Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul
|
|
- Julio Duarte Cortés
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Matemáticas para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul 1
2 Unidad V. (Capítulos 12 y 13 del texto) APLICACIONES DE LA DERIVADA 5.1 Función creciente y decreciente. 5.2 Extremos relativos y extremos absolutos. 5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos. 5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada. 5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos promedio. 5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso. 2
3 5.1 Función creciente y decreciente. En este capítulo se muestra el análisis de las funciones, su forma y el comportamiento de su gráfica 3
4 Por ejemplo: La ecuación y = (x +1)3 (x -1) en los puntos (-1,0), (0, -1) y (1, 0) podría formar las gráficas de la figura 12.1, pero la forma correcta es la figura 12.1 (b) 4
5 La gráfica de la función y=f(x) de la figura 12.2 conforme aumenta de (izquierda a derecha) en el intervalo I1, entre a y b, los valores de f(x) también aumentan y la curva asciende. Esto significa que si x1 y x2 son dos puntos cualquiera en I1, tales que x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2). Se dice que f es una función creciente en I1. Por otra parte, conforme x aumenta en el intervalo I2 entre c y d, la curva desciende. En este intervalo x3 < x4 implica que f(x3) < f(x4), se dice que f es una función decreciente en I2.. 5
6 Definición Se dice que una función f es creciente en el intervalo I, si para dos números cualesquiera x1, x2 en I, en donde x1 < x2 se cumple que f(x1 ) < f(x2). Una función f es decreciente en el intervalo I, si para dos números cualesquiera x1, x2 en I, en donde x1 < x2 se cumple que f(x1 ) > f(x2). En la figura 12.2 en el intervalo I1, las rectas tangentes a la curva tienen pendiente positiva por lo que la f (x) debe ser positiva para toda x en I1. En el intervalo I2, las rectas tangentes tienen pendiente negativa por lo que la f (x) < 0 para todo x en I2. La siguiente regla permite usar la derivada para determinar cuando una función es creciente o decreciente. 6
7 Regla 1: Criterios para funciones crecientes o decrecientes Sea f diferenciable en el intervalo (a,b). 1. Si f (x) > 0, para toda x en (a,b), entonces f es creciente en (a,b). 2. Si f (x ) < 0, para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en (a,b). 7
8 Ejemplo : Para determinar los intervalos en que la función y = 18x 2/3 x3 es creciente o decreciente. Sea y = f(x), se debe determinar cuando f (x) es positiva y cuando es negativa. Entonces: f (x)= 18 2x2 = 2(9 x2 ) = 2(3+ x )(3 x) Según la sección 9.5 el signo de f (x) probando los intervalos determinados por las raíces 2(3+ x )(3 x) = 0. Esto es, 3y 3, (figura 12.3). En cada intervalo el signo de f (x) está determinado por los signos de sus factores: -3 3 Figura 12.3 intervalos determinados por las raíces f (x) = 0 8
9 Si x < - 3 entonces, f (x) = 2(-)(+) = (-), la f es decreciente Si 3 < x < 3 entonces, f (x) = 2(+)(+) = (+), la f es creciente Si x > 3 entonces, f (x) = 2(-)(+) = (-), la f es decreciente 9
10 5.2 Extremos relativos y absolutos Con la gráfica de y = f(x) de la figura 12.5 se dice que la gráfica de f tiene un (punto) máximo relativo cuando x = x1 (0 en x1) y cuando x = x3, también tiene un (punto) mínimo relativo cuando x = x2. La función tiene valores máximos relativos de f(x1) y f(x3) cuando x = x1 y x = x3 respectivamente. En la gráfica hay un máximo absoluto (punto más alto en toda la curva) en x = x1 pero no hay un mínimo absoluto (punto más bajo en toda la curva) porque la curva se prolonga de manera indefinida hacia abajo. 10
11 Definiciones Máximo relativo: Una f tiene un máximo relativo en x = x0, si existe un intervalo abierto que contenga a x0 sobre el cual la f (x0 ) > f (x ) para toda x en el intervalo. El máximo relativo es f (x0 ). Una f tiene un mínimo relativo en x = x0, si existe un intervalo abierto que contenga a x0 sobre el cual la f (x0 ) < f (x ) para toda x en el intervalo. El mínimo relativo es f (x0 ). Máximo absoluto: Una f tiene un máximo absoluto en x = x0, si f (x0 ) > f (x ) para toda x en el dominio de f. El máximo absoluto es f (x0 ). Una f tiene un mínimo absoluto en x = x0, si f (x0 ) < f (x ) para toda x en el dominio de f. El mínimo absoluto es f (x0 ). 11
12 En la figura 12.5 en un extremo relativo la derivada puede no estar definida cuando (x = x3), pero siempre que esté definida en un extremo relativo es igual a cero, en (x = x1, x = x2) por lo que la recta tangente es horizontal. Regla 2: Extremo relativo Si f tiene un extremo relativo cuando x = x0 entonces la f (x)= 0, o bien, la f (x ) no está definida. Implicación de la regla 2 en una sola dirección Extremo relativo en x0 f (x)= 0 o f (x)= no está definida 12
