Tarea 3 Ejercicios resueltos

Transcripción

1 Tarea 3 Ejercicios resueltos 1. Grafica las dos ecuaciones y encuentra los puntos en los que cada gráfica de intersecta. (i) y = x, y = x 1. (ii) x + y = 1, (x 1) + y = 1. (i) y = x 1 = x 3x = 1 x = 1 3 y y = 1 o x = y y = 1. Por lo tanto A = ( 1 3 3, 1) y B = ( 1 3 3, 1 ) son los 3 puntos de intersección. 1

2 (ii) x + y = 1 = (x 1) + y x = (x 1) = x x = x + 1 x = 1. Sustituímos el valor de x y obtenemos y = 1 x = 3 o y = ± 3. Entonces A = ( 1, 3 ) y B = ( 1, 3 ) 4 son los puntos de intersección.. La distancia de un punto a una línea. Podemos calcular la distancia de un punto P = (x 0, y 0 ) a una línea L, siguiendo los siguientes pasos: 1. Encontrar la ecuación de la línea M que pasa por el punto P y es perpendicular a L.. Encontrar las coordenandas del punto Q en el que M y L se intersectan. 3. Encontrar la distancia de P a Q. Usar estos pasos para encontrar la distancia de P a L en cada uno de los siguientes casos: a) P = (, 1), L dada por la ecuación y = x +. b) P = (4, 6), L dada por la ecuación 4x + 3y = 1. c) P = (a, b), L dada por la ecuación x = 1. d) P = (x 0, y 0 ), L dada por la ecuación ax + by = c.

3 a) 1) L tiene pendiente 1, entonces la recta M que pasa por P = (, 1) y es perpendicular a L tiene pendiente 1; M está dada por la ecuación y = x + 3. ) En el punto de intersección Q, tenemos que y = x+ = x+ 3. Entonces x = 1 o x = 1, por lo que Q tiene coordenadas ( 1, 5). 3) La distancia de P a Q es: d = ( 3 ) + ( 3 18 ) = 4 = 3. b) 1) L tiene pendiente 4, entonces la recta perpendicular M 3 tiene pendiente 3 y la ecuación 4y 3x = 1. Podemos reescribir las ecuaciones de las rectas como: L: x + 3 y = 3, M: 4 4 x + 4y = 4. 3 ) Sumando las dos ecuaciones anteriores obtenemos el valor de y: 5y = 7 y = 84. Sustituyendo, obtenemos x = 4( 84) = 1 1 por lo que Q = (, 84 ) es el punto de intersección ) La distancia de P a L será d = (4 1 5 ) + ( ) =. 5 c) 1) La línea perpendicular M será una línea horizontal con la ecuación y = b. ) El punto de intersección de L y M es Q = ( 1, b). 3) Entonces la distancia de P a L es d = (a + 1) + 0 = a + 1. d) *Puntos extra por este ejercicio. 1) Si b = 0 y a 0 la distancia de P a L es c x a 0 como en el inciso anterior. De manera similar, si a = 0 y b 0, la distancia es c y b 0. Si a y b son ambos 0, entonces L tiene pendiente a, así su recta perpendicular M tendrá pendiente b b. Entonces las ecuaciones de las rectas serán: L: ax+by = c a y M: bx + ay = bx 0 + ay 0. ) Igualando estas ecuaciones obtenemos el punto de intersección Q = (x, y) con x = ac b(ay 0 bx 0 ) y y = bc+a(ay 0 bx 0 ). a +b a +b 3) La distancia de P a Q es igual a ( x) + ( y), donde: ( ) ( x) x0 (a + b ) ac + aby 0 b x 0 = = a (ax 0 + by 0 + c), a + b (a + b ) 3

4 ( ( y) y0 (a + b ) bc a y 0 + abx 0 = a + b Por lo tanto ( x) + ( y) = (ax 0 +by 0 +c) a +b ) = b (ax 0 + by 0 + c) (a + b ). = ax 0+by 0 +c a +b 3. Sean A y B los siguientes conjuntos: A = {1,, 3}, B = {1,, 3, 4, 5}. Definamos la función f : A B como f(1) = 1, f() = 1, f(3) =. (i) Identificar el dominio de f. (ii) Identificar el rango de f. (iii) Cuál es la imagen de f? (iv) La función es sobre? (v) La función es uno a uno? (i) El dominio de f es A. (ii) El rango de f es B. (iii) La imagen de f es {1, }. (iv) Hay que ver que: b B : a A se tiene f(a) b. Notemos que 5 no es la preimagen de ningún elemento de a, por lo tanto la función no es sobre. Otra manera de ver que no es sobre, es notando que Rango Imagen (v) La función no es uno a uno ya que 1 es la preimagen de dos elementos distintos de A. 4. Encuentre el dominio y la imagen de cada función: 4

5 (i) f(x) = 1 + x. (ii) f(x) = 1 x. (iii) F (t) = 1 t. (iv) F (t) = 1 1+ t. (v) g(z) = 4 z. (vi) g(z) = 1 4 z. (vii) f(x) = 3x. (viii) f(x) = sen(x). (ix) f(x) = 1 cos(x). (x) f(x) = sen(x) x. (i) El dominio de f es R; la imagen es [1, ). (ii) El dominio de f es [0, ); la imagen es (, 1]. (iii) El dominio de F es (0, ); si y está en la imagen entonces y = 1 t para algún t > 0, por lo que y = 1 y y > 0, y entonces y puede t ser cualquier número real positivo, por lo tanto, la imagen es (0, ). (iv) El dominio de F es [0, ). Si y está en la imagen entonces y = 1 1+ para algún t 0, si t = 0 entonces y = 1 y cuando t se t incrementa, y se hace un número real más y más pequeño. Por lo tanto la imagen es (0, 1]. (v) 4 z = ( z)( + z) 0 z [, ] = dom(g). Notemos que el valor más grande se alcanza en g(0) = 4 = y el valor más pequeño se alcanza en g( ) = g() = 0 = 0, por lo que la imagen de g es [0, ]. (vi) Utilizando el ejercicio anterior, podemos ver que el dominio es (, ). El valor más pequeño es g(0) = 1, cuando 0 < z aumenta y se aproxima a, g(z) se vuelve cada vez más grande (lo mismo es cierto cuando z < 0 disminuye y se aproxima a ), por lo tanto el rango es [ 1, ). 5

