Funciones reales de variable real.

Transcripción

1 CONOCIMIENTOS PREVIOS. Funciones reales de variable real.. Conocimientos previos. Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos básicos: Intervalos y sus definiciones básicas. Representación gráfica de rectas. Sería conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.. Funciones. Dominio e imagen. Definición: Una función real de variable real f es una regla que a cada número real x, perteneciente a un conjunto de números reales llamado dominio de f, Dom(f), le asigna un único número real y que pertenece a un conjunto de números reales llamado imagen de f, Im(f). Se dice que y = f(x). Simbólicamente esto se representa por: f : Dom(f) Im(f) x y = f(x) Por ejemplo: f(x) = x es una función que asigna a cada valor de x su raíz cuadrada. Así a x = le asigna el valor y = f() = =. A x = le asigna el valor y = f() = =, A x = le asigna el valor y = f() = =, A x = le asigna el valor y = f() = =. A x =,5 le asigna el valor y = f(,5) =,5 =, El dominio de f será Dom(f) = [0, ) ya que sólo se puede calcular la raíz cuadrada de números positivos. La imagen de f será Im(f) = [0, ) ya que el resultado de una raíz cuadrada siempre es un número positivo. Otro ejemplo: Sea la función g(x) = x +. La función g asigna a cada número x otro número que se obtiene de hallar el cuadrado de x y sumarle. Así a x = le asigna y = g( ) = ( ) + = 5 A x = le asigna y = g( ) = ( ) + = A x = 0 le asigna y = g(0) = 0 + = A x = le asigna y = g() = + = A x = le asigna y = g() = + = 5... En este caso la operación que hay que hacer para calcular g(x) = x + se puede realizar para cualquier número, por lo que el dominio serán todos los números reales Dom(g) = (, ).

2 GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. A costa de dar muchos valores a la x y obtener la correspondiente y = g(x) se obtiene que la Im(g) = [, ).. Gráfica de una función. Las funciones se suelen representar usando unos ejes coordenados. Al eje horizontal se le suele llamar eje de abcisas o eje de las x. Al eje vertical se le denomina eje de ordenadas o eje de las y x - - y - - Se representarán dando valores a la x y obteniendo la y correspondiente, obteniéndose pares (x, y). A estos pares se les denomina puntos, pues representan puntos en el sistema de ejes. Por ejemplo, para representar la gráfica de la función y = x : ❶ Se dan valores a la x y se obtiene el correspondiente valor de la y. Los valores para la x se tomarán al azar. x = y = x = ( ) = x = 0 y = x = (0) = x = y = x = () = x = y = x = () = ❷ Se representan los pares de puntos en un sistema de ejes coordenados.

3 OPERACIONES CON FUNCIONES ❸ Si se dan un alto número de valores, mayor definición tendrá la función, que es lo que hacen los ordenadores o calculadoras científicas para representar las funciones. En este caso lo que se tiene es una recta Operaciones con funciones. Se puede realizar casi cualquier operación usando las funciones como argumentos de las operaciones. Suma de funciones: Por ejemplo: Si f(x) = x + y g(x) = x + x entonces f(x) + g(x) = x + }{{} f(x) + x + x = x }{{} + x g(x) El dominio de la suma de funciones es la intersección de los dominios de las funciones Dom(f + g) = Dom(f) Dom(g).

4 5 FUNCIÓN INVERSA. Producto de funciones: Por ejemplo: Si f(x) = x + y g(x) = x +x entonces f(x) g(x) = (x + ) } {{ } f(x) (x + x ) = x +x x +x }{{} g(x) El dominio del producto de funciones es, en general, la intersección de los dominios de las funciones Dom(f + g) = Dom(f) Dom(g). Cociente de funciones: Si f(x) = x + y g(x) = x + x entonces f(x) g(x) = x + x +x El dominio del cociente son los puntos donde están definidas ambas funciones excepto en los que el denominador se anula. Composición de funciones: Para obtener la expresión de la composición, se sustituye la expresión de la función f(x) en la x de la función g(x), es decir, (g f)(x) = g(f(x)). El dominio de g f es el conjunto de los valores de x del dominio de f tales que f(x) pertenece al dominio de g. Por ejemplo, si f(x) = x y g(x) = x entonces (g f)(x) = g(f(x)) = g(x ) = (x ) = x x + = x x. 5. Función inversa. Definición: Dada la función f, se llama función inversa de f a la función f (x), tal que (f f )(x) = (f f)(x) = x. La función inversa no siempre existe. Para calcular la inversa de una función hay que seguir los siguientes pasos: Supongamos que se desea calcular la inversa de la función: f(x) = x + ❶ Se cambia el f(x) por una y. f(x) = x + y = x + ❷ Se cambia la x por la y. y = x + x = y + ❸ Se despeja la y. ❹ El valor que se obtiene es la función inversa. x = y + ; x = y; y = x f (x) = x