13 Los puntos para localizar los extremos relativos se denominan puntos críticos y sus abscisas se denominan, valores críticos, en la figura 12.5 los números ( x1, x2 y x2) son valores críticos y P1,P2, y P3 son puntos críticos. Definición Si x0 está en el dominio de f y f (x)= 0 o f (x) no está definida entonces x0 se denomina valor crítico de f. Si x0 es un valor crítico entonces el punto (x0, f(x)) se denomina punto crítico. Se tiene que alrededor de los máximos relativos, f es creciente y luego decreciente, y para los mínimos relativos la proporción inversa es cierta. Regla 3: Criterios para extremos relativos Suponga que f es continua en un intervalo abierto I que contiene el valor crítico x0 y f es diferenciable en I excepto posiblemente en x0. a. f (x ) cambia de positiva a negativa cuando x crece al pasar por x0, entonces f tiene un máximo relativo cuando x = x0. b. f (x ) cambia de negativa a positiva cuando x crece al pasar por x0, entonces f tiene un mínimo relativo cuando x = x0.. 13
14 En la figura 12.7 f (x ) > 0 para todo x, la gráfica de f no desciende nunca y se dice que f es no decreciente. Es importante entender que no todo valor de x donde f (x ) no existe es un valor crítico, por ejemplo, si: y = f (x) = 1 x2 y = f ( x ) = 2 x3 14
15 Aunque f (x ) no está definida en x = 0, cero no es un valor crítico porque no está en el dominio de f. Sin embargo f (x ) puede cambiar de signo alrededor de cualquier valor de x, en que f (x ) no está definida, por lo que tales valores son importantes en la determinación de los intervalos sobre los que la f es creciente o decreciente. Si x < 0, entonces f ( x ) = 2 >0 x3 Si x > 0, entonces f ( x ) = 23 < 0 x Así, f es creciente en (-, 0) y decreciente en (0, ). (Ver la fig. 12.8) 15
16 16
17 5.3 Prueba de la primera derivada para los extremos relativos Resumiendo los resultados anteriores se tiene la prueba de la primera derivada para los extremos relativos de y = f (x ). Paso 1. Encontrar la f (x). Paso 2 Determinar todos los valores de x en que f (x)= 0 o no está definida (estos valores incluyen valores críticos y puntos de discontinuidad). Paso 3 En los intervalos sugeridos por los valores del paso 2, determinar si f es creciente [f (x)> 0] o decreciente [f (x)< 0]. Para cada valor crítico x0 en que f es continua, determinar si f (x) cambia de signo cuando x crece al pasar por x0. Habrá un máximo relativo cuando x =x0, si f (x) cambia de + a -, al ir de izquierda a derecha, y habrá un mínimo relativo si f (x) cambia de a + al ir de izquierda a derecha. Si f (x) no cambia de signo, no habrá un extremo relativo cuando x =x0. Paso 4 17
18 5.3 Extremos absolutos en un intervalo cerrado (El objetivo es determinar los valores extremos en un intervalo cerrado) Si una f es continua en un intervalo cerrado (a,b), puede demostrarse que entre todos los valores de f (x ) de la función de x en (a,b), debe haber un valor máximo (absoluto). Estos dos valores se llaman valores extremos de f en ese intervalo. Esta propiedad de las funciones continuas se llama Teorema del valor extremo. Teorema del valor extremo Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces la función tiene un valor máximo y un valor mínimo en ese intervalo. 18
19 Por ejemplo, cada función de la figura es continua en el intervalo cerrado (1,3). En forma geométrica, el teorema del valor extremo asegura que sobre este intervalo, cada gráfica tiene un punto de altura máxima y otro de altura mínima En el Teorema del valor extremo se exige que haya: 1. un intervalo cerrado, y 2. una función continua en ese intervalo 19
20 Extremos absolutos Si el dominio de una función es un intervalo cerrado, para determinar extremos absolutos se debe examinar la función no sólo en los valores críticos, sino también en los puntos extremos, la figura muestra la gráfica de la función continua y = f (x ) en [a,b]. El teorema del valor extremo garantiza extremos absolutos en el intervalo. Es claro que los puntos importantes sobre la gráfica se presentan en x = a, b, c y d, que corresponden a puntos extremos o a valores críticos. En la figura el máximo absoluto ocurre en el valor crítico c. y el mínimo absoluto ocurre en el punto extremo a. 20
21 Procedimiento para encontrar los extremos absolutos de un función continua y = f (x ) en [a,b]. Paso 1. Encontrar los valores crítico de f Paso 2. Evaluar f(x ) en los puntos extremos a y b, y en los valores sobre (a,b). Paso 3. El valor máximo de la f es el mayor de los valores encontrados en el paso 2. El valor mínimo de la f es el menor de los valores encontrados en el paso 2. 21
22 Ejemplo: Encontrar los extremos absolutos para f(x) = x2 4x + 5 en el intervalo cerrado [1, 4]. Solución: como f es continua sobre [1, 4] el procedimiento anterior se aplica. Paso 1. Para encontrar los valores críticos de f primero se obtiene la f f = 2x 4 = 2( x 2) Entonces el valor crítico es x = 2 Paso 2. Al evaluar f(x) en los puntos extremos (1,4) y en el valor crítico 2 f (1) = 2 f (4) = 5 valores de f en los puntos extremos y f (2) = 1 valores de f en el valor crítico en (1,4) Paso 3. De los valores de la función en el paso 2 se concluye que el máximo es f(4) = 5 y el mínimo es f(2) = 1 (ver fig., 12.28) 22
