CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E2200

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E00 1) Se lanza una pelota hacia arriba desde la orilla de una azotea de un edificio de 18 m de alto La altura de la pelota está dada por ht) =18+9t t el momento t medido en segundos Durante qué intervalo de tiempo la pelota estará, cuando menos, 5 m arriba del suelo? ) Una caja rectangular sin tapa con volumen de 7 dm 3, tiene su base 3 veces más larga que ancha Exprese el área superficial de la caja en función de su ancho 3) Si 1 3x si 3 x< fx) = x x 8 si 1 x 5 encontrar: a) Un esbozo gráfico de la función b) Dominio, rango, raíces, paridad y monotonía Intervalos donde fx) > 0 y donde fx) < 0 c) Un esbozo gráfico para la función gx) = 1 fx +1) 3 ) Si fx) = 3 x, gx) = 3 x & hx) = x encontrar: a) El dominio de fx) b) Los dominios de gx) ydehx) c) h g)x) y su dominio canekazcuammx: 10/ / 007 1

2 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E00 Respuestas 1) Se lanza una pelota hacia arriba desde la orilla de una azotea de un edificio de 18 m de alto La altura de la pelota está dada por ht) =18+9t t el momento t medido en segundos menos, 5 m arriba del suelo? Durante qué intervalo de tiempo la pelota estará, cuando Resolver el problema es equivalente a resolver ht) t t 5 t +9t 7 0 t 9t +7 0 Vamos a encontrar las raíces de la cuadrática t 9t +7=0 t = 9 ± = 9 ± 5 = 9 ± 5 = 7 1 Sabemos entonces que t 9t +7= t 7 ) t 1) Para saber dónde la cuadrática es negativa usamos la tabla La solución es Signo de Intervalo t 1 t 7 t 7 )t 1) t<1< 7 ) + 1 <t< 7 + t> 7 > 1) t [ 1, 7 ] 1 7 ) Una caja rectangular sin tapa con volumen de 7 dm 3, tiene su base 3 veces más larga que ancha Exprese el área superficial de la caja en función de su ancho Usamos el siguiente dibujo

3 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E00 3 h h x 3x i) ii) El volumen de la caja es V =3x h =7 El área lateral de la caja es A L = xh + 3xh =8xh El área de la base de la caja es A B =3x Y ahora ya el área total: A T = A B + A L =3x +8xh Despejamos h de i) h = 7 3x = 9 x Sustituimos en ii) A T =3x +8x 9 x =3x + 7 x Ésta es la expresión solicitada 3) Si 1 3x si 3 x< fx) = x x 8 si 1 x 5 encontrar: a) Un esbozo gráfico de la función La gráfica de la función consta de dos partes: i) Una recta de pendiente m = 3 y ordenada en el origen b = 1 restringida al intervalo [ 3, ) Evaluamos esta recta en los extremos del intervalo para tener puntos de referencia: x 1 3x ii) La parábola y = x x 8 restringida al intervalo [ 1, 5] Puesto que x x 8=x x =x 1) 9,

4 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E00 vemos que tenemos una parábola con vértice 1, 9) y que se obtiene a partir de y = x desplazándola 1 unidad a la derecha y 9 unidades hacia abajo Para obtener más información sobre la cuadrática calculamos los ceros o raíces: x = ± +3 = ± 6 Evaluamos la cuadrática en algunos puntos x x x = Con la información anterior hacemos un esbozo de la gráfica fx) A 10 B 7 G F 5 x C 5 9 D E b) Dominio, rango, raíces, paridad y monotonía Intervalos donde fx) > 0 y donde fx) < 0 Dominio: D f =[ 3, ) [ 1, 5] Rango: R f =[ 9, 10] Raíces: x = Paridad: la función no es par ni impar La función decrece si x [ 3, ) y en [ 1, 1] La función crece si x [1, 5] fx) > 0six [ 3, ), 5] fx) < 0six [ 1, ) c) Un esbozo gráfico para la función gx) = 1 fx +1) 3 Cada valor de la nueva gráfica se obtiene de la anterior desplazándola una unidad a la izquierda, multiplicando el valor de la función por 1 y bajándola 3 unidades Vamos a obtener los valores de los puntos elegidos: D g =[, 3) [, ] y los puntos x = 3,, 1, 0, 1, y 5 se transforman respectivamente en

5 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E00 5 x =, 3,, 1, 0, 3yy: g ) = 1 f +1) 3= 1 f 3) 3= = 5 3= 8; g 3 )= 1 f 3 +1) 3= 1 f ) 3= 1 7 3= 13 ; g ) = 1 f +1) 3= 1 f 1) 3= 1 5) 3=5 3= 1 ; g 1) = 1 f 1+1) 3= 1 f0) 3= 1 8) 3= 3=1; g0) = 1 f0 + 1) 3= 1 f1) 3= 1 9) 3=9 3=3 ; g3) = 1 f3 + 1) 3= 1 f) 3= 1 0 3=0 3= 3; g) = 1 f + 1) 3= 1 f5) 3= 1 7 3= 7 3= 13 Por lo que los puntos A 3, 10), B, 7), C 1, 5), D0, 8), E1, 9), F, 0), G5, 7) se transforman también respectivamente en A, 8), B 3, 13 ), C, 1 ), D 1, 1), E 0, 3 ), F 3, 3), G, 13 ) A 3, 10), 10), 5) A, 8); B, 7) 3, 7) 3, 7 ) B 3, 13 ) ; C 1, 5), 5), 5 ) C, 1 ) ; D0, 8) 1, 8) 1, ) D 1, 1); E1, 9) 0, 9) 0, 9 ) E 0, 3 ) ; F, 0) 3, 0) 3, 0) F 3, 3); G5, 7), 7), 7 ) G, 13 ) Con la información anterior, hacemos el esbozo de la gráfica:

6 6 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E00 fx) 3 C E D 1 3 x 3 F B A 13 8 G ) a) La función fx) está definida siempre y cuando el radicando sea no negativo 3 x 0 3 x Esta última desigualdad es equivalente a las siguientes que se cumple una o bien la otra) i) 3 x 1 x 1 x o sea, x, 1 ] ii) O bien 3 x 7 x 7 x o sea, [ ) 7 x, + Por lo tanto, D f =, 1 ] [ ) 7, + b) De igual manera gx) está definida si 3 x 0 3 x 3 x ; por lo tanto D g =, 3 ] Se ve fácilmente que D h = R, } ya que x = yx = son los ceros de x c) Calculamos: h g)x) =h[gx)] = h 3 x ) = x D h g si cumple dos condiciones simultáneamente: i) x D g x, 3 ] 3 x) = 1 x = x +1 ;

7 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E00 7 ii) Y gx) D h 3 x R, } Nos preguntamos para qué valores de x la raíz cuadrada es igual a ya Nunca es igual a ya que es no negativa 1 3 x = 3 x = x =1 x = Tenemos entonces que D h g =, 3 ] 1 } =, 1 ) 1, 3 ]