CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E I

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E I (1) La gripe se está etendiendo en una escuela pequeña. Después de un tiempo t, medido en días, hay E(t) =20t t 2 enfermos. (a) A partir de qué día ya no hay enfermos de gripe? (b) Determine los intervalos de días en los cuales hay al menos 96 enfermos de gripe (2) En el dibujo aparece una parte de la gráfica de la función f. f() (a) Complete la gráfica de f sabiendo que se trata de una función par y también determine su dominio, raíces y rango (imagen) (b) Determine las soluciones de las desigualdades f() > 0yf() < 0 (c) Determine los intervalos donde f es (i) creciente (ii) decreciente (3) Una pecera de 1.5 pies de altura ha de contener un volumen de 6 pies cúbicos. Si es el largo de la base, y su ancho es y: (a) Determine y como función de. Además, grafique esta función (b) Hallar la cantidad en pies cuadrados de material necesario para construir la pecera en función de canek.azc.uam.m: 1/ 3/

2 2 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E0300 (4) La siguiente es la gráfica de una función f :[0, ] R. f() 15 4 (a) Determine su fórmula (b) Considere la función g definida por { f( ) si <0 g() = f() si 0. Bosqueje la gráfica de g. Determine su dominio, imagen y raíces. (c) Sea h() =g( +1), a partir de la gráfica de g obtenga la de h (5) Determinar el dominio de la función f() = 3.

3 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E Respuestas (1) La gripe se está etendiendo en una escuela pequeña. Después de un tiempo t, medido en días, hay E(t) =20t t 2 enfermos. (a) A partir de qué día ya no hay enfermos de gripe? Ya no habrá enfermos de gripe con t>0 cuando E(t) = 0, es decir, si 20t t 2 =0 t(20 t) =0; esto es, cuando 20 t = 0; o sea, cuando t = 20, luego a partir del vigésimo día no hay enfermos de gripe. (b) Determine los intervalos de días en los cuales hay al menos 96 enfermos de gripe Debemos determinar t de manera que como 20t t 2 96 t 2 20t +96 0; t 2 20t +96=(t )(t 12) t 2 20t +96=0 t = o bien t =12. Veamos ahora cuál es el signo del trinomio en el complemento de esos números construyendo la tabla siguiente: Signo de Intervalo t t 12 (t )(t 12) = t 2 20t +96 t<(< 12) + <t<12 + t>12 (> ) Luego, entre los y 12 días hay al menos 96 enfermos de gripe en la escuela. 12 días (2) En el dibujo aparece una parte de la gráfica de la función f.

4 4 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E0300 f() (a) Complete la gráfica de f sabiendo que se trata de una función par y también determine su dominio, raíces y rango (imagen) La gráfica completa es: f() Y así resulta que D f =[ 7, 7]. Raíces: 6, 3 2, 3 2 y6. R f =[, ]. (b) Determine las soluciones ( de las desigualdades f() > 0yf() < 0 f() > 0si 6, 3 ) ( ) 3 2 2, 6 ; f() < 0si [ 7, 6) ( 3 2, 3 2) (6, 7]. (c) Determine los intervalos donde f es (i) creciente La función f() es creciente en ( 7, ) (0, 3) (3, 4) ;

5 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E (ii) decreciente La función f() es decreciente en (, 3) ( 3, 0) (4, 7). (3) Una pecera de 1.5 pies de altura ha de contener un volumen de 6 pies cúbicos. Si es el largo de la base, y su ancho es y: (a) Determine y como función de. Además, grafique esta función Como el volumen de un prisma recto rectangular es el área de la base por la altura, en el caso de la pecera tenemos que 1.5y = 6, entonces y = y = 4. Cuya gráfica es: y Su dominio son los reales positivos y su rango es el intervalo (0, + ). (b) Hallar la cantidad en pies cuadrados de material necesario para construir la pecera en función de Ahora el área total del material que se requiere, puesto que la pecera no tiene tapa, es la suma de las áreas de 5 rectángulos, el fondo que tiene por área y y las 4 caras laterales que son iguales por parejas, 2 de área 1.5 y2con1.5y. y 1.5 En total A = 2(1.5) + 2(1.5y)+y =3 +3y + y =3( + y)+y.

6 6 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E0300 Sustituyendo y por 4 y ahora simplificando, obtenemos, por último: ( A =3 + 4 ) ( ) 4 + ( A() =3 + 4 ) +4. (4) La siguiente es la gráfica de una función f :[0, ] R f() 15 4 (a) Determine su fórmula En [0, 4] la gráfica de f es el segmento de la recta y =. En [4, ] la gráfica de f es el segmento de la recta que une los puntos (4, ) y (, 15), es decir, que tiene de pendiente 15 () m = = = Por pasar por el punto (4, ) su ecuación es: y +2= 17 ( 4). 6 Así: y = (2) 2= = y entonces la fórmula para f será: si 0 <4 f() = si 4. 3 (b) Considere la función g definida por g() = { f( ) si <0 f() si 0. Bosqueje la gráfica de g. Determine su dominio, imagen y raíces. La gráfica de g() es:

7 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E g() 2 4 D g =[, ], dominio de g. R g =[ 15, 15], imagen o rango de g. Raíces: Si =0 6 = 40 3 = = = 0.Asítambién = (c) Sea h() =g( +1), a partir de la gráfica de g obtenga la de h A la curva y = g() se le traslada 1 unidad hacia la izquierda y luego 2 unidades hacia abajo. Resulta entonces la gráfica siguiente de h(): h()

8 PRIMERA EVALUACIÓN PARCIAL E0300 (5) Determinar el dominio de la función f() = 3. Como el cuadrado de cualquier número real es no negativo, el radicando 3 debe ser mayor o igual que cero, , es decir, [ D f = 7, 13 ].