23 5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada. Para conocer la verdadera forma de una curva se necesita más información. Sea la curva y = f(x) = x2 y su derivada f (x) = 2x, entonces x = 0 es un valor crítico. Si x < 0, entonces f (x) < 0, f es decreciente Si x > 0, entonces f (x) > 0, f es creciente entonces se obtiene un mínimo relativo cuando x = 0 En la figura las curvas satisfacen las condiciones anteriores, pero cuál gráfica describe verdaderamente la curva? Esta pregunta se contesta con facilidad usando la segunda derivada y la noción de concavidad. 23
24 Definición Sea f diferenciable en el intervalo (a,b). Entonces se dice que f es cóncava hacia arriba [cóncava hacia abajo] en (a,b) si f es creciente [decreciente] en (a,b). Regla 4: Criterios de concavidad Sea f diferenciable en el intervalo (a,b). Si f (x ) > 0 para toda x en (a.b), entonces f es cóncava hacia arriba en (a,b).si f (x ) < 0, para toda x en (a,b), entonces f es cóncava hacia abajo en (a.b) 24
25 Ejemplo: investigación de la concavidad Determinar donde la función y = f(x) = (x-1)3 + 1 es cóncava hacia arriba y dónde Cóncava hacia abajo. Solución: para aplicar la regla 4 se examinan los signos de yn. Se tiene y = 3(x-1)2, por lo que y = 6(x-1). Así, la f es cóncava hacia arriba cuando 6(x-1) > 0, cuando x > 1 y f es cóncava hacia abajo cuando 6(x-1) < 0, cuando x < 1. (Ver la fig., 12.32). 25
26 Definición Una f tiene un punto de inflexión cuando x = x0, si y sólo si f es continua en x0 y f cambia de concavidad en x0. Para determinar la concavidad de una función y sus puntos de inflexión, encontrar: 1. Los valores de x donde f ( x ) = 0 o no está definida, estos valores de x determinan intervalos. 2. En cada intervalo determinar f ( x ) > 0 (f cóncava hacia arriba) o f ( x ) < 0 (f cóncava hacia abajo). Si la concavidad cambia alrededor de uno de estos valores de x, y f es continua ahí, entonces f tiene un punto de inflexión en ese valor de x. El requisito de continuidad implica que el valor de x debe estar en el dominio de la función Un candidato para un punto de inflexión de satisfacer dos condiciones 1. f ( x ) debe ser 0 o no está definida en ese punto. 2. f debe ser continua en ese punto. 26
27 Ejemplo: Si f(x) = x1/3 entonces: 1 f (x) = 3 x 2/3 y 2 f (x) = 9 x-5/3 = - 2/9 x5/3 Como f no está definida en 0, pero es continua en 0, tiene un candidato para punto de inflexión cuando x = 0. Si x > 0, entonces f (x) < 0, por lo que f es cóncava hacia abajo para x > 0. Si x < 0, entonces f (x) > 0, por lo que f es cóncava hacia arriba para x < 0. Como la concavidad cambia en x= 0, se tiene ahí un punto de inflexión. (Ver la fig., 12.33). 27
28 5.4 Prueba de la segunda derivada La segunda derivada puede usarse para probar si ciertos valores críticos corresponden a valores extremos relativos. En la figura cuando x = x0 se tiene una tangente horizontal, esto es, f (x0) = 0. Además alrededor de x0 la función es cóncava hacia arriba, esto es, [f (x0) > 0]. Lo anterior lleva a concluir que habrá un mínimo relativo en x0. Por otra parte, alrededor de x1 la función es cóncava hacia abajo, esto es, [f (x0) < 0], como la recta tangente es horizontal en x1, se concluye que existe un máximo relativo. 28
29 Esta técnica de examinar la segunda derivada en puntos donde la primera derivada es cero, se llama prueba de la segunda derivada para extremos relativos. Prueba de la segunda derivada Se supone que f (x0) = f (x0) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en x 0 2. f (x0) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en x 0 La prueba de la segunda derivada no es aplicable cuando: 1. f (x0) = 0 2. f (x0) = 0 y 3. f (x0) no está definida 29
30 Ejemplo: prueba de la segunda derivada Investigar los máximos y mínimos de la función y = 18 x 2 3 x 3 Solución: y = 18 2x2 = 2(9 - x 2) = 2(3+x)(3 x) y = - 4x Resolviendo y = 0 se obtienen los valores críticos x = ± 3. Si x = 3 entonces y = - 4(3) = - 12 < 0 existe un máximo relativo en x = 3 Si x = - 3 entonces y = - 4(-3) = 12 > 0 existe un mínimo relativo en x = - 3 (Ver fig., 12.4) 30
31 5.5 Optimización de funciones económico-administrativas Guía para la resolución de problemas de aplicación de máximos y mínimos Paso 1. Cuando sea apropiado, dibuje un diagrama que muestre la información dada en el problema. Paso 2. Formule una función para la cantidad que se quiera maximizar o minimizar. Paso 3. Exprese la función del paso 2 como función de una sola variable y señale el dominio de esta función. El dominio puede determinarse por la naturaleza del problema. Paso 4. Encuentre los valores críticos de la función. Después de probar cada valor crítico, determine cuál proporciona el valor extremo absoluto que se busca. Si el dominio de la función incluye puntos extremos, examine también los valores de la función en esos puntos. Paso 5. Con base en los resultados del paso 4, responda las preguntas que se formularon en el enunciado del problema. 31
