Tarea 1 Ejercicios resueltos

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1 Tarea 1 Ejercicios resueltos 1. Encontrar los incrementos x y y así como la distancia entre cada pareja de puntos: (i) A = ( 3, 2), B = ( 1, 2). (ii) A = ( 1, 2), B = ( 3, 2). (iii) A = ( 3.2, 2), B = ( 8.1, 2). (iv) A = ( 2, 4), B = (0, 1.5). (v) A = (1, 2), B = (4, 2). (i) x = x 2 x 1 = 1 ( 3) = 2. y = y 2 y 1 = 2 (2) = 4. d = ( x) 2 + ( y) 2 = (2) 2 + ( 4) 2 = = 2 5. (ii) x = x 2 x 1 = 3 ( 1) = 2. y = y 2 y 1 = 2 ( 2) = 4. d = ( x) 2 + ( y) 2 = ( 2) 2 + (4) 2 = = 2 5. (iii) x = x 2 x 1 = 8.1 ( 3.2) = 4.9. y = y 2 y 1 = 2 ( 2) = 0. d = ( x) 2 + ( y) 2 = ( 4.9) =

2 (iv) x = x 2 x 1 = 0 2 = 2. y = y 2 y 1 = = 2.5. d = ( x) 2 + ( y) 2 = ( 2) 2 + ( 2.5) 2 = (v) x = x 2 x 1 = 4 1 = 3. y = y 2 y 1 = 2 2 = 0. d = ( x) 2 + ( y) 2 = = Describir las gráficas de las siguientes ecuaciones: (i) x 2 + y 2 = 1. (ii) x 2 + y 2 = 2. (iii) x 2 + y 2 3. (iv) x 2 + y 2 = 0. (v) x 2 + y 2 1. (i) El círculo con centro en (0, 0) y radio 1. (ii) El círculo con centro en (0, 0) y radio 2. (iii) El círculo (con sus puntos interiores) con centro en (0, 0) y radio 3. (iv) El origen, es decir el punto (0, 0). (v) El plano con excepción de los puntos interiores del círculo de radio 1. 2

3 3. Realizar las actividades 1 y 2 de la siguiente página: cesar/calculo verano 2011/ a) En la actividad 1 hay que introducir algunos valores y observar lo que sucede. También hay que dibujar y explicar lo que se obtiene al escribir y = b) En la actividad 2 hay que encontrar las ecuaciones que generan la gráfica dada. a) Se muestra la gráfica de la ecuación y = 2 x+1 con escalones. 3 El 2 en el numerador indica que los escalones mostrados en la gráfica bajan 2 unidades, el 3 en el denominador indica que los escalones son de tamaño 3. b) Utilizando lo observado en el inciso anterior con los escalones se puede reconstruir la gráfica fácilmente. Evidentemente existen una infinidad de soluciones, aquí se muestran dos. 3

4 4. Dibujar los puntos dados a continuación y encontrar la pendiente de la línea que determinan: (i) A = ( 1, 2), B = ( 2, 1). (ii) A = ( 2, 1), B = (2, 2). (iii) A = (2, 3), B = ( 1, 3). (iv) A = ( 2, 0), B = ( 2, 2). (v) A = (1, 2), B = (4, 2). (i) m = y x = 1 2 = 3. 2 ( 1) 4

5 (ii) m = y x = ( 2) = 3 4. (iii) m = y x = = 0. (iv) m = y x = 2 0 ; no hay pendiente. 2 ( 2) (v) m = y x = = 0. 5

6 5. Encontrar las ecuaciones de las rectas vertical y horizontal que pasan por los siguientes puntos: (i) P = ( 1, 4/3). (ii) P = ( 2, 1.3). (iii) P = (0, 2). (iv) P = ( π, 0). (v) P = (2, 2). (i) x = 1, y = 4/3. (ii) x = 2, y = 1.3. (iii) x = 0, y = 2. (iv) x = π, y = 0. (v) x = 2, y = Encontrar la ecuación y hacer una gráfica de cada una de las líneas descritas: (i) La línea que pasa por ( 1, 1) con pendiente 1. (ii) La línea que pasa por (2, 3) con pendiente 1/2. (iii) La línea que pasa por (3, 4) y ( 2, 5). (iv) La línea que pasa por (5, 1) y es paralela a la línea 2x 5y = 15. (v) La línea que pasa por (4, 10) y es perpendicular a la línea 6x 3y = 5. 6

7 (i) P = ( 1, 1), m = 1 y 1 = 1(x ( 1)) y = x. (ii) P = (2, 3), m = 1 2 y 3 = 1 2 (x 2) y = 1 2 x 4. (iii) P = (3, 4), Q = ( 2, 5) m = y 1(x 3) y = 1x x = 5 4 = 1 y 4 = (iv) P = (5, 1), la ecuación de la línea l es 2x 5y = 15 m l = 2 la línea paralela es y ( 1) = 2 (x 5) 5 5 y = 2x