5 6 SIMETRÍAS Simetrías. Definición: Una función es par si es simétrica con respecto al eje y; por tanto, se cumple que para todo x Dom(f): f(x) = f( x) Por ejemplo, f(x) = x es una función par, ya que: f( x) = ( x) = x f( x) = f(x) Si se representa gráficamente la función f(x) = x se ve claramente que es par: Definición: Una función es impar si es simétrica con respecto al origen de coordenadas; por tanto, se cumple que para todo x Dom(f): f( x) = f(x) Por ejemplo, f(x) = x es una función impar, ya que: f( x) = ( x) = x f(x) = (x ) = x } f( x) = f(x) Si se representa gráficamente la función f(x) = x se ve claramente que es impar:

6 7 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Crecimiento y decrecimiento. Para entender los conceptos de crecimiento y decrecimiento, nos imaginaremos que la función es el perfil de una etapa ciclista. Los corredores la recorren de izquierda a derecha Se dirá que la función es creciente cuando el ciclista vea una cuesta arriba y decreciente si ve una cuesta abajo. Definición: Una función f es creciente en un intervalo (a, b) cuando para todo par de puntos p y q del intervalo, tales que p < q, se tiene que f(p) f(q). Hay que notar que el crecimiento o decrecimiento de una función se define por intervalos. Definición: Una función f es decreciente en un intervalo (a, b) cuando para todo par de puntos p y q del intervalo, tales que p < q, se tiene que f(p) f(q)

7 8 MÁXIMOS Y MÍNIMOS. 7 Por ejemplo, en la gráfica anterior, el ciclista diría que: La función es decreciente para (,,), creciente para (,,,) y vuelve a ser decreciente para (,, ). 8. Máximos y mínimos. Definición: Una función f(x) se dice que tiene un máximo relativo si existe un intervalo abierto I, al que pertenece el punto x 0, tal que para todo x de ese intervalo f(x) f(x 0 ). De manera idéntica se puede definir un mínimo relativo. Definición: Una función f(x) se dice que posee un máximo absoluto en x 0 si f(x) f(x 0 ) para cualquier x del dominio de f(x). De forma similar se puede definir un mínimo absoluto. Hay que notar que la diferencia entre unos y otros es que los absolutos son máximos o mínimos para todo el dominio y los relativos lo son sólo en un intervalo. Por ejemplo: a) - - b) - - c) - - La gráfica representada en a) posee un mínimo absoluto en (x = 0, y = 0), ya que no hay ningún otro valor de la gráfica que se encunetre por debajo. En la función representada en b) se tiene un mínimo relativo en (x =,, y =,) y un máximo relativo en (x =,, y =,). La función dada en c) no tiene ni máximos ni mínimos, ya sean relativos o absolutos. Definición: Tanto a los máximos como a los mínimos se les denominan extremos de una función. 9. Interpretación de una gráfica. Por lo general se dará la gráfica de una función. Para interpretar una gráfica se debe dar sobre ella la siguiente información: ❶ Máximos y mínimos, tanto absolutos como relativos, si existen. ❷ Intervalos de crecimiento y decrecimiento. ❸ Simetrías. ❹ Puntos de corte con los ejes. ❺ Dominio e imagen.