32 Ejemplo: Maximización del Ingreso La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es: p = 80 q 4 0 q 80 Donde q es el número de unidades y p el precio por unidad. Para qué valor de q se tendrá un ingreso máximo? Cuál es el ingreso? Solución: sea r el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. Ingreso (r) = (precio) (cantidad) = pq Se tiene 80 q 80 q q 2 r = pq = q = 4 4 Donde 0 < q < 80. Haciendo dr/dq = 0, se tiene: dr dq = q = q = 0 q = 40 32
33 Entonces 40 es el único valor crítico, examinar si este es valor máximo. La primera derivada 0 < q < 40, se tiene dr/ dq > 0, por lo que r es creciente. Si q > 40, entonces dr/dq < 0, por lo que r es decreciente. Por consecuencia, de que a la izquierda de 40, r es creciente y a la derecha de r es decreciente, se concluye que q = 40 es el ingreso máximo absoluto. Ya que: r = 80(40) /4 (40)2 /4 r =
34 Ejemplo: Minimización del costo medio La función de costo total de un fabricante está dada por: q2 c = + 3 q donde c es el costo total de producir q unidades. Para qué nivel de producción será el costo promedio por unidad mínimo? Cuál es el mínimo? Solución: La cantidad por minimizar es el costo promedio ( c ). La función del costo promedio es: q c = c = q q q Aquí q debe ser positiva. Para minimizar d c dq = q 2 c = = q q diferenciar: q q 2 34
35 Para obtener los valores críticos, resolver d c /dq = 0 q = 0 (q 40)(q+40) = 0 q = 40 (ya que q > 0), para determinar si este nivel de producción da un mínimo relativo, se utiliza la prueba de la segunda derivada. d dq 2 c 2 = 800 q 2 que es positiva para q=40. Así el costo promedio tiene un mínimo relativo cuando q=40 y que es continuo para q>0. Como es el único valor extremo relativo se concluye que también es un mínimo absoluto. Sustituyendo este valor en la ecuación 5, se obtiene un costo promedio mínimo de: c = 23 35
36 5.6 Elasticidades: Elasticidad de la demanda y elasticidad precio La de la demanda es la razón del cambio porcentual en la cantidad demandada que Resulta de un cambio porcentual dado en el precio. = cambio porcentual en la cantidad cambio porcentual el precio Definición Si p = f (q) es una función de demanda diferenciable, la elasticidad puntual de la demanda denotada por la letra griega η (eta) en (q.p) está dada por: p q = dp dq 36
37 Ejemplo: Elasticidad puntual de la demanda Sea la función de demanda: p = 1200 q2 se tiene p 1200 q q q q = = = = [ ] dp 2q 2q 2 q2 2 dq Si q = 10, entonces la elasticidad η= - [600/102 - ½]= -51/2 Esto es, de acuerdo a la definición de η, si el precio cambia en 1% cuando q = 10 entonces, la cantidad demandada cambiara aproximadamente en (1%) (- 5 ½)= (- 5 ½)% 37
38 Hay tres categorías de elasticidad: 1. Cuando η > 1, la demanda es elástica. 2. Cuando η = 1, la demanda tiene elasticidad unitaria. 3. Cuando η < 1, la demanda es inelástica. Ver la fig
Una función f, definida en un intervalo dterminado, es creciente en este intervalo, si para todo x
Apuntes de Matemáticas II. CBP_ ITSA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN En una función se puede analizar su crecimiento o decrecimiento al mirar la variación que experimentan
Más detallesUNIDAD III: APLICACIONES ADICIONALES DE LA DERIVADA
UNIDAD III: APLICACIONES ADICIONALES DE LA DERIVADA Estimado estudiante continuando con el estudio, determinaremos el comportamiento de una función en un intervalo, es decir, cuestiones como: Tiene la
Más detallesUnidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.
Unidad V Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma
Más detallesExpliquemos con exactitud qué queremos decir con valores máximos y mínimos.
Introducción: Ahora que conocemos las reglas de derivación nos encontramos en mejor posición para continuar con las aplicaciones de la derivada. Veremos cómo afectan las derivadas la forma de la gráfica
Más detallesColegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)
Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de
Más detallesAplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente
Aplicaciones de la derivada Ecuación de la recta tangente La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto. La recta tangente a una curva en un punto
Más detallesEjemplo 1. Hallar la derivada de las siguientes funciones:
Ejemplo 1. Hallar la derivada de las siguientes funciones: Ejemplo 2. Hallar si: Ejemplo 3(uso de la diferenciación implícita Para hallar derivadas de orden superior) Hallar si Teorema. Ejemplo 4. Ejemplo
Más detallesCÁLCULO DIFERENCIAL. Máximos y Mínimos. Equipo 2
CÁLCULO DIFERENCIAL Equipo 2 Máximos y Mínimos Estos son los ejercicios que deberá el equipo explicar dentro de la clase, este equipo tendrá un máximo de 5 integrantes, y deberá valerse de materiales o
Más detallesGrado en Química Bloque 1 Funciones de una variable
Grado en Química Bloque Funciones de una variable Sección.5: Aplicaciones de la derivada. Máximos y mínimos (absolutos) de una función. Sea f una función definida en un conjunto I que contiene un punto
Más detallesBLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
BLOQUE 4. CÁLCULO DIFERENCIAL DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE. ESTUDIO DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Crecimiento y decrecimiento. Extremos absolutos y relativos. Concavidad y convexidad. Asíntotas.
