Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística

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1 Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística Solución del segundo examen parcial del curso Cálculo de una variable Grupo: Once Período: Inicial del año 000 Prof: Rubén D. Nieto C. PUNTO. (x ) sen(x ) a. Use la regla de l Hôspital para hallar lim. x cos(x ) b. Dada la familia de curvas xy = C 0(a cada valor no nulo de C corresponde una curva), encuentre la ecuación del miembro de la familia de curvas (trayectorias) ortogonales a la familia dada que pasa por el punto (, 4). c. Dadas la integrales definidas 4 4 f(x)+g(x) =7y f(x)+g(x) = 4, calcule f(x)+g(x). d. Sabiendo que log b 06 =, encuentre b. e. Halle la longitud aproximada de la curva y = x/ en el intervalo 0,. SOLUCION: a. Llamando f(x) al numerador y g(x) al denominador, esto es: f(x) =(x ) sen(x ) g(x) = cos(x ) se tiene: f(x) ( ) sen( ) lim = = 0 sen 0 x g(x) cos( ) cos 0 = 0 0 = 0 0 Por tanto, de que: f (x) sen(x )+(x ) cos(x ) g = (x) sen(x ) aplicando la regla de l Hôspital se obtiene: f(x) lim x g(x) = lim f (x) sen( )+( ) cos( ) sen cos 0 x g = = = 0+0 = 0+0 = 0 (x) sen( ) sen Razón por la cual, de que: f (x) cos(x ) + cos(x ) (x ) sen(x ) cos(x ) (x ) sen(x ) g = = (x) cos(x ) cos(x ) aplicando, de nuevo, la regla de l Hôspital se obtiene: f(x) lim x g(x) = lim f (x) cos( ) ( ) sen( ) cos 0 0 sen 0 x g = = = 0 0 = 0 = (x) cos( ) cos 0 = Entonces, la respuesta a este subpunto es: Utilizando la regla de l Hôpital resulta: (x ) sen(x ) lim = x cos(x )

2 b. Derivando implícitamente respecto de x se obtiene: y + xy =0 y ( y +x ) =0 y =0 y +x =0 y +x =0 (y =0implica C =0) Como se trata de las trayectorias ortogonales a la familia de curvas asociada a la ecuación diferencial anterior se debe reemplazar / por / con lo cual la ecuación diferencial resultante será la de la familia de dichas trayectorias: y +x ( ) x = =0 y x =0 y =x x = y y x = y + K x = y + K x y = K Como la curva cuya ecuación debemos encontrar pasa por el punto (, 4), para hallar la constante K reemplazamos la x porylay por 4 obteniendo: 4 Entonces, la respuesta a este subpunto es: = K K =9 6 K =9 8= La ecuación del miembro de la familia de trayectorias ortogonales pedido es: x y = c. Sumando a la primera integral la segunda multiplicada por resulta: 7 8= 7 4= f(x)+g(x) +( ) f(x)+g(x) 6f(x) g(x) = = f(x) f(x)+g(x) f(x) 6f(x)+g(x) g(x) f(x) = () Sumando a la primera integral multiplicada por la segunda multiplicada por, resulta: 0 = 7 4= f(x)+g(x) +( ) f(x)+6g(x) f(x) g(x) = f(x)+g(x) f(x) f(x)+6g(x) g(x) De () y () se concluye que la respuesta a este subpunto es: g(x) = () f(x)+g(x) =

