Una variable, y, es función de otra, x, si existe una relación entre ambas de forma tal que: para cada valor de x existe solamente uno de y

Transcripción

1 Funciones Una variable, y, es función de otra, x, si existe una relación entre ambas de forma tal que: para cada valor de x existe solamente uno de y Notamos de la siguiente manera: y = f(x) Leemos: y en función de equis, o bien, y es igual a efe de equis Determine cuál de las siguientes relaciones es función. Determine cuales de los siguientes conjuntos de pares ordenados (x;y) es función: A = {(1;5),(-1;1),(125;253),(4;11),(3/8;30/8),(-2/5;13/15)} B = {(1;5),(4;11),(125;253),(1;8),(3/8;30/8),(-2/5;13/15)} C = {(1;5),(-1;1),(0;3),(4;11),(3/8;30/8),(-2/5;13/15)} D = {(1;5),(5;13),(13;29),(29;61),(61;125),(125;253)} Si las gráficas que siguen representan una relación de indique cuales no son función.

2 Coordenadas Cartesianas Esquema básico para gráficos

3 Función lineal Una variable es un símbolo al que se le puede asignar un conjunto de valores. En general se representan las variables con las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Una constante es un símbolo al que se le puede asignar un solo valor. En general se representan las constantes con las primeras letras del alfabeto: a, b, c. Llamaremos función lineal a una ecuación del tipo y = mx +b Obviamente dados tres elementos cualesquiera de esta ecuación se puede hallar el faltante. Determine cómo. m = x = b = y = En las siguientes gráficas,, se muestran todas las combinaciones posibles de m y b con valores -1,0 y 1, la segunda por ejemplo, muestra y= -1x +0 es decir y = -x. Saque conclusiones sobre : a- el crecimiento de la función a partir del signo de m.

4 b- el signo de la raíz a partir de la combinación de valores entre m y b. a- *... b-*... c- *... d-*... e-*... En las siguientes gráficas,, se muestran distintas funciones lineales con b=1.5, el valor de m se muestra en cada caso. Saque conclusiones sobre la velocidad de crecimiento de acuerdo a valor de m. <>* Con las explicaciones dadas grafique las rectas que siguen, en el sistema de ejes de la página siguiente y = 2x +2 y = -(1/2) x -2 y = (1/3)x +2 y =-3x -2

5 y = 2x+3 y = (1/3)x +3 Recuerde que la pendiente está dada por la diferencia de y sobre la diferencia de x. Esto se puede expresar también como "La cantidad de unidades......" Halle las expresiones que determinan las siguientes rectas y grafique. * Una recta de pendiente dos que pasa por el punto tres, cuatro. * Una función lineal que pasa por el punto P, de coordenadas (18.1;3) y el J de coordenadas (1.2;-3.2) * Una recta con m igual a -2/5 y término independiente igual a cinco. * Determine todos los puntos de intersección entre estas tres rectas. Responda las siguientes cuestiones y grafique. * Si y = (3/2 )x + 3x, determine el valor de b. * Si y = 3 + (1/2 )x, determine el valor de m * Si t= 2/5 + x + 3, determine el valor de m y b Recuerde que: son paralelas si y solo si: son perpendiculares si y solo si: Estos ejercicios no están ordenados por dificultad y suponen que Ud. resolvió TODA la ejercitación anterior.