Más detallesDERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.
DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto
Más detallesPRÁCTICA 5. Para ver donde se maximiza esta función hay que ver donde se anula la primera derivada respecto al precio. R
.- La función de demanda de un bien viene dada por. Se pide: a) Demuestre matemáticamente para que cantidad se obtiene el máximo de los ingresos totales. El ingreso total es la cantidad de producto por
Más detallesUNIDAD 3. La derivada. Objetivos. Al terminar la unidad, el alumno:
UNIDAD La derivada Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Calculará la derivada de funciones utilizando el álgebra de derivadas. Determinará la relación entre derivación y continuidad. Aplicará la
Más detallesCONCAVIDAD. Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable: Cómo la graficaríamos?
CAPÍTULO 14 CONCAVIDAD Supongamos que tenemos la siguiente información, referente a una curva derivable: Intervalo Signo de f F (-00,3) + Creciente (3,8) - Decreciente (8, + ) + Creciente Cómo la graficaríamos?
Más detallesAPUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
CAPÍTULO 1: LA RECTA EN EL PLANO Conceptos Primitivos: Punto, recta, plano. APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Definición 1 (Segmento) Llamaremos segmento a la porción de una línea recta comprendida entre
Más detallesNo es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.
FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números
Más detalles4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE
Análisis de funciones de una variable 49 4. ANÁLISIS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE En esta sección realizaremos algunos ejercicios sobre el estudio de funciones de una variable: En la parte final hay ejercicios
Más detallesTEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
TEMA 7 DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS CCSSI º Bac TEMA 7 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 7. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Definición : Se llama
Más detallesDerivadas 1 1. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.
Derivadas. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO, DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. CONCEPTO DE FUNCIÓN DERIVADA, DERIVADA SEGUNDA DE UNA FUNCIÓN.. Función derivable en un punto, derivada de una función en
Más detallesProblemas Tema 1 Solución a problemas de Repaso de 1ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos
página /9 Problemas Tema Solución a problemas de Repaso de ºBachillerato - Hoja 02 - Todos resueltos Hoja 2. Problema. Sea f x )=a x 3 +b x 2 +c x+d un polinomio que cumple f )=0, f ' 0)=2, y tiene dos
Más detallesSe desea estudiar el comportamiento de una función a medida independiente x se aproxima a un valor específico.
Tema: Límites de las funciones Objetivos: Comprender el concepto de límite de una función y las propiedades de los límites. Calcular el límite de una función algebraica utilizando las propiedades de los
Más detalles«La derivada de una función en un punto representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto»
TEMA 10 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO f (a): Consideremos una función f(x) y un punto P de su gráfica (ver figura), de abscisa x=a. Supongamos que damos a la variable independiente x un pequeño incremento
Más detallesEjercicios para el Examen departamental
Departamento de Física Y Matemáticas Ejercicios para el Examen departamental 1ª Parte M. en I.C. J. Cristóbal Cárdenas O. 15/08/2011 Ejercicios para el examen departamental de Cálculo 1 primera parte A
Más detallesGuía de algunas Aplicaciones de la Derivada
Guía de algunas Aplicaciones de la Derivada 1.1. Definiciones Básicas. Recordemos que : 1. Recta Tangente y Normal La ecuación de la recta tangente a la curva y = en el punto P = (x 0, y 0 ) es de la forma:
Más detallesMatemáticas Universitarias
Matemáticas Universitarias 1 Sesión No. 5 Nombre: Desigualdades lineales, cuadráticas y valor absoluto Objetivo de la asignatura: En esta sesión el estudiante conocerá las características y métodos de
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detalles3.4 Concavidad y el criterio de la segunda derivada
90 CAPÍTULO 3 Aplicaciones de la derivada 3.4 Concavidad el criterio de la segunda derivada Determinar intervalos sobre los cuales una función es cóncava o cóncava. Encontrar cualesquiera puntos de infleión
Más detallesTEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES 12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
TEMA DERIVADAS Y APLICACIONES MATEMÁTICAS I º Bac TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación
Más detallesColegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis, y programación lineal resueltos.
Análisis, y programación lineal resueltos. Problema 1: Se considera la función f(x) = ax 3 + b ln x siendo a y b parámetros reales. Determina los valores de a y bsabiendo que f(1) = 2 y que la derivada
Más detallesSUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO 4/2 LIC: JESÚS REYES HEROLES
SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR DIRECCIÓN GENERAL DEL BACHILLERATO CENTRO DE ESTUDIOS DE BACHILLERATO / LIC: JESÚS REYES HEROLES GUÍA PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL JULIO
Más detallesMatemáticas. Si un error simple ha llevado a un problema más sencillo se disminuirá la puntuación.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD DE LOS MAYORES DE 25 AÑOS CONVOCATORIA 2014 CRITERIOS DE EVALUACIÓN Matemáticas GENERALES: El examen constará de dos opciones (dos
Más detallesEjercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones:
Ejercicios Resueltos de Derivadas y sus aplicaciones: 1.- Sea la curva paramétrica definida por, con. a) Halle. b) Para qué valor(es) de, la curva tiene recta tangente vertical? 2.- Halle para : a) b)
Más detallesGIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano UNIDAD I FUNCIONES
UNIDAD I FUNCIONES Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, que asocia a cada elemento del primer conjunto exactamente un elemento del otro conjunto. Una función f definida entre dos conjuntos
Más detallesFUNCIONES y = f(x) ESO3
Las correspondencias entre conjunto de valores o magnitudes se pueden expresar de varias formas: con un enunciado, con una tabla, con una gráfica, o con una fórmula o expresión algebraica o analítica.