3 d. De que log b 06 =, como logaritmo de un número es el exponente al cual hay que elevar la base para que resulte el número dado, se desprende: ( ) ln b b 06 ( ) = 06 b = 06 b = 06 b = 06 = 8=9 Entonces, la respuesta a este punto es: b =9 e. Derivando resulta: = x/ = x/ Tomando u =+x se tiene du =, por tanto: ( ) 4 longitud pedida = + = +x= u / du Entonces, la respuesta a esta subpunto es: = 0 u / 4 La longitud pedida es 4 = 0 4 / / = 8 = 7= unidades longitudinales PUNTO. Una tienda especializada en ropa deportiva vende mensualmente 6 camisetas a 40 dólares cada una. El propietario de la tienda desea subir el precio y estima que, por cada dólar de incremento, venderá 4 camisetas menos. Si cada camiseta le cuesta a la tienda 0 dólares, A qué precio se deben vender las camisetas para que el beneficio sea máximo? SOLUCION: Sea x el aumento, en dólares, del precio de una camiseta. Se tiene: PRECIO POR UNIDAD = 40 + x NUMERO DE UNIDADES = 6 4x Es claro que x debe ser no negativo (si x fuera negativo no habría aumento de precios sino rebaja) y que 6 4x, elnúmero de unidades, debe ser positivo, por tanto: 6 4x >0 6 > 4x x< 6 4 =6. Dominio =0, 6 porque x debe ser entero Sea i(x) el ingreso del propietario de la tienda y c(x) el coste total de las camisetas, entonces: i(x) = (40 + x)(6 4x) = x +6x 4x i(x) = 600 9x 4x c(x) = 0(6 4x) c(x) = 90 0x Por tanto, el ingreso marginal y el coste marginal son respectivamente: i (x) = 9 8x c (x) = 0 De que el beneficio es máximo cuando el ingreso marginal es igual al coste marginal se desprende que la función beneficio b(x) es máxima cuando: 9 8x = x =0 8x =0 8x = x = 8 =.

4 Como x debe ser un número entero se sigue que x = es el aumento de precio por camiseta para que el beneficio sea lo más cercano al máximo posible, por tanto la respuesta a este problema es: Para que el beneficio sea máximo las camisetas se deben vender a un precio de: 4 dólares la unidad Procedimiento alternativo: La función beneficio b(x) es: b(x) =i(x) c(x) = 600 9x 4x ( 90 0x ) = x + 0x 4x Resumiendo se tiene: = 60+x 4x b(x) = 4x +x + 60 La derivada del beneficio es: Por tanto, un análisis de signos para la derivada b (x) es: b (x) = 8x + b(x) b (x) + 8x + + Intervalo 0, ) ( 8 8, 6 Este análisis muestra que en x = =. la función b(x) presenta un máximo absoluto sobre el intervalo 0, 6. 8 Como x debe ser un número entero se sigue que x = es el aumento de precio por camiseta para que el beneficio sea lo más cercano al máximo posible, por tanto la respuesta a este problema es: Para que el beneficio sea máximo las camisetas se deben vender a un precio de: 4 dólares la unidad PUNTO. Respecto de la región R limitada por las curvas: y =8 x y = x a. Dibuje las curvas sombreando R. b. Encuentre el área de la región R. 4

5 SOLUCION: a. Un dibujo aproximado de las curvas donde aparece sombreada R, la región limitada por ellas es: P 8 parábola recta P b. Para encontrar los puntos donde se cortan las curvas igualamos sus ordenadas obteniendo: 8 x = x x x 8=0 (x 4)(x +)=0 x =4 x = las correspondientes ordenadas son entonces: y = x x=4 = (4) = 8, y = x = ( )=4 x= Se trata, como aparecen en la figura, de los puntos P =(4, 8) y P =(, 4) El elemento de área da de una banda vertical de ancho como la que aparece en la figura es: da = alto ancho = y parábola y recta = 8 x ( x) = 8+x x Por tanto, el área A de la región R viene dada por la suma de los elementos de área de todas las bandas verticales que se forman cuando la x se mueve entre x = yx = 4, esto es: x=4 A = da = 8+x x 4 = 8x + x x= x = 4 8x + x x = = La respuesta a este subpunto es entonces: =60 7 El área de la región R es: 6 unidades cuadradas 8( )+( ) ( ) =60 4=6 PUNTO 4. La región S limitada por las curvas: y = x + y = x + 4 se gira alrededor de la recta horizontal y = a. Dibuje las curvas sombreando la región S. b. Encuentre el volumen V del sólido de revolución resultante.

