MATE Dr. Pedro V squez UPRM. P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 20
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- Esteban Bustamante Valenzuela
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1 Dr. Pedro V squez UPRM P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 20
2 Derivadas y razones de cambio En esta secciûn se discutir como hallar la pendiente de una recta tangente y la velocidad de un objeto usando lìmites. Considere una curva C con ecuaciûn y = f (x), el objetivo es hallar la ecuaciûn de la recta tangente a C en el punto P (a, f (a)), para ello considere al punto! Q (x, f (x)), donde x 6= a y calcule la pendiente a la recta secante PQ. y Q(x,f(x)) P(a,f(a)) x-a f(x)-f(a) La pendiente de la recta secante: m PQ = a x x P. V squez (UPRM) Conferencia 2/ 20
3 DeÖniciÛn La recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (a, f (a)) es la recta que pasa por P con pendiente: (1) m = lim x!a si el lìmite existe.! Nota: La pendiente de la recta secante PQ, se puede calcular considerando h = x $ a, lo que implica x = a + h y la pendiente de la recta secante es: m PQ = f (a+h)$f (a) h Es importante que observe que cuando x se aproxima a a, h se aproxima a 0, y una expresiûn equivalente para la pendiente de la recta tangente se tiene en la siguiente ecuaciûn: m = lim h!0 (2) P. V squez (UPRM) Conferencia 3/ 20
4 . Ejemplo 1. 4 (p g. 148) Halle la pendiente de la recta tangente a la par bola y = x $ x 3 en el punto (1, 3) : a. usando la deöniciûn b. usando la ecuaciûn (1). c. Determine la ecuaciûn de la recta tangente P. V squez (UPRM) Conferencia 4/ 20
5 2. Halle la ecuaciûn a la recta tangente a la curva y = p x en el punto (1, 1) P. V squez (UPRM) Conferencia 5/ 20
6 3. Halle la ecuaciûn a la recta tangente a la curva y = 2x + 1 x + 2 (1, 1) en el punto P. V squez (UPRM) Conferencia 6/ 20
7 Velocidad: En general suponga que un objeto se mueve a lo largo de una lìnea recta de acuerdo a la ecuaciûn del movimiento s = f (t), donde s es el desplazamiento (distancia dirigida) del objeto desde el origen en el tiempo t. La funciûn f que describe el movimiento es llamada la funciûn posiciûn del objeto. En el intervalo de tiempo de t : [a, a + h], el cambio de posiciûn es: f (a + h) $ f (a), la velocidad promedio sobre el intervalo de tiempo es: velocidad promedio = desplazamiento tiempo = f (a + h) $ f (a) h y Q(a+h,f(a+h)) P(a,f(a)) h f(a+h)-f(a) La velocidad promedio es la pendiente de la recta secante:! PQ a a+h x P. V squez (UPRM) Conferencia 7/ 20
8 Si la velocidad promedio se calcula en periodos de tiempo m s pequeòos, [a, a + h], es decir, h se aproxima a 0, entonces se tiene la velocidad (velocidad instant nea) v (a) en el tiempo t = a y se calcula como el lìmite de la velocidad promedio: si el lìmite existe. Ejemplo Prob. 16. p g. 149 v (a) = lim h!0 f (a + h) $ f (a) h P. V squez (UPRM) Conferencia 8/ 20
9 P. V squez (UPRM) Conferencia 9/ 20
10 DeÖniciÛn La derivada de una funciûn f en un n mero a, denotada por f 0 (a), es: f 0 (a) = lim h!0 f (a + h) $ f (a) h si el lìmite existe. Nota: Si x = a + h ) h = x $ a y se tiene: f 0 f (x) $ f (a) (a) = lim x!a x $ a Recta tangente: La ecuaciûn de la recta tangente a y = f (x) en (a, f (a)) es la recta que pasa por (a, f (a)) cuya pendiente es igual a f 0 (a), la derivada de f en a y es dada por: y $ f (a) = f 0 (a)(x $ a) P. V squez (UPRM) Conferencia 10 / 20
11 Prob. 17 p g. 149 MATE 3031 Prob. 22 Si la recta tangente a y = f (x) en (4, 3) pasa por el punto (0, 2), halle f (4) y f 0 (4) P. V squez (UPRM) Conferencia 11 / 20
12 Prob. 24 Haga el bosquejo de la gr Öca de una funciûn g para la cual: g (0) = g (4) = g (2) = 0, g 0 (1) = g 0 (3) = 0, g 0 (0) = g 0 (4) = 1, g 0 (2) = $1, lim g (x) =,, lim g (x) = $. x! y x!$ x P. V squez (UPRM) Conferencia 12 / 20
13 28. Si G (x) =x 4 $ 2, halle G 0 (a) y selo para hallar las rectas tangentes a la curva y = x 4 $ 2 en los puntos (1, $1). P. V squez (UPRM) Conferencia 13 / 20
14 36. Halle f 0 (a) si f (t) = MATE p 1 $ t P. V squez (UPRM) Conferencia 14 / 20
15 e $2+h $ e $2 34. El lìmite lim representa la derivada de una funciûn f en h!0 h alg n n mero a, halle f y a. sin x $ El lìmite lim x! p 6 x $ p representa la derivada de una funciûn f en 6 alg n n mero a, halle f y a. P. V squez (UPRM) Conferencia 15 / 20
16 Razones de cambio Suponga que y es una cantidad que depende de otra cantidad x. AsÌ, y es una funciûn de x y se escribe: y = f (x). Si x cambia de x 1 a x 2, entonces el cambio en x (tambièn llamado el incremento de x) es: y el cambio correspondiente en y es: El cociente de las diferencias: Dx = x 2 $ x 1 Dy = f (x 2 ) $ f (x 1 ) Dy Dx = f (x 2) $ f (x 1 ) x 2 $ x 1 es llamado la razûn de cambio promedio de y conrespecto a x, sobre el intervalo [x 2, x 1 ] y se puede interpretar como la pendiente de una recta secante que pasa por los puntos (x 1, f (x 1 )).y (x 2, f (x 2 )). P. V squez (UPRM) Conferencia 16 / 20
17 Similar a la velocidad, si se considera la razûn de cambio promedio sobre intervalos cada vez m s pequeòos, haciendo que x 2 se aproxime a x 1 lo que implica que Dx se aproxima a cero. El lìmte de la razûn de cambio promedio es llamado la razûn de cambio (instant nea) de y con respecto a x en x = x 1, que se puede interpretar como la pediente de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto (x 1, f (x 1 )) y se denota por: razûn de cambio instant nea = lim Dx!0 Dy Dx = lim f (x 2 ) $ f (x 1 ) Dx!0 x 2 $ x 1 La expresiûn anterior no es otra cosa que la derivada de f en x 1. Ahora se puede dar una interpretaciûn diferente a y = f 0(a) que representa la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en x = a, como: La derivada f 0(a) es la razûn de cambio instant nea de y = f (x) con respecto a x cuando x = a. P. V squez (UPRM) Conferencia 17 / 20
18 46.. P. V squez (UPRM) Conferencia 18 / 20
19 54. El n mero de bacterias despuès de t horas en un laboratorio experimental es n = f (t): a. øcu l es el signiöcado de f 0 (5)? øcu les son sus unidades? b.... P. V squez (UPRM) Conferencia 19 / 20
20 P. V squez (UPRM) Conferencia 20 / 20
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