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detallesSi se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
TEMA 0: REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES: TIPOS DE FUNCIONES Funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción,
Más detalles1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad
Estudio y representación de funciones 1. Dominio, simetría, puntos de corte y periodicidad 1.1. Dominio Al conjunto de valores de x para los cuales está definida la función se le denomina dominio. Se suele
Más detallesCBC. Matemática (51) universoexacto.com 1
CBC Matemática (51) universoexacto.com 1 PROGRAMA ANALÍTICO 1 :: UNIDAD 1 Números Reales y Coordenadas Cartesianas Representación de los números reales en una recta. Intervalos de Distancia en la recta
Más detallesDescripción: dos. función. decreciente. Figura 1. Figura 2
Descripción: En éste tema se utiliza la primera derivada para encontrar los valores máximo y mínimo de una función, así como para determinar los intervalos en donde la función es creciente o decreciente,
Más detallesFunciones reales de variable real
Tema Funciones reales de variable real Introducción El objetivo fundamental de este tema es recordar conceptos ya conocidos acerca de las funciones reales de variable real.. Conceptos Generales Definición.
Más detallesGuía 3 Del estudiante Modalidad a distancia. Modulo CÁLCULO UNIVARIADO INGENIERÍA DE SISTEMAS II SEMESTRE
Guía 3 Del estudiante Modalidad a distancia Modulo CÁLCULO UNIVARIADO INGENIERÍA DE SISTEMAS II SEMESTRE DATOS DE IDENTIFICACION TUTOR Luis Enrique Alvarado Vargas Teléfono 435 29 52 CEL. 310 768 90 67
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas CVS0. El precio del billete de una línea de autobús se obtiene sumando dos cantidades, una fija y otra proporcional a los kilómetros recorridos. Por un
Más detalles3.3 Funciones crecientes y decrecientes y el criterio de la primera derivada
SECCIÓN. Funciones crecientes decrecientes el criterio de la primera derivada 79. Funciones crecientes decrecientes el criterio de la primera derivada Determinar los intervalos sobre los cuales una función
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesPráctica 4 Límites, continuidad y derivación
Práctica 4 Límites, continuidad y derivación En esta práctica utilizaremos el programa Mathematica para estudiar límites, continuidad y derivabilidad de funciones reales de variable real, así como algunas
Más detallesI. E. S. ATENEA. SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL. PRIMERA EVALUACIÓN. ANÁLISIS
Eamen Global Análisis Matemáticas II Curso 010-011 I E S ATENEA SAN SEBASTIÁN DE LOS REYES EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN ANÁLISIS Curso 010-011 1-I-011 MATERIA: MATEMÁTICAS II INSTRUCCIONES GENERALES
Más detalles12.1 CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES. CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO TASA DE VARIACIÓN MEDIA Deinición Se llama tasa de variación media (T.V.M.) de una unción, y = () en un intervalo
Más detallesFicha 3. Funciones. x f x x y x y a) Definición de función
Ficha 3. Funciones a) Definición de función Sean A y B dos conjuntos no vacíos y f una relación definida de A hacia B, de tal forma que a cada elemento de A se le asocia un único elemento de B. Dicha relación
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 004 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y Funciones
Álgebra y Trigonometría Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y Funciones CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detalles1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Solución:
RELACIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD DE ANÁLISIS. I Departamento de Matemáticas 1.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función
Más detallesClase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange
Clase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange C.J. Vanegas 7 de abril de 008 1. Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange Estamos interesados en maximizar o minimizar una función
Más detallesLa siguiente tabla presenta las medidas en radianes y en grados de varios ángulos frecuentes, junto con los valores de seno, coseno, y tangente.
Solución. En el primer cuadrante: En el segundo cuadrante: En el tercer cuadrante: En el cuarto cuadrante: cos θ 0, sin θ 0 tan θ 0 cos θ 0, sin θ 0 tan θ 0 cos θ 0, sin θ 0 tan θ 0 cos θ 0, sin θ 0 tan
Más detalles(A) Primer parcial. si 1 x 1; x 3 si x>1. (B) Segundo parcial
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E700 1) x 5 > 1. A) Primer parcial ) Sean las funciones ft) t +,gy) y 4&hw) w. Encontrar f/h, g f, f g y sus dominios. ) Graficar la función x + six
Más detallesEl análisis cartesiano (René Descartes ) descubrió que las ecuaciones pueden tener una representación gráfica.