6 SOLUCION: a. Un dibujo aproximado de las curvas en donde aparece sombreada S, la región limitada por ellas, es: 6 recta P parábola 4 P r i r e eje - b. Para encontrar los puntos donde se cortan las curvas,igualamos sus ordenadas, obteniendo: x +=x +4 x x =0 (x )(x +)=0 x = x = las correspondientes ordenadas son entonces: y = x +4 x= =+4=6, y = x +4 = +4= x= Se trata, como aparecen en la figura, de los puntos P =(, 6) y P =(, ). El elemento de volumen dv de una arandela de ancho como la que aparece en la figura es: dv = π r e r i = π (y recta y eje ) (y parábola y eje ) = π (x +4 ) (x + ) = π (x +) (x +) = πx +6x +9 x 4 x = π 8+6x x x 4 Por tanto, el volumen V del sólido de revolución que se forma al rotar la región S alrededor del eje y = viene dado por la suma de los elementos de volumen de todas las arandelas que se forman cuando la x se mueve entre x = y x =, esto es: V = x= x= dv = π 8+6x x x 4 = π 8x + 6x x x ) = π 8 + (8( )+( ) ( ) ( ) = π 8x +x x x = π 6+ 8 ( ) = π = π 9 = π 0 = π 6 0 = 7π

7 Entonces, la respuesta a este subpunto es: El volumen de tal sólido de revolución es: 7π =.4 π 7. unidades cúbicas PUNTO. Una estadística de población muestra que t años después de 990, una cierta ciudad está creciendo a razón de aproximadamente 0 t / personas por año. Si en 999 la población era de 000 personas: a. Qué población tenía la ciudad en 990? b. Si continúa ese ritmo de crecimiento, cuántos habitantes tendrá la ciudad en el año 006? SOLUCION: Llamando p a la población de tal ciudad, del enunciado del problema se desprende: dp dt = 0t / dp = 0t / dt Integrando esta ecuación diferencial resulta: dp = 0t / dt dp = 0 t / dt p = 0 t / / + C = 0 t + C p = 400 t + C () Para determinar la constante C obsérvese que cuando t = 9, es decir en el año 999, la población de la ciudad era de 000 personas, por tanto: 000 = C 000 = 400 +C C = = = 7000 La ecuación () se puede escribir, ahora, de la siguiente manera: p = 400 t Por consiguiente: En el año 990, es decir cuando t = 0, la población de la ciudad era de: p = = = 7000 En el año 006, es decir cuando t = 6, la población de la ciudad será de: p = = = = 000 Entonces, la respuesta a este punto es: La población de la mencionada ciudad: a. En el año 990 era de 7000 personas b. En el año 006 será de 000 personas PUNTO 6. a. Evalúe x x + b. Halle la derivada de la función y = (sen x ) x+ 7

8 SOLUCION: a. Completando cuadrados resulta: x x +=(x x +)+4=(x ) + Tomando u = x que implica du =, por las fórmulas para integrar funciones trigonométricas inversas, se tiene: x x + = + ( x ) = du + u = arctg u + C = arctg x + C Entonces, la respuesta a este subpunto es: El resultado de evaluar la integral dada es: arctg x + C b. Tomando logaritmos se obtiene: ln y =ln (sen x ) x+ ln y = ( x +)ln ( sen x ) Derivando ambos miembros de la última igualdad resulta: y =ln( sen x ) x cos x +(x +) sen x =ln ( sen x ) +x(x + ) cot x Se concluye, entonces, que la respuesta a este subpunto es: = ln ( sen x ) +x(x + ) cot x y = ln ( sen x ) +x(x + ) cot x ( sen x ) x+ La derivada respecto de x de tal función y es: = ln ( sen x ) +x(x + ) cot x ( sen x ) x+ 8