UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES GUÍA N 3 CÁLCULO I. Profesor: Carlos Ruz Leiva FUNCIONES REALES

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Ignacio Sosa Díaz
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1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUÍA N CÁLCULO I Profesor: Carlos Ruz Leiva FUNCIONES REALES Ej Determine el dominio de la función f ( ) = La función tiene sentido (para cada valor de, f() es un número real) se verifica que ( ) 0 Es decir 0 Como ya sabemos esta degualdad se cumple : (i) ( ) 0 y > 0 Es decir ( ) 0 Y >

2 Lo cual se mplifica diciendo que S = [, + [ (ii) ( ) 0 y < 0 Para ( ) 0, se tiene: i Para < 0, se tiene: La intersección de estos dos conjuntos obtenemos, S = [ 0,[ La solución de la degualdad es S S i S = [ 0,[ [, + [ Luego Dom ( f ) = [ 0,[ [, + [ Usando Maple: = ii ii La función tiene sentido 0 Es decir : > solve((^-*)/(-)>=0); RealRange ( 0, Open( )), RealRange (, ) Por lo tanto Dom ( f ) = [ 0,[ [, + [

3 Ejercicios: Defina el dominio de las guientes funciones: ( ) = + 6 f Sol {, } s g( s) s + s 6s IR = Sol IR {, 0, } h ( t) = t t 8 Sol IR ] -, 4[ 4 w w l ( w) = Sol [ 0, + [ - { } w Ej Determine el dominio y el recorrido de la función f ( ) = La función está definida sólo 0 Es decir 0 y + 0 o 0 y + 0 Como se ve en el gráfico guiente, esto se verifica para el intervalo [-,], por lo tanto Dom ( f ) = [ -,] Para el recorrido tenemos que y = 0, y como, debe cumplirse que y [ 0,] Es decir, Re c ( f ) = [ 0, ] Usando Maple: El dominio se obtiene de: > solve(-^>=0); RealRange (-, ) Por lo tanto Dom ( f ) = [ -,] El recorrido se obtiene de: Primero despejamos de y = 0

4 > :=solve(y=sqrt(-^),); := y, y Segundo, definimos: > []; y > []; y Representan a los valores de, el cual está en el intervalo > solve({[]<=,y>=0}); { y, 0 y } > solve({[]>=-,y>=0}); { y, 0 y } Es decir, Re c ( f ) = [ 0,] La gráfica de la función dada, es: > plot(sqrt(-^),=-55,y=-055); Verificar los dominios y recorridos de las guientes funciones: f ( ) =, Dom f ) = IR ( ) = (, Rec ( f ) = [ 0, + [ f, Dom ( f ) = IR { }, Re ( f ) = IR - { 0} c

5 f ( ) = 4, Dom ( f ) = ] -, 4 ], Rec ( f ) = [ 0, + [ Obtenga el dominio y el recorrido de las funciones guientes Ej f ( ) = +, 0 5 Obviamente, el dominio de la función es el intervalo 0 5 Para el recorrido, despejamos, de la función y = + Esta es = y 0, de donde obtenemos que y Además, y 5, de donde se obtiene que y 6 Por lo tanto Re c ( f ) = [, 6 ] Usando Maple > :=solve(y=^+,); > []; > []; Este valor se desecha por ser 0 > solve([]<=5); := y, y y y RealRange ( 6, ) Es decir, Re c ( f ) = [, 6 ] Obtenga el dominio y el recorrido de las funciones guientes f ( ) = Sol Dom ( f ) = IR, Re c ( f ) = IR f ( ) =, 5 Sol Dom ( f ) = [ -, 5 ], Re c ( f ) = [,0 ] f ( ) = Sol ( f ) = IR Dom, Re c ( f ) = ] -, ]