8 (v) P = (4, 10), la línea l está dada por 6x 3y = 5 m l = 2 m = 1. Por lo que la ecuación de la línea perpendicular es 2 y 10 = 1(x 4) y = 1x Una partícula comienza en el punto A = (6, 0) y sus coordenadas cambian con incrementos x = 6, y = 0. Encuentre su nueva posición. Nueva posición = (x inicial + x, y inicial)+ y = (6 + ( 6), 0) = (0, 0). 8. Encontrar la ecuación del círculo con el centro C y radio r dados. Hacer un dibujo en el plano xy incluyendo el centro de cada círculo. Identifique las intersecciones del círculo con los ejes x y y. (i) C = ( 3, 0), r = 3. 8

9 (ii) C = ( 1, 5), r = 10. (iii) C = (1, 1), r = 2. (iv) C = ( 3, 2), r = 2. (v) C = (3, 1/2), r = 5. (i) C = ( 3, 0), r = 3 (x + 3) 2 + y 2 = 9. (ii) C = ( 1, 5), r = 10 (x + 1) 2 + (y 5) 2 = 10. (iii) C = (1, 1), r = 2 (x 1) 2 + (y 1) 2 = 2. x = 0 (0 1) 2 + (y 1) 2 = 2 (y 1) 2 = 1 y 1 = ±1 y = 0 o y = 2 Similarmente y = 0 x = 0 o x = 2. (iv) C = ( 3, 2), r = 2 (x + 3) 2 + (y + 2) 2 = 4, x = 0 (0 + 3) 2 + (y + 2) 2 = 4 (y + 2) 2 = 1, 9

10 y 1 = ±2 y = 1 o y = 3. Ahora, y = 0 (x + 3) 2 + (0 + 2) 2 = 4 (x + 3) 2 = 0) x = 3. (v) C = (3, 1/2), r = 5 (x 3) 2 + (y 1 2 )2 = 25, así x = 0 (0 3) 2 + (y 1 2 )2 = 25 (y 1 2 )2 = 16, y 1 = ±4 y = 9 o y = 7. Por otro lado, y = (x 3) 2 + (0 1 2 )2 = 25 (x 3) 2 = 99 4 x 3 = ± 3 11 x = 3 ± Graficar los círculos dados por las siguientes ecuaciones: (i) x 2 + y 2 + 4x 4y + 4 = 0. (ii) x 2 + y 2 + 2x = 3. (i) x 2 + y 2 + 4x 4y + 4 = 0 x 2 + 4x + y 2 4y = 4 x 2 + 4x y 2 4y + 4 = 4 10

11 (x + 2) 2 + (y 2) 2 = 4 C = ( 2, 2), r = 2. (ii) x 2 + y 2 + 2x = 3 x 2 + 2x y 2 = 4 (x + 1) 2 + y 2 = 4 C = ( 1, 0), r = Graficar las parábolas dadas por las siguientes ecuaciones: (i) y = x 2 2x 3. (ii) y = x 2 + 4x. En ambos incisos se denotará por V al vértice de la parábola. (i) x = b 2a = 2 2(1) = 1 y = (1) 2 2(1) 3 = 4 V = (1, 4). Si x = 0, entonces y = 3. Por otro lado y = 0 x 2 2x 3 = 0 (x 3)(x + 1) = 0 x = 3 o x = 1. El eje de la parábola está en 11

12 x = 1. (ii) x = b 2a = 4 2( 1) = 2 y = (2) 2 + 4(2) = 4 V = (2, 4). Si x = 0, entonces y = 0. Por otro lado y = 0 x 2 + 4x = 0 x(x 4) = 0 x(x 4) = 0 x = 4 o x = 0. El eje de la parábola está en x = Describir las regiones dadas por las siguientes desigualdades: (i) x 2 + y 2 > 7. (ii) x 2 + y 2 < 5. (iii) (x 1) 2 + y 2 4. (iv) (x) 2 + (y 2) 2 4. (v) x 2 + y 2 > 1, x 2 + y 2 < 4. (i) El conjunto de los puntos que se encuentran fuera del círculo con centro (0, 0) y radio 7. 12

13 (ii) El conjunto los puntos que se encuentran dentro del círculo con centro (0, 0) y radio 5. (iii) El conjunto los puntos que se encuentran sobre y dentro del círculo con centro (1, 0) y radio 2. (iv) El conjunto los puntos que se encuentran sobre y fuera del círculo con centro (0, 2) y radio 2. (v) El conjunto los puntos que se encuentran fuera del círculo con centro (0, 0) y radio 1 pero dentro del círculo con centro en (0, 0) y radio 2; es decir, una rondana. 12. Graficar los siguientes pares de ecuaciones y encontrar los puntos donde las gráficas se intersectan. (i) y = 2x, x 2 + y 2 = 1. (ii) x 2 + y 2 = 1, x 2 + y = 1. (i) y = 2x y x 2 + y 2 = x 2 + 4x 2 = 5x 2 (x = 5 ) y y = 2 5 o (x = 5 ) y y = Entonces A = ( 5, 2 5 ) y B = ( 5, 2 5) son los puntos de intersección. (ii) x 2 + y 2 = 1 y x 2 + y = 1 y = y 2 y(y 1) = 0 y = 0 o y = 1. Si y = 1, entonces x 2 = 1 y 2 = 0 por lo que x = 0. Si y = 0, entonces x 2 = 1 y 2 = 1 por lo que x = ±1. 13

14 Entonces A = (0, 1), B = (1, 0) y C = ( 1, 0) son los puntos de intersección. 14