MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA

Transcripción

1 MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA

2 Repaso de límites NE 6

3 Aplicaciones de la derivada Encuentre la pendiente de la recta tangente en el punto (9,3) a la curva: f ( x) x La pendiente de la recta tangente es la derivada en x=9. Si f(x)= x f x = 1 2 x 1 2 f x = 1 2 x f 9 = f 9 = 1 2(3) f 9 = 1 6 La pendiente de la recta tangente de f(x)= x en x = 9 es 1 6.

4 Aplicaciones de la derivada Encuentre una ecuación de la recta tangente a la curva f x = 1 en el punto (1,1). x Para halla la ecuación de la recta tangente, primero debemos halla la pendiente de la recta tangente (o sea la derivada). Si f(x)= 1 x f x = x 1 f x = x 2 f x f 1 f 1 = 1 x 2 = = 1 La pendiente de la recta tangente de f(x)= 1 en x = 2 es 1. x y = mx + b y = x + b 1 = (1) + b La ecuación de la recta b = 2 tangente es y = -x + 2

5 Técnicas de diferenciación : La regla para la suma y la resta Suma: La derivada de una suma es la suma de las derivadas. d f (x) g(x) d dx dx f (x) d dx g(x) Diferencia:: La derivada de una diferencia es la diferencia de las derivadas. d dx f (x) g(x) d dx f (x) d dx g(x)

6 Técnicas de diferenciación : La regla para la suma y la resta Ejemplo: Determinar la derivada de cada función. a) b) f(x) = 5x 3 7 g x = 24x x + 5 x f x = g x g x = x 5 x 2

7 Técnicas de diferenciación : La regla para la suma y la resta Determinar : f x si f x = 9x 5 + 4x x2 3x + 5 f x = 9 5 x x (2) x f x = 45x x 2 1x 1 f x = 45x x 2 x

8 Técnicas de diferenciación : La regla para la suma y la resta Ejemplo: Hallar el (los) punto(s) en la gráfica de f (x) x 3 6x 2 en donde la tangente es horizontal. Recordar: la derivada es la pendiente de la recta tangente la pendiente de una recta horizontal es cero. Por lo tanto, queremos encontrar todos los puntos en la gráfica de f donde la derivada de f es igual a 0.

9 Técnicas de diferenciación : La regla para la suma y la resta Ejemplo (continuación): Debemos encontrar la derivada de f (x) x 3 6x 2. f ( x) 3 x 6 2x 2 f ( x) 3x 12x Igualamos f x a 0: 3 xx ( 4) 0 x 2 3x 12x x 0 x x 4

10 Técnicas de diferenciación : La regla para la suma y la resta Ejemplo 5 (continuación): Para hallar los valores de y que corresponden a estos valores de x sustituimos en f(x). 3 2 f (0) f (0) 0 f (x) x 3 6x f (4) (4) 32 Por lo tanto la recta tangente a f (x) x 3 6x 2 es horizontal en los puntos (0, 0) y (4, 32). f

11 Técnicas de diferenciación : La regla para la suma y la resta Ejemplo (conclusión):

12 Aplicaciones de la derivada en la administración En la administración: la derivada tiene aplicaciones en la construcción de lo que se llaman tasas marginales la palabra marginal se utiliza para indicar una razón de cambio o sea una derivada. el ejemplo más común es el cómputo del costo marginal, pero también se busca el ingreso marginal, la utilidad marginal, la productividad marginal, y el rendimiento marginal.

13 Aplicaciones de la derivada en la administración El costo marginal es el costo de producir una unidad adicional cuando se aumenta el nivel de producción en un pequeño incremento infinitesimal. Es la derivada de la función de costo con respecto a la cantidad producida. Dado que C(x) es la función de costo y que x es la cantidad producido, el costo marginal es C (x) = dc dx

14 Aplicaciones de la derivada en la administración Ejemplo: Calcule el costo marginal de las siguientes funciones de costo. Calcule, además, el costo total de producir 100 artículos y el costo marginal asociado a la producción de 100 artículos. a) C x = ln(200) + 3x 2 C x = 0 + 3(2)x 2 1 C x = 6x C 100 = ln(200) + 3(100) 2 = $30, C 100 = 6(100) = $600

15 Aplicaciones de la derivada en la administración Ejemplo: Calcule el costo marginal de las siguientes funciones de costo. Calcule, además, el costo total de producir 100 artículos y el costo marginal asociado a la producción de 100 artículos. b) C x = 0.001x x x C x = (0.001)(3)x 3 1 (0.0009)(2)x x C x = 0.003x x x C x = 0.003x x 0.02 C x = 0.001(100) (100) C 100 = C 100 = $29.96 C x = $2, (100) (100) 0.02

16 Aplicaciones de la derivada en la administración La función de ingreso se puede escribir R x = xp donde p es el precio por artículo (expresado p como función de x) y x es el número de artículos vendidos. El ingreso marginal representa las entradas adicionales de una empresa por artículo adicional vendido cuando ocurre un incremento muy pequeño en el número de artículos vendidos. Dado R(x) que denota el ingreso en dólares por la venta de x artículos, definimos el ingreso marginal como la derivada R (x) = dr dx

17 Aplicaciones de la derivada en la administración Ejemplo: Si la función de ingreso está dada por R x = 0.3x 0.001x x 3 2, donde x es el número de artículos vendidos, calcule el ingreso marginal. R x = 0.3x x x 3 2 R x = R x = R x = (0.3)(3)x 3 1 (0.001)(2)x ( 3 2 )x x x x x x x

18 Aplicaciones de la derivada en la administración Ejemplo: Si la ecuación de demanda está dada por 10p + x x 2 = 700 (donde x es el número de artículos vendidos), calcule el ingreso marginal cuando x=100. Solución: Primeramente, debemos escribir la función de demanda p en términos de x. p = (700 x 0.01x 2 ) 10 p = x 0.001x 2 R(x) = R (x) = x 0.001x 2 x = 70x 0.1x x 3 70x 1 1 (0.1)(2)x 2 1 (0.001)(3)x 3 1 R x = 70x 0 0.2x 0.003x 2 R x = x 0.003x 2 R 200 = (100) 0.003(100) 2 R 10 = = $20.00

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