MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 16

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1 Dr. Pedro Vásquez UPRM P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 16

2 Curvas soluciones sin solución algebraica I. Campos direccionales Recuerde que dada la ED y 0 = f (x, y), si f y f satisfacen y ciertas condiciones, la ED de primer orden tiene solución única. Aquí surgen una serie de preguntas, que hacer con ED de primer orden cuya solución no es simple determinar en forma algebraica. Es importante recordar lo siguiente: la derivada de una función diferenciable y = y (x) representa la pendiente de la recta tangente en todos los puntos de la grá ca. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 16

3 Pendiente: como una solución y = y (x) a una EDO de primer orden y 0 = f (x, y) es necesariamente diferenciable en un intervalo I por de nición, debe ser continua en I. Por esta razón la curva solución en I debe ser una curva suave y debe poseer una recta tangente en cada punto (x, y). La función f es llamada función pendiente o función de cambio. Ejemplo Dada la ED y 0 = x + y, si se considera el punto (1, 1) la curva solución en el punto (1, 1) tiene una recta tangente con pendiente f (1, 1) =. Si la función f se evalúa sistemáticamente sobre un conjunto de puntos en el plano y se traza un segmento de la recta tangente en cada punto (x, y) con pendiente f (x, y) se obtiene lo que se le llama campo direccional de la ED y 0 = f (x, y). P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 / 16

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5 Trace un campo direccional de la ED y 0 = sin(x + y) = f (x, y) y luego trace curvas soluciones que pasen por los puntos (0, 0), ( 1, 0), (2, 1) y'=sin(x+y) 4 y x P. Vásquez (UPRM) Conferencia 5 / 16

6 II. ED autónomas de 1er orden Una ED es autónoma si la variable independiente no aparece en forma explícita. Si la variable independiente es x, entonces una ED autónoma puede ser escrita en la forma f (y, y 0 ) = 0 o en la forma dy dx = f (y). Ejemplos: 1. dy dx =, 2. dy dx = P. Vásquez (UPRM) Conferencia 6 / 16

7 Puntos críticos Los ceros de la función f (y), es decir, f (y) = 0, son llamados puntos críticos de la EDA. Un punto crítico también es llamado un punto de equilibrio o punto estacionario. Nota: Si en la ED dy = f (y) se considera la función dx constante y (x) = c, ambos lados de la ecuación son cero. Esto signi ca que: Si c es un punto crítico de la ED dy = f (y), entonces dx y (x) = c es una solución constante de la EDA. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 7 / 16

8 Una solución constante y (x) = c de la EDA es llamada una solución de equilibrio. Es importante indicar que una solución no constante y = y (x) de la EDA es creciente o decreciente, cuyos signos se determinan analizando los signos de la derivada dy dx. Ejemplo Considere la EDA dy dx = y 2 y 3 determine los puntos críticos. y 2 y 3 = 0 ) y 2 (1 y) = 0 ) y =, y = Intervalo Signo de f (y) f (y) Dirección (, ) (, ) (, ) P. Vásquez (UPRM) Conferencia 8 / 16

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10 Curvas solución Cuando se resuelve una EDA, como la función f es independiente de la variable independiente x, se puede considerar que f está de nida para todo número real, como f y f 0 son funciones continuas de y en alguna región R del plano xy. Algunas conclusiones: 1 Si (x 0, y 0 ) está en la subregión R i, y y = y (x) es una solución cuya grá ca pasa por ese punto, entonces y (x) se mantiene en la i-ésima región. 2 Por continuidad de f se tiene que f (y) > 0 o f (y) < 0 para todo x en la región R i. 3 Como dy = f (y (x)) es siempre positiva o negativa en la dx región R i, entonces y (x) es creciente o decreciente en dicha región. 4 Si y (x) es acotada inferiormente o superiormente, entonces esa cotas representan asíntotas horizontales. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 10 / 16

11 Ejemplo: Considere la EDA dy dx = y 2 + y 3, esboce las grá cas de las curvas solución. dy dx = y 2 + y 3, la solución es: f g y P. Vásquez (UPRM) Conferencia 11 / 16

12 Puntos críticos Estable asíntoticamente si todas las soluciones y = y (x) que pasan por el punto (x 0, y 0 ) su cientemente cerca de c tiene un comportamiento asíntotico lim y (x) = c. x! Inestable si todas las soluciones y = y (x) que pasan por el punto (x 0, y 0 ) su cientemente cerca de c se alejan de c cuando x!. Semi-estable si todas las soluciones y = y (x) que pasan por el punto (x 0, y 0 ) su cientemente cerca de c, unas se alejan y otras se acercan a c. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 12 / 16

13 Ejemplo Considere la EDA dy dx = y 2 + y 3 determine los puntos críticos. y 2 + y 3 = 0 ) y 2 (y + 1) = 0 ) y =, y = Intervalo Signo de f (y) f (y) Dirección (, ) (, ) (, ) c = : y c = : P. Vásquez (UPRM) Conferencia 13 / 16

14 Ejemplo Considere la EDA dy dx los puntos críticos. = y (y + 2) (y 4) determine y (y + 2) (y 4) = 0 ) y =, y =, y =, Intervalo Signo de f (y) f (y) Dirección (, ) (, ) (, ) (, ) c = :,c = : y c = : P. Vásquez (UPRM) Conferencia 14 / 16

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