6 (vii) El dominio de f es R; la imagen es R. (viii) El dominio de f es R; la imagen es [ 1, 1]. (ix) El dominio de f es R\{x R : cos(x) = 0}; notemos que cos(x) = 0 si x = (k+1)π con k entero, por lo que el dominio es { } (k + 1)πx dom(f) = x R : x para k Z. La imagen será (, 1] [1, ). (x) Se daban puntos extra por intentar este problema. El dominio de f es donde el denominador sea distinto de 0, es decir: R \ {0}. Para encontrar la imagen de f es necesario conocer más teoría del cálculo. Se muestra la gráfica de f(x) = sin(x) x. 5. De las siguientes gráficas de ecuaciones en el plano, cuáles representan la gráfica de una función de x? Sólamente la primera no representa la gráfica de una función de x, ésta no cumple la prueba de la recta vertical. 6. Hacer una gráfica donde se represente la temperatura como función del tiempo en un día típico de verano en Guanajuato. 6

7 En el eje x se representa el tiempo en horas. En el eje y se representa la temperatura en grados centígrados: 7. Considere la función f(x) = x. (a) Puede ser x < 0? (b) Puede ser x >? (c) Cuál es el dominio de la función? El término dentro de la raiz tiene que ser mayor que cero, es decir: x x 0 x 0 y x. Si x 0 y x entonces x 4. Por lo tanto se tendrá que 0 x 4. (a) No. (b) No. (c) [0, 4] 7

8 8. Expresar el área y el perímetro de un triángulo rectángulo con catetos de longitud x y x. Utilizando el Teorema de Pitágoras obtenemos la hipotenusa h del triángulo rectángulo, que es h = x + (x) = 5x = 5x. De esta manera, el perímetro de este triángulo será: p(x) = x + x + 5x = (3 + 5)x. Por otro lado, el área del triángulo es: a(x) = x = x. 9. Expresar el área y el perímetro de un cuadrado como función de la longitud d de su diagonal. Supongamos que x es la longitud del lado del cuadrado. Entonces, por el Teorema de Pitágoras tendremos que x + x = d, así se tiene que x = d = d. De esta manera el perímetro es p(d) = 4( d ) = d, ( y el área es a(d) = d ) = d. 10. Graficar y encontrar el dominio de las siguientes funciones: (i) f(x) = 5 x. (ii) f(x) = x. (iii) F (t) = t t. (iv) G(t) = 1 t. (v) f(x) = 1 x 1. 8

9 (i) El dominio de f es (, ). (ii) El dominio de f es (, 0]. (iii) El dominio de F es (, 0) (0, ). (iv) El dominio de G es (, 0) (0, ). 9

10 (v) El dominio de f es (, 1) (1, ). 11. Representar en el plano las siguientes ecuaciones y explicar por qué no es una gráfica de una función de x. (i) y = x. (ii) x + y = 1. (iii) x + y = 1. a) No es la gráfica de una función de x porque no satisface la prueba de la línea vertical. 10

11 b) No es la gráfica de una función de x porque no satisface la prueba de la línea vertical. c) No es la gráfica de una función de x porque no satisface la prueba de la línea vertical. 1. Se construye una caja a partir de una pieza rectangular de cartón reciclado de dimensiones 14 cm. por cm. Se cortan en cada esquina 11

12 cuadrados de longitud x, después se doblan los lados de la figura resultante como en la imagen. Expresar el volumen V de la caja como una función de x. V = f(x) = x(14 x)( x) = 4x 3 7x + 308x, con 0 < x < Identifica (sin usar graficador) a qué función pertenece cada gráfica en la siguientes imagenes y da una breve explicación de por qué: a) 1) y = x 4. ) y = x 7. 3) y = x 10. b) 1) y = 5x. ) y = 5 x. 3) y = x 5. 1

13 a) 1) y = x 4. Corresponde a la gráfica de h porque es una función par y crece más lento que la gráfica de g. ) y = x 7. Corresponde a la gráfica de f porque es una función impar. 3) y = x 10. Corresponde a la gráfica de g porque es una función par y crece más rápido que la gráfica de h. b) 1) y = 5x. Corresponde a la gráfica de f porque es una función lineal. ) y = 5 x. Corresponde a la gráfica de g porque y > 0 para todo valor de x. 3) y = x 5. Corresponde a la gráfica de h porque es una función no lineal e impar. 13

14 14. Descargar un programa graficador de la página del curso y verificar las gráficas de las funciones del ejercicio Realizar las actividades 3 y 4 de la pagina del curso. En la actividad 3 hay que identificar cuáles son gráficas de una función de x. En la actividad 4 hay que asociar las gráficas a las ecuaciones dadas. Hacer un pequeño reporte, les pido ser muy breves pero incluir las gráficas. Esto puede ser diferente para cada uno. 14

15 15