Capítulo 4. Estudio de la línea recta El análisis cartesiano (René Descartes 1596-1650) descubrió que las ecuaciones pueden tener una representación gráfica. Para lograr esa representación gráfica es necesario
Más detallesDerivada. 1. Pendiente de la recta tangente a una curva
Nivelación de Matemática MTHA UNLP Derivada Pendiente de la recta tangente a una curva Definiciones básicas Dada una curva que es la gráfica de una función y = f() y sea P un punto sobre la curva La pendiente
Más detalles(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo IV Variación de funciones. Extremos
(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) Capítulo IV Variación de unciones. Etremos INTRODUCCIÓN En múltiples problemas de ingeniería se requiere optimizar una o varias de las variables que intervienen
Más detallesESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 1. Sea f : (0, + ) definida como f () = Ln a) Probar que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determinar los intervalos de crecimiento
Más detallesUniversidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación
Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIONES NO LINEALES Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo
Más detallesCálculo en varias variables
Cálculo en varias variables Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga Resumen Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 1 Límites y continuidad
Más detallesCálculo I (Grado en Ingeniería Informática) Problemas adicionales resueltos
Cálculo I (Grado en Ingeniería Informática) - Problemas adicionales resueltos Calcula el ĺımite lím ( n + n + n + ) n Racionalizando el numerador, obtenemos L lím ( n + n + n (n + n + ) (n + ) + ) lím
Más detallesLa variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.
Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio
Más detallesFUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 1. Crecimiento exponencial. La función exponencial. 1.1 La Función Exponencial. Una función exponencial es una expresión de la forma siguiente:,,. Donde es una constante
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 006 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,
Más detallesMATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES
MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad
Más detallesInecuaciones con valor absoluto
Inecuaciones con valor absoluto El valor absoluto de un número real a se denota por a y está definido por: Propiedades a a si a si a 0 a < 0 i a y b son números reales y n es un número entero, entonces:
Más detallesREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES Página 5 REFLEXIONA Y RESUELVE Descripción de una gráfica Copia en tu cuaderno los datos encuadrados en rojo. A partir de ellos, y sin mirar la gráfica que aparece al principio,
Más detallesFUNCIONES CUADRÁTICAS
FUNCIONES CUADRÁTICAS A la función polinómica de segundo grado f(x) = ax 2 + bx + c, siendo a, b, c, números reales y a 0 se la denomina función cuadrática. Dominio de una función cuadrática es el conjunto
Más detallesAplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral. Msc. Gerardo Garita Orozco Universidad Latina
Aplicaciones del Cálculo Diferencial e Integral Msc. Gerardo Garita Orozco Universidad Latina ÍNDICE 1.- Qué es el cálculo diferencial 2.- Aplicaciones de las derivadas en la construcción de gráficos 3.-Criterio
Más detalles2.2 Rectas en el plano
2.2 Al igual que ocurre con el punto, en geometría intrínseca, el concepto de recta no tiene definición, sino que constituye otro de sus conceptos iniciales, indefinibles. Desde luego se trata de un conjunto
Más detallesdada por c(x) = donde x indica el tamaño de los pedidos para renovar existencias
FUNCIONES +, si
Más detallesTEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE TAYLOR
TEMA 5. FUNCIONES DERIVABLES. TEOREMA DE TAYLOR 5.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN 5.1.1 Definición de derivada Definición: Sea I in intervalo abierto, f : I y a I. Diremos que f es derivable en a si existe y
Más detallesTEMA 4: DERIVADAS. En símbolos, la pendiente de la curva en P = lim Q P (pendiente de P Q).
TEMA 4: DERIVADAS 1. La derivada de una función. Reglas de derivación 1.1. La pendiente de una curva. La pendiente de una curva en un punto P es una medida de la inclinación de la curva en ese punto. Si
Más detallesEl plano cartesiano y Gráficas de ecuaciones. Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 1
El plano cartesiano y Gráficas de ecuaciones Copyright 2013, 2009, 2006 Pearson Education, Inc. 1 Sistema de coordenadas rectangulares En el cap 2 presentamos la recta numérica real que resulta al establecer
Más detallesCurso de Inducción de Matemáticas
Curso de Inducción de Matemáticas CAPÍTULO 1 Funciones y sus gráficas M.I. ISIDRO I. LÁZARO CASTILLO Programa del Curso 1. Funciones y sus gráficas. 2. Límites. 3. Cálculo Analítico de Límites. 4. Derivación.
Más detallesUNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE JALISCO
TITULO DE LA PRACTICA: Ecuaciones limeales de Primer grado. ASIGNATURA: Matemáticas I HOJA: 1 DE: 6 UNIDAD TEMÁTICA: 2 FECHA DE REALIZACIÓN: Junio de 2007 NUMERO DE PARTICIPANTES RECOMENDABLE: 1 ELABORO:
Más detallesMatemáticas 2 Agosto 2015
Laboratorio # 1 Línea recta I.-Determina la ecuación de la recta que satisface las siguientes condiciones y exprésala en la forma general. Pasa por el punto (1,5) y tiene pendiente 2 Pasa por y Pendiente
Más detallesEC = (f(x) p 1 )dx EP = (p 1 g(x))dx. El valor promedio de una función y = f(x) en su dominio [a, b], viene dado por. V P = 1 b.
Universidad de Talca. Matemáticas II Algunas aplicaciones de la Integral indefinida 1) Excedente (Superávit) de Consumidor y Productor El precio de equilibrio es aquel en que la demanda de un producto
Más detallesGUÍA DE LA UNIDAD FUNCIONES : DERIVADAS
Funciones Límites Derivadas Aplicaciones Gráficas C ontenidos Idea de Función. Elementos notables de la gráfica de una función. Funciones lineales. Función definida por intervalos. Función Valor Absoluto.
