para las funciones f y g dadas encuentre f o g. a) b) c) + 5 > f ( ) =, g() = 5 4 f ( ) = +, g() = 9 ( + ) < > f ( ) =, g() = Univerdad Diego Portales Ing. Comercial Cálculo I Funciones reales 4

5 7. En cada caso, determine la función f dada es par, impar o ni para ni impar. a) f ( ) + = c) f( ) 4 = b) f( ) = d) f( ) = log + 8. Demuestre que toda función lineal f() = a + b es biyectiva y que su inversa también es una función lineal. 9. Determine las guientes funciones son inyectivas. a) f ( ) = 4 c) f ( ) = f b) f ( ) = + < d) f ( ) = ( + ). Para cada una de las funciones f dadas, determine el dominio D y el conjunto B de modo que f de D en B sea biyectiva. Además encuentre la función inversa f. a) f ( ) = 5 + b) f ( ) = c) f ( ) = + d) e) f ( ) f ( ) = + = < + <. Cierta institución de beneficencia ha hecho un balance del dinero que se gasta y del dinero que ingresa mensualmente concluyendo que por cada peso gastado se obtiene $,5 de ingreso. Escriba el ingreso I() como función de la cantidad que se gasta. Si el mes pasado se gastó $.85., cuál fue el ingreso de ese mes?. Si en cierto mes el ingreso fue $.., cuánto se gastó ese mes?. Se sabe que al comprar una cámara fotográfica en $5. su valor decrecerá en $95 cada año. Escriba una función D(t) que represente el valor de la cámara fotográfica como función del número de años t, después de su adquición. Si el valor actual de la cámara fotográfica es de $88.5, cuántos años han pasado desde que se adquirió?. La función de costo de una empresa está dada por C(q) = 7q + 5 miles de pesos, donde q es el número de artículos a producir. Cuál es el costo fijo y el costo variable de la empresa? Qué gnificado tiene la pendiente m = 7? 4. Una impresora tiene un valor original de $. y se deprecia en forma lineal durante cinco años con un valor de desecho de $.. Determine una función lineal que proporcione el valor contable al tiempo t. (en años) Cuál será el valor contable de la impresora después de años? 5. Una fábrica de calendarios tiene costos fijos por $., costos de producción de $ por unidad y vende cada artículo a $. Determine las funciones de costos, ingresos y utilidades de la fábrica. Univerdad Diego Portales Ing. Comercial Cálculo I Funciones reales 5

6 6. Las ganancias trimestrales, en miles de dólares de cierta empresa están dadas por la función U() = + 7+, 5, donde, en miles de dólares es la cantidad de dinero que se gasta en publicidad cada trimestre. Determine la cantidad que se debería invertir en publicidad para obtener una ganancia trimestral máima. Cuál es la máima utilidad que se lograría? 7. Cierta empresa tiene como función de costo C(q) = 4 + q y como función de ingreso R(q) = 5q. Determine la función de utilidad U(q) y encuentre el punto de equilibrio (que es el valor q para el cual U(q) = ). Grafique las funciones C, R y U. 8. Muestre que la recta que pasa por los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado. 9. El organismo elimina cierto medicamento de acuerdo con la función eponencial t o (, ) f(t) = P 5, donde t se mide en horas. Si después de horas quedan mg de medicamento en el cuerpo, qué cantidad de medicamento había inicialmente?. Qué cantidad de medicamento hay en el organismo después de horas? 4. Un estudio de productividad del turno matinal de una fábrica (8: a :) indica que el ritmo de producción de un trabajador medio que inicia sus actividades puntualmente es una función del tiempo modelada por la función P(t)= t + 8t +. Determine el momento de la mañana en que el trabajador opera más eficientemente. Respuestas. IV, I, II, IV y III.,, y 8 = ; Sí, no, no, ; y =-4, y =-+, 7 y =-, y = --, y =. 9.,, -6,, -. Sí, no, sí, sí, sí, no.. -4, 4, -8.,, a + a +. 8,, 6. 5., no eiste, IR, IR, IR, IR-{}, IR, IR-{} 9. [,+ [, IR, [-, ], IR - [-, ], [-, ], IR {}, [,+ [. [-, 5], [,+ [. a) 4, 5, 9 b) Sí, ± 8 5. g() = Ni par ni impar, impar, par, impar. 9. No, sí, no, no.. I() =,5 $..5 $ D(t) = años.. Costo fijo $5 mil, Costo variable, 7 por unidad. 4. F() = - 4, $7. 5. C() = +., I() =, U() = US$.5 y US$ U(q) = q -4. Pto equilibrio para q= 9. 4 mg., 5 mg. 4. Después de horas, es decir a las :. Univerdad Diego Portales Ing. Comercial Cálculo I Funciones reales 6