6 7 4 f ( ) = 7 Sol Dom ( f ) = ] -, ], Rec ( f ) = [0, + [ Determine el dominio de la función h ( t) = t Sol Dom ( h) = [, + [ g ( ) = Sol + Dom (g) = [0, + [ F( ) = + Sol Dom ( F) = [ 0,] 4 G ( ) = + Sol Dom ( G) = [, + [ 5 ϕ ( ) = Sol Dom ( φ ) = [ 0, π [ π Condere las funciones f y g Determine el dominio de f y el recorrido de g f : D IR + Sol D = ] -, -[ ], + [ f ( ) = + g :[ 5, + [ R Sol R = [, + [ g( ) = Aplicaciones Se desea construir un lo de la forma cilíndrica rematado por una bóveda semiesférica (a) Eprese el volumen del lo en función r y h (b) Eprese el área del lo en función de r y h

7 (c) Si el costo de construcción por metro cuadrado es el doble en la bóveda y el suelo comparado con la parte cilíndrica y el volumen del lo es V 0 metros cúbicos, eprese el costo de construcción C como función de r y encuentre su dominio (a) El volumen del lo está compuesto de dos partes, la primera parte corresponde al volumen de media esfera y la segunda, al volumen del cilindro circular recta Es decir, π r Vsemiesfera = y V cilindro π r h Por lo tanto, el volumen del lo, es = π = r + π r h V lo (b) El área del lo es la suma de las áreas de la semiesfera, la del cilindro y la de la base Esta es A lo = π r + π rh + π r (c) Supongamos que el costo por metro cuadrado de la parte cilíndrica sea a $/m Entonces, el costo por metro cuadrado de la bóveda y del suelo es a $/m Por lo tanto, el costo de construcción C $, es: C = π r (a) + π rh( a) + π r (a) Simplificamos: C = (6π r + π rh)( a) Despejamos h de V 0 π V0 r π = r + π r h Esta es h = π r Reemplazamos h en la función costo π V0 r C = ( 6π r + π r )( a) π r π r Simplificamos: C = (6π r + ( V0 ))( a) r 4 V 0 C = ( π r + )( a) r

8 El dominio de esta función pareciera que es r > 0, pero no debemos olvidar que π V0 r la altura h, está limitada por la epreón h =, la cual, es mayor que π r V cero Esto se cumple 0 r < Luego, el dominio de la función C, es π 0 V π 0 < r < Un equipo de jockey juega en una pista con capacidad de aentos de 5000 espectadores Con el precio del boleto en $, la astencia promedio en juegos recientes ha do de 000 personas Una investigación de mercado indica que por cada dólar que se reduzca el precio del boleto, la astencia promedio se incrementará en 000 Determine el ingreso en función del precio La orilla de una piscina forma un rectángulo de 60 pies de largo y 0 pies de ancho Su profundidad aumenta uniformemente de 4 a 9 pies en un tramo horizontal de 40 pies y después continúa al mismo nivel los restantes 0 pies, como se ilustra en la figura que muestra una sección transversal Si la piscina se ha llenado desde fuera alcanzando un nivel h en el lado más profundo, determine el volumen V(h) del agua en función de la altura h 80h V ( h) = 800h h < 5 5 h 9

9 Ejercicios: Se da una función f (a) (b) (c) (d) Trace la gráfica Determine el dominio Determine el recorrido Obtenga los intervalos en los que f crece y en los que decrece f ( ) = f ( ) = 4 f ( ) = 9 4 f ( ) = + 4, 4 5 f ( ) = 6 ( ) = + + f 7 f ( ) = 8 8 f ( ) = 9 f ( ) = 0 f ( ) = f ( ) = + f ( ) = Se da una función f (a)utilice Maple para obtener la gráfica de f f ( ) = 4 f ( ) = (b)determine aproimadamente en qué intervalos f crece y en cuáles decrece Ejemplo: / f ( ) = (a) Gráfica de f > plot(^(/),=-5);

