II Parcial Solucionario

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1 UNIVERSIDAD DE COSTA RICA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA DEPARTAMENTO MATEMÁTICA APLICADA MA 000 PRECÁLCULO II CICLO 06 II Parcial Solucionario Sábado 9 de octubre 06 Tiempo horas Puntaje total 65 puntos I Parte. Respuesta corta. 9 puntos, punto por cada acierto) A continuación se le presentan 9 ítems incluye subítems). Escriba en el espacio delineado correspondiente la epresión que completa correctamente el enunciado propuesto.. Considere la función t : R R, t) = Si = es una coordenada del vértice de la gráfica entonces a) La coordenada y del vértice corresponde a y = b) Al aplicar la técnica de completar el cuadrado a t) se obtiene la epresión. Considere las siguientes funciones: f : R {, } ], ] ]0, + [, f) = { g : R 0, } R {, }, g) = 5 5 h :], + [ ], + [, h) = log ) a) El criterio de f g corresponde a f g)) = t) = ) 5 ) b) El criterio de g h corresponde a g h)) = 5 log ). Considere la función q p) : R R, q p)) = ) Si p) = entonces q) corresponde a q) = Una empresa ha estimado que mensualmente sus ingresos en dólares están dados por I) = 0,5 0,4 + 0,5 donde es la cantidad de artículos vendidos. Asimismo, la cantidad de artículos se determina mediante t) = 50t + 50, donde t es la cantidad de meses transcurridos desde su apertura. La solución presentada NO es única

2 a) El criterio de la función de ingresos en términos de la cantidad de meses corresponde a It) = 0,550t + 50) 0,450t + 50) + 0,5 b) Cuál es el ingreso que se obtuvo en al cabo del primer año? $405,5 ) 5 5. Considere la función dada por j) = ln definida en su dominio máimo y codominio R, + con j = f g h y f), g), h). a) Un criterio para f corresponde a f) = ln) b) Un criterio para g corresponde a g) = c) Un criterio para h corresponde a h) = Considere la función h : [, ] {0} R, h) = adjunta ) + ) 0. 5) ) y la tabla de signos ) + ) 0. 5) h) a) El signo correspondiente a la celda numerada con es + o positivo b) El signo correspondiente a la celda numerada con es + o positivo c) El signo correspondiente a la celda numerada con es o negativo d) El intervalo para el cual h) > 0 corresponde a Ninguno, h) 0 7. Considere la función f : R { } R, f) = 4 4 a) El punto de intersección de la gráfica con el eje y corresponde a 0, ) b) El punto de intersección de la gráfica con el eje corresponde a, 0) Las soluciones presentadas NO son únicas

3 8. Considere la función g : R R, g) = e a) El punto de intersección de la gráfica con el eje corresponde a ln), 0) b) El punto de intersección de la gráfica con el eje y corresponde a 0, ) 9. Si una recta l es perpendicular a la recta l dada por y = y el punto Q, ) pertenece a l entonces su ecuación es = II Parte. Desarrollo. 46 puntos) A continuación se le presentan 7 ítems incluye subítems) de desarrollo. Deben aparecer los procedimientos y justificaciones necesarias para eplicar sus respuestas.. Considere la representación gráfica adjunta donde se muestra la recta l, la función f : R R, f) = 5 + y el punto P. y P l a) 5 puntos) Si l está definida por la ecuación + y 6 = 0, determine la ecuación de la recta l a la que pertenece P y es paralela a l en la forma y = m + b l : + y 6 = 0 y = + 6 m l = m l = ) f = y + = ) y = 4 b) puntos) Determine la ecuación de la recta l a la que pertenece P tal que l l en la forma A + By + C = 0, A, B, C R

4 m l = y + = ) y + = 0. puntos) Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica con tapa de litro de capacidad y con la mínima cantidad de metal. Determine el criterio de la función área total en términos de la medida del radio de la base r. El criterio para el área es Ar, h) = πrh + r) πr h = h = πr ) Entonces Ar) = πr πr + r. 6 puntos) Simplifique al máimo el criterio de la función f :], [ R, f) = f) = = + ) = = 4

5 4. Considere la función g : D R, g) = a) 4 puntos) Determine el dominio máimo D + > 0 > Restricciones ) = 0 = 0 ó = 0 < 0) D = ], + [ {0} log + ) + 4 5) b) 7 puntos) Determine el intervalo para el cual g) > 0 Raíz log + ) = 0 0 = + = log + ) g) Por tanto g) > 0 en ], 0[ 5. 6 puntos) Reescriba el criterio de ) la función k definida en su dominio máimo y con codominio R, 5 dada por k) = log 6 6, haciendo uso de propiedades de logaritmos y potencias, para obtener dos epresiones logarítmicas con argumento polinomial y una epresión polinomial. 5 k) = log 6 ) log 6 6 ) = log 6 ) 5 = 5 log 6 )) = 5 [log 6 ) + log 6 )] = 5 log 6 ) + 5 log 6 ) 5

6 6. 4 puntos) Considere las funciones u : R R, u) = + w : R R, w) = + Determine los puntos de intersección entre las gráficas. + = + = 0 = ó = w ) = ) 4, w = 4 A, ), B 4, ) 4 7. Considere las funciones p : R R, p) = q : [, + [ [, + [, q) = + a) puntos) Determine las transformaciones que presenta la gráfica de cada función con respecto a la gráfica estándar respectiva. p: Compresión en un factor de q: Traslación horizontal izquierda unidades y traslación vertical abajo unidad b) puntos) Determine los puntos de intersección de las gráficas con los ejes. p p0) = 0 y = 0 = 0 Solo se tiene 0, 0) q q0) =, así y : 0, ) + = 0 + = + = = D q y q ) = 0, por lo que :, 0) 6

7 c) puntos) Trace la gráfica de ambas funciones en el plano adjunto. y 0 4 7