8 0 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN. 8 Por ejemplo: Esta función dispone de un mínimo relativo en (x =,, y =,) y un máximo relativo en (x =,, y =,). La función es decreciente para (,,), creciente para (,,,) y vuelve a ser decreciente para (,, ). La función es simétrica respecto del origen, por lo que va a tener una simetría impar. Corta, con el eje x, en x =,5, en x = 0 y en x =,5. Corta, con el eje y, en x = 0. En este caso el dominio es (, ) y la imagen es (, ). Hay que fijarse en que los máximos y mínimos suelen separar las zonas de crecimiento y decremiento. En el tema de derivadas se estudiará una forma de obtener estás propiedades sin necesidad de tener la gráfica de la función Problemas de optimización. Los problemas de optimización son aquellos en los que se busca una solución que haga máxima o mínima una magnitud dada. Por ejemplo: Se desean mezclar dos tipos de aceite para obtener litros de mezcla. Hay que conseguir la mejor relación calidad-precio. El aceite tipo A vale euro el litro. El tipo B vale euros el litro. La calidad viene dada por la expresión C = a + b donde a son los litros que se han usado del aceite A y b son los litros que se han usado del aceite B. Solución: Se desean mezclar A y B para obtener 0 litros, por lo tanto a + b = El precio total de la mezcla será P = a + b euros La relación calidad-precio viene dada por la expresión C P = a + b a + b Como a + b = b = a, por lo tanto para trabajar con una sola incógnita se sustituirá el valor que se

9 ACTIVIDADES. 9 ha hallado para b en la expresión de la relación calidad-precio: C a + b P = a + b C a + ( a) 6 a b = a P = a + ( a) = 8 a Por lo tanto el problema se reduce a encontrar el máximo de la función: 6 a f(a) = 8 a Por ahora el único método que se ha estudiado para encontrar el máximo de una función es dibujarla. Para dibujarla hay que ir dando valores: En este caso el máximo se encuentra en a =,66 y f(a =,66) = 0,50. Por lo ha habrá que mezclar,66 litros del aceite A con, litros de aceite B.. Actividades.. Indica si los valores de x: 0; ;,5; ; 0,5 pertenecen al dominio de las siguientes funciones.: a) y = x b) y = x x c) y = x d) y = x + e) y = x f ) y = 7 x. Halla el dominio de estas funciones: a) y = x +x

10 ACTIVIDADES. 0 b) y = x (x ) c) y = x x+ d) y = x +x+ e) y = 5x x f ) y = x. Una empresa fabrica envases con forma de prisma de dimensiones x, x/ y x cm. a) Escribe la función que da el volumen del envase en función de x. b) Halla su dominio sabiendo que el envase más grande tiene litro de volumen. Cuál es su imagen?. Se dispone de 0 metros de valla. Con ella se quiere cercar un terreno rectangular, pero se pretende abarcar la mayor cantidad posible de superficie. Cuánto debe medir la base y cuánto la altura para que la superficie abarcada sea la máxima posible? Sol.: 5m 5. Calcula las inversas de las siguientes funciones y después comprueba que el resultado es correcto, componiendo la función original y la inversa obtenida a partir de los cálculos: a) f(x) = 5x 7 b) f(x) = x+7 c) f(x) = x 5 7 d) f(x) = x Indica el tipo de simetría, si la hay, de las siguientes funciones: a) f(x) = x x b) f(x) = x x c) f(x) = x + d) f(x) = x x e) f(x) = x + x Sol.: b:impar e:par 7. Interpretar la gráfica:

11 ACTIVIDADES Sol.: Máximos relativos en (x =,7,y =,6) y (x =,7,y =,6) Mínimos relativos en (x =,8,y =,) y (x =,8,y =,) Máximo absoluto en (x = 0,y = ) La función es creciente en (,,7), decreciente en (,7.,8), creciente en (,8, 0), decreciente en (0,,8), creciente en (,8,,7) y decreciente en (,7, ). Es una función par. Corta al eje x en x =, y en x =,. Corta al eje y en y =. El dominio de esta función es (, ) y la imagen (,) Realizar las siguientes operaciones con funciones: a) Sea f(x) = x x+ y g(x) = x calcular f(x) + g(x) b) Sea f(x) = x+ x y g(x) = x calcular f(x) g(x) x + c) Sea f(x) = x y g(x) = x calcular f(x) g(x) d) Sea f(x) = x y g(x) = x calcular (f g)(x) Sol.: a) x x x b) (x+) x + c) x x d) x Las soluciones a los ejercicios se pueden encontrar el la página web de la asignatura en el apartado de ejercicios resueltos.