10 (b) La función es creciente en todo su dominio [ 0, + [ / f ( ) = f ( ) / = 4 ( ) = + f 4 4 f ( ) = Ejercicios usando Maple En este ejercicio condere la familia de funciones f ( ) = n (a) Obtenga la gráfica de f para n = y n = en la misma pantalla utilizando el rectángulo de visualización [ -, ] por [ -, ] (b) Obtenga la gráfica de f para n = y n = 4 utilizando la misma pantalla y el mismo rectángulo (c) Obtenga la gráfica de las funciones de los incisos (a) y (b) en la misma pantalla y el mismo rectángulo (d) Qué concluones puede obtener a partir de estas gráficas? (a) > plot({/,/^},=-,y=-); (b) > plot({/^,/^4},=-,y=-);

11 (c) > plot({/,/^,/^,/^4},=-,y=-); (d) La función f ( ) = tiene su gráfico sobre el eje X n es par (métrica n respecto del eje Y) Su gráfica está más cerca del eje X para n grande La función f ( ) = es métrica respecto del origen para n impar Su gráfica está n más cerca del eje X para n grande

12 En este ejercicio condere la familia de funciones f ( ) = + c (a) Obtenga la gráfica de f para c = 0,, 4 y 6 en la misma pantalla utilizando el rectángulo de visualización [ -5, 5 ] por [ -0, 0 ] (b) Obtenga la gráfica de f para c = 0, -, -4 y -6 en la misma pantalla utilizando el rectángulo de visualización [ -5, 5 ] por [ -0, 0 ] (c) Qué concluones puede obtener a partir de estas gráficas? En este ejercicio condere la familia de funciones f ( ) = ( c) (a) Obtenga la gráfica de f para c = 0,, 4 y 6 en la misma pantalla utilizando el rectángulo de visualización [ -0, 0 ] por [ -0, 0 ] (b) Obtenga la gráfica de f para c = 0, -, -4 y -6 en la misma pantalla utilizando el rectángulo de visualización [ -0, 0 ] por [ -0, 0 ] (c) Qué concluones puede obtener a partir de estas gráficas? 4 Utilice gráficas para decidir cuál de las funciones f ( ) = y mayor (es decir, más grande cuando es muy grande) g ( ) = tiende a ser 0 > plot({^,^/0},=-55); > plot({^,^/0},=-550);

13 > plot({^,^/0},=-5500); Qué puede decir de estos tres gráficos? 5 Utilice gráficas para decidir cuál de las funciones a ser mayor f ( ) 4 = 00 y g ( ) = tiende 6 (a) Trace las gráficas de las funciones f ( ) = + 6 y g ( ) = + 6 (b) En qué forma están relacionadas las gráficas de f y de g (a) Gráficas de f y g > f:=->^+-6; f := + 6 > plot(f,-65);

14 > plot(g,-65); (b) Relación eistente entre f y g > plot({f,g},-65);

15 7 (a) Trace las gráficas de las funciones f ( ) 4 = 6 y g( ) 4 = 6 (b) En qué forma están relacionadas las gráficas de f y de g Trace la gráfica de la función definida por pedazos 0 < f ( ) = < 0 f ( ) = f ( ) = + > f ( ) = 5 4 = < f ( ) = - 6 > f ( ) = > Utilice Maple para obtener la gráfica de la función definida por pedazos sen( ) 0 < < π Ejemplo: f ( ) = 0 en todo otro caso > f():=n(); f( ):= n( ) > piecewise(>0 and <*Pi,f());

16 n( ) < 0 and π < 0 { 0 otherwise > plot(%,=-55,discont=true); Ejemplo: f ( ) = < > piecewise(<,-^,>=,-); < { > plot(%,=-5); Observe el cambio:

17 > plot(%%,=-5,discont=true); > + = ) ( f > = ) ( ) ( f < < + = 0 0 ) ( 4 f 4 > < = 0 0 ) ( f

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