PEP I. (5 pts.) (h + 4) respectivamente. (a) Exprese L y S en función de h, denótelas por L(h) y S(h) respectivamente

Transcripción

1 Universidad de Santiago de Chile, Facultad de Ciencia, Departamento de Matemática y C.C. Asignatura Cálculo I, Módulo Básico Ingenieria, Primer Semestre 0 PEP I Problema. (.) La figura muestra la gráfica de una función f(x) con dominio [ 4, 0] y recorrido [, 0]. Determine el dominio y recorrido de la función h(x) = f( x + ). (8 pts.) x 6 x (.) Considere la función f(x) =. (a) Determine el dominio de f. (0 pts.) (b) Encuentre f () = x R : f(x) = }. (4 pts.) (.) En la circunferencia de radio 4, que se muestra en la figura, sean L y S las longitudes de las cuerdas AB y MN. Si las cuerdas son paralelas al eje horizontal OX y tienen alturas h y (h + 4) respectivamente. (a) Exprese L y S en función de h, denótelas por L(h) y S(h) respectivamente (b) Determine el dominio de la función R(h) = S(h) L(h). Problema. [x ](x ) (.) Calcule x x (.) Sea f(x) = ( pts.), donde [ ] representa la parte entera. ( pts.) ( cos(π(x ))) x si x 0 si x = Calcule h 0 h (x π) + a a b(x π) si x < π (.) Sean a, b R, a > 0 y b 0. Considere la función f(x) = si x = π si x > π x π Determine los valores de a y b para que f(x) = f(π) (0 pts.) x π Problema. La figura muestra los tres primeros triángulos de una sucesión de triángulos. El triángulo exterior de es equilátero y tiene área igual a q metros cuadrados. Cada uno de los triángulos interiores se obtiene al unir los puntos medios de todos los lados del triángulo anterior. Calcule S n, la suma de los perímetros de los n primeros triángulos de la sucesión, luego calcule n S n. ( pts.) h A M B 4 (h+4) X - Figura Figura Figura

2 PAUTA PEP I Problema. (.) La figura muestra la gráfica de una función f(x) con dominio [ 4, 0] y recorrido [, 0]. Determine el dominio y recorrido de la función h(x) = f( x + ). (8 pts.) La expresión para f es f(x) = x 6 si 4 x x si x 0 Luego h(x) = ( x + ) 6 si 4 x + ( x + ) si x + 0 Esto es h(x) = x 9 si 4 x 6 x + si x El dominio Dom h = [, 6] y el recorrido es Rec h = [, 0]. x 6 x (.) Considere la función f(x) =. (a) Determine el dominio de f. (0 pts.) El dominio de la función es dado por el conjunto solución de la inecuación x 6 x 0, x 6 Por la definición de valor absoluto tenemos x 6 = si x < 6 x 6 si x 6 Por lo tanto, tenemos los siguientes casos: Caso en que x 6. x 6 x 0 ; x 6 (x )(x )(x 6 ) 0 ; x 6 (x 6 )(x )(x ) 0 x 6 ] ] 6 x, [, + [ Intersectando con la condición x 6, se tiene ] ] 6 S I, [, + [.

3 Caso en que x < 6. x 0 ; x 6 (x )(x + 6)(x 6 ) 0 ; x 6 (x + 6)(x )(x 6 ) 0 x 6 ] [ 6 x [ 6, ], + Intersectando con la condición x < 6, se tiene S II [ 6, ]. Finalmente la unión de S I y S II es la solución de la inecuación y el respectivo dominio de f. ] ] 6 S F = S I S II = [ 6, ], [, + [. (b) Encuentre f () = x R : f(x) = }. (4 pts.) x 6 x Resolvemos la ecuación =, x 6. Tenemos los casos siguientes Caso en que x 6. Caso en que x < 6. x 6 x = ; x 6 x + 0x = 0 x 0x + = 0 x = x = + x + 6 x = ; x 6 x x 6 = 0 x = 0 Finalmente f () = x R : f(x) = } = 0,, + } (.) En la circunferencia de radio 4, que se muestra en la figura, sean L y S las longitudes de las cuerdas AB y MN. Si las cuerdas son paralelas al eje horizontal OX y tienen alturas h y (h + 4) respectivamente. (a) Exprese L y S en función de h, denótelas por L(h) y S(h) respectivamente De la geometría tenemos: h + x = 6 x = ± 6 h, como x define una distancia, consideramos x = 6 h. Así L(h) = x = 6 h Análogamente, la longitud de la cuerda AB es x = ( h )(6 + h ), por lo que S(h) = (4 h)( + h).

4 (b) Determine el dominio de la función R(h) = S(h) L(h). ( pts.) R(h) = (4 h)( + h) (4 h)(4 + h) El dominio viene dado por h > 0 (pues h es altura) y el conjunto solución del sistema de inecuaciones (4 h)( + h) 0 (4 h)(4 + h) > 0 h [, 4] h ] 4, 4[. Finalmente el dominio es Dom R = ]0, 4[ Problema. [x ](x ) (.) Calcule x x, donde [ ] representa la parte entera. ( pts.) Como x, entonces x 0, por lo que x = (x ) y [x ] =. Así, (.) Sea f(x) = Calcule h 0 h [x ] (x ) x (x ) ( cos(π(x ))) x si x 0 si x = = [x ] =. x h 0 h = h 0 cos(πh) h cos(πh) = h 0 h + cos(πh) + cos(πh) sen (πh) = h 0 h + cos(πh) sen (πh) = h 0 h h 0 + cos(πh) ( ) sen(πh) = π h 0 πh h 0 + cos(πh) = π. (x π) + a a b(x π) si x < π (.) Sean a, b R, a > 0 y b 0. Considere la función f(x) = si x = π si x > π x π Determine los valores de a y b para que f(x) = f(π) (0 pts.) x π Calculando los limites laterales, tenemos

5 (x π) f(x) = + a a x π x π b(x π) = b x π (x π) + a a (x π) (x π) + a + a (x π) + a + a = b (x π) + a a x π (x π) (x π) + a + a = b (x π) x π (x π) (x π) + a + a = b x π (x π) + a + a = ab Por otro lado f(x) = x π + x π + x π sin(a(x π)) = (b ) x π + x π Con el cambio de variables t = x π, si x π +, entonces, t 0 + y el limite queda (b ) t 0 + sin(at) t sin(at) = a(b ) t 0 + at = a(b ). La condición f(x) = f(π), equivale a: x π ab = a(b ) =. Resolviendo el sistema para a y b se obtienen a = y b =. Problema. La figura muestra los tres primeros triángulos de una sucesión de triángulos. El triángulo exterior es equilátero y tiene área igual a q metros cuadrados. Cada uno de los triángulos interiores se obtiene al unir los puntos medios de todos los lados del triángulo anterior. Calcule S n, la suma los perímetros de los n primeros triángulos de la sucesión, luego calcule S n. ( pts.) n El área de un triángulo equilátero de lado L es A = 4 L, por lo tanto, el lado del primer triángulo se obtiene de la ecuación 4 L = q L = 4q = q. El lado de cualquiera de los otros triángulos de la sucesión es la mitad del lado del triángulo que lo precede. Así, el lado del segundo triángulo de la sucesión es L = q, y el del tercero es L = así sucesivamente, L k = q, k. k Por lo tanto la suma de los perímetros de los n primeros triángulos es S n = n L k = k= n k= q k = 6 q n j=0 ( ) j = 6 q ( )n q, y Finalmente S n = 6 q n ( )n n = q.