Más detalles1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas:
LIMITE DE FUNCIONES Tema: Introducción a límite 1) Considera la función f(x) = x2 + 1 para contestar las siguientes preguntas: a) Cuál es el valor de la función si x = 2? b) Cuál es el valor de la función
Más detallesProfesorado de Nivel Medio y Superior en Biología Matemática - 1º Cuatrimestre Año 2013 FUNCIÓN CUADRÁTICA
Matemática - º Cuatrimestre Año 0 FUNCIÓN CUADRÁTICA Hemos definido anteriormente la función lineal como una función f: R R de la forma f()a+b con a R y b R, que se representa en el plano mediante una
Más detallesColegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Ejercicios con solución de todo hasta probabilidad
Ejercicios con solución de todo hasta probabilidad Problema 1: Se considera la función siendo a y b parámetros reales. a) Determina los valores de los parámetros a y b para que f(2) = 4 y la recta tangente
Más detallesPruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León
Pruebas de Acceso a las Universidades de Castilla y León MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES EJERCICIO Nº páginas 2 Tablas OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS DOS OPCIONES Y DESARROLLAR
Más detallesAplicaciones de la derivada 7
Aplicaciones de la derivada 7 ACTIVIDADES 1. Página 160 a) La pendiente de la recta tangente es 12. b) La pendiente de la recta tangente es 3. 2. Página 160 a) La pendiente de la recta tangente es. b)
Más detalleswww.academiacae.com!!info@academiacae.com!!91.501.36.88!!28007!madrid!
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. TEOREMAS Y APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 1.- junio 1994 Se sabe que y = f (x) e y = g (x) son dos curvas crecientes en x = a. Analícese si la curva y = f(x) g(x) ha de ser,
Más detallesMATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN
UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO DE EXAMEN CURSO 2014-2015 MATERIA: MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
Más detallesEstudio de funciones mediante límites y derivadas
Estudio de funciones mediante límites y derivadas Observación: La mayoría de estos ejercicios se han propuesto en las pruebas de Selectividad, en los distintos distritos universitarios españoles El precio
Más detallesUnidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.
Unidad II Funciones 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Función En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio)
Más detallesFunciones definidas a trozos
Concepto de función Dominio de una función Características de las funciones Intersecciones con los ejes Crecimiento y decrecimiento Máximos y mínimos Continuidad y discontinuidad Simetrías Periodicidad
Más detallesPAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia
Más detallesMatemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul
Matemáticas para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Unidad I (Capítulo 16 del texto) Cálculo de Varias Variables 1.1 Funciones de varias variables. 1.2 Derivadas parciales.
Más detallesINDICE Prefacio 1 Preliminares del cálculo: funciones y limites teoremas escogidos con demostraciones formales
INDICE Prefacio XIII 1 Preliminares del cálculo: funciones y limites 1 1.1. Qué es el calculo? 3 1.1.1. el limite: la paradoja de Zenón 5 1.1.2. la derivada: el problema de la tangente 6 1.1.3. la integral:
Más detallesÁreas entre curvas. Ejercicios resueltos
Áreas entre curvas Ejercicios resueltos Recordemos que el área encerrada por las gráficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada por Ejercicios resueltos b a f x g x dx Ejercicio
Más detallesMatemática I Extremos de una Función. Definiciones-Teoremas
Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Agronomía Programa Ingeniería Agroindustrial Departamento de Gerencia Estudios Generales Matemática I Etremos de una Función. Definiciones-Teoremas
Más detallesGuía de Ejercicios Funciones. Debes copiar cada enunciado en tu cuaderno y realizar el desarrollo, indica la respuesta correcta en la guía 2-1-
Colegio Raimapu Departamento de Matemática Guía de Ejercicios Funciones Nombre del Estudiante: IV Medio Debes copiar cada enunciado en tu cuaderno realizar el desarrollo, indica la respuesta correcta en
Más detallesFunción cuadrática. Ecuación de segundo grado completa
Función cuadrática Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto
Más detallesUNIDAD Nº 1: DERIVACION E INTEGRACIÓN. APLICACIONES
Complemento de Matemática UNIDAD Nº : DERIVACION E INTEGRACIÓN. APLICACIONES La derivada Vamos a recordar esta noción que se empezó a estudiar en Matemática de primer año. Definición Sean f una función
Más detallesƒ : {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)}.
SECCIÓN 5. Funciones inversas 5. Funciones inversas Verificar que una función es la inversa de otra. Determinar si una función tiene una función inversa. Encontrar la derivada de una función inversa. f
Más detallesLa ecuación diferencial logística (o de Verhulst)
La ecuación diferencial logística o de Verhulst) José Luis López Fernández 2 de noviembre de 2011 Resolver un problema del que tenemos garantía de que existe solución, es como ir de excursión por el monte,
Más detallesMATEMÁTICAS 2º DE ESO
MATEMÁTICAS 2º DE ESO LOE TEMA VII: FUNCIONES Y GRÁFICAS Coordenadas cartesianas. Concepto de función. Tabla y ecuación. Representación gráfica de una función. Estudio gráfico de una función. o Continuidad
Más detalles