6 En todos estos enunciados se plantean una o dos preguntas. Sin embargo a partir de los datos obtenidos se puede tener más información, como vimos en clase. Intente obtener en cada caso la mayor cantidad de información posible. Grafique en todos los casos, para tener más claro que es lo que se pregunta, y la calidad de su respuesta. No olvide verificar los resultados antes de ir a las soluciones. Presente los resultados con el resultado exacto, es decir mostrando el racional obtenido. Luego muestre los resultados aproximados utilizando dos dígitos decimales. Las coordenadas de los vértices de una figura cuadrangular en el plano son: A: (-3;4), B: (6;12), C: (-1/2; -3), y D: (2; -6). Determine el punto dónde se cortan sus diagonales. Un función lineal tiene raíz en x= 3/4 otra tiene término independiente igual a 2 y la misma raíz que la función anterior. Determine dónde se cortan. Comente. f(x)= -4/5 x + 6/7 y g(x)= 2/3x +b se cortan en el punto (8;y). Determine las coordenadas de dicha intersección. Comente. h(x)= 125x + x/2, determine para que valor de x y vale 125/2 En el punto (3;4) se cortan dos rectas. Una de ellas tiene raíz en x igual a -12/5, la otra tiene término independiente en (0;-12/5). Determine la expresión que define ambas rectas. r(x)= 2(1/13x +2x -3 +2/3)/2, s(x)=8-3/2+x. Determine y justifique si son o no perpendiculares. j(x)= jx +3, d(x)= (-125/5)x +c. Determine el valor de j para que sean paralelas. Explique si c tiene que tener algún valor particular. Qué particularidad tienen dos funciones lineales que se cortan en el término independiente? f(x)= 4-3x+1/2. Determine una paralela a ella que tenga término independiente igual a 18/4. g(x)= 8- x(10/13). Determine la perpendicular que pasa por el punto medio del segmento que determina su término independiente y su raíz. 3= 4x +1+y. Determine f(x). Tenemos tres puntos: A: (-2; -3/5), B: (4; 7/8), C: (-4; -4/5). Pertenecen o no a la misma recta?. Justifique. Tenemos tres puntos: A: (-2; -3/5), B: (4; 7/8), C: (a; b). Determine valores de a y de b tal que los tres puntos estén alineados. Comente sobre la/s posible/s solución /es. Algunas respuestas: -1/28; -27/14; 125/251; 8; -194/35; 32/15; -12/5; 20/27; 16/19; 27/13; 1; -5; -3; 9/2; 3/10; 61/25; 4;1. Cualquier valor de a es lícito y b es función lineal de a. En la raíz (es el punto común). No es necesaria la segunda parte del enunciado. No, por la definición de recta paralela. Las pendientes que determinan son distintas y no se cumple la definición de recta paralela. Tienen el mismo término independiente!. Las pendientes son distintas, luego no lo son. *Grafique según se le indique los ejercicios correspondientes a sistemas de ecuaciones. Comienzo de optativo Cuestiones: * Lo que sigue exige un buen manejo del tema "función lineal". Aprovéchelo. * Determine tres puntos no alineados cualesquiera, indicando sus coordenadas en el plano. * Estos tres puntos determinan un triángulo. Márquelo. * Trace las tres perpendiculares que pasan por el punto medio de cada lado. * Si todo va bien hasta ahora estas tres nuevas rectas se deben cortar en un mismo punto. * Este punto equidista de los tres vértices del triángulo determinado por los tres puntos. En realidad esta es una aplicación de un teorema que enuncia que por tres puntos cualesquiera que no estén alineados en el plano siempre pasa una circunferencia. * Este procedimiento podría resolver un problema de este tipo: "Dada tres poblaciones que necesitan de un determinado abastecimiento, ubique el centro de abastecimiento de tal manera que esté a la misma distancia de las tres poblaciones" * Ahora que sabe el problema concreto que tiene que resolver. Determine con exactitud en forma analítica las coordenadas del centro de abastecimiento a partir de los datos iniciales dados por Ud.

7 * Tal vez el mayor problema consista en hallar las coordenadas del punto medio de un segmento. Si no lo logra busque al final de este texto, pero vale la pena que lo intente hasta sus últimas consecuencias. * Verifique que la solución analítica del problema coincida con la solución gráfica. * Una vez resuelto y graficado determine a que distancia está el centro de abastecimiento de cada uno de los lugares a abastecer. Verifique que equidista.