GUÍA N 7 CÁLCULO I. cuando x tiende al valor a y expresamos

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Juana Redondo del Río
hace 5 años
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1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUÍA N 7 CÁLCULO I Profesor: Carlos Ruz Leiva LÍMITE DE FUNCIONES Considere una función f () que esté definida para todos los valores de próimos a un punto a en el eje X pero no necesariamente en el punto a Suponga que eiste un número real L con la propiedad de que f () se acerca cada vez más a L cuando se acerca cada vez más a a Se dice que L es el límite de f () cuando tiende al valor a y epresamos esto simbólicamente como f ( ) L a En los gráficos siguientes mostramos el concepto del límite de una función (a) La gráfica muestra que f ( ) L a

2 (b) La gráfica muestra que f ( ) A y f ( ) B a + a En este caso se dice que f ( ) a no eiste si A B Definición: Se dice que f ( ) L es equivalente a decir que ε > 0 δ > 0 tal que si a 0 < a < δ f ( ) L < ε Ejemplos: Demuestre que 3 5 Solución: Tenemos que probar que para cualquier número positivo ε, debe eistir otro número positivo δ, tal que si 0 < < δ, entonces ( 3 5) < ε Cálculo de δ De f ( ) L ( 3 5) 3 6 3( ) 3 < 3δ ε, obtenemos que δ ε / 3

3 Por lo tanto, para todo valor positivo de ε, eiste un número real positivo δ ε / 3, tal que si 0 < < δ entonces ( 3 5) < ε Es decir, Demuestre que Solución: Por demostrar que para cualquier ε > 0 eiste un δ > 0 tal que si 0 < < δ ( + 3 ) 8 < ε Cálculo de δ De ( + 3 ) 8 ( + 5)( ) < + 5δ < 8 δ ε, obtenemos δ ε / 8 En efecto, como 0 < < δ δ < < δ, δ < < + δ, 7 δ < + 5 < 7 + δ, Si, por ejemplo, δ, obtendríamos 6 < + 5 < < 8 Con mayor razón + 5 < 8, si δ < Luego, ε > 0, δ ε / 8 tal que si 0 < < δ ( + 3 ) 8 < + 5δ < 8 δ 8( ε / 8) ε Es decir, Para entender la relación que eiste entre ε y δ, en el ejemplo anterior, usamos Maple Epresamos ( + 3 ) 8 < ε con ε > ec:-+3*+^; > abs(ec-8)<000 and >0; < 000 and < 0

4 Resolvemos esta desigualdad para determinar los valores de, próimos al valor, cuya imagen f () están a una distancia menor que > solve(%,); RealRange ( Open( ), Open( )) Es decir si, pertenece a este intervalo, se tiene entonces que f ( ) 8 < ε Gráfica de esta situación > plot({ec,[t,8,t0],[,t,t08]}, ,y ); Ejemplos, de límites de funciones, usando Maple Calcular > f:->3*+4; f : 3 + 4

5 > Limit(f(),);# Esta forma no calcula > it(f(),);# Esta forma calcula 0 > plot({f,[,t,t00],[t,0,t0]},-4);# Comprobación gráfica Calcular 0 > Limit(/abs(),0); 0 > Limit(/abs(),0,left);# Tomando valores de <0 0- > it(/abs(),0,left);# Se tiene el siguiente valor: - > Limit(/abs(),0,right);# Para >0 se tiene:

6 0+ > it(/abs(),0,right);# Su valor es: > plot(/abs(),-,disconttrue);# El gráfico muestra que el límite de la función en 0, no eiste Por lo tanto: > it(/abs(),0); 3 Calcular 0 > it(/,0); > it(/,0,left); > it(/,0,right); undefined undefined

7 > plot(/,-,y-00,disconttrue); 4 Calcular 0 > it(/^,0); > it(/^,0,left); > it(/^,0,right); > plot(/^,-,y-0);

8 5 Calcular 0 sen > Limit(sin()/,0); > it(sin()/,0); Este límite es muy importante 0 sin( ) > plot(sin()/,-55); cos 6 Calcular 0 > f:->(-cos())/; > it(f(),0); f : 0 cos( ) > plot(f,-);

9 Propiedades de los límites Sean f ( ) A y g( ) B a a Entonces: (a) (b) ( f + g)( ) A + B a ( fg)( ) AB a Demostración: (a) Como (i) f A (c) ( ), si A 0 a g B f ( ) A ε > 0 δ > 0 tal que si 0 < a < δ a f ( ) A < ε / y (ii) g( ) B ε > 0 δ > 0 tal que si 0 < a < δ a g ( ) B < ε / Luego, ( f ( ) + g( )) ( A + B) ( f ( ) A) + ( g( ) B) f ( ) A + g( ) B < ε / + ε / ε siempre que 0 < a < δ con δ min{ δ, δ } Es decir, ( f + g)( ) A + B a Demuestre las otras propiedades

10 Aplicación de estas propiedades Ejemplos: Evaluar, si eiste, Solución: Aplicando propiedad de la división de límites, tenemos: ( 3 5 ( + 3) 5 ) 5 3 (5) + 3(5) Evaluar, si eiste, Solución: Escribiendo ( + 3) 3 ( + 3) Evaluar, si eiste, Solución: Epresamos ( 3) ( + 3) ( 3)( + 3) 3 ( 3) (3) (0) 5

11 sen5θ 4 Calcular θ 0 θ Solución: Sea u 5θ Como θ 0, entonces u 0, en forma equivalente sen5θ sen( u) 5sen( u) Por lo tanto, θ 0 θ u 0 u / 5 u 0 u sen( u) 5 u 0 u 5 Ya que sen( u) u 0 u 5 Calcular 0 cos Solución: 3 0 cos 3 ( cos )( + cos + cos 0 ) ( + cos ) ( cos )( + cos )( + cos + cos 0 ) ( + cos ) ( cos )( + cos + cos 0 ) ( + cos ) sen ( + cos + cos 0 ) ( + cos ) 0 sen ( ) ( + cos + cos ) + cos 0 + cos + cos + cos(0) + cos(0) + cos (0) 3 sen Observe que ( ) 0

12 Ejercicios: Algunos de los siguientes límites eisten, y otros no Evaluar los que eistan (7 6), , 6, , 3, ( + )( + 3), 8, + 0, a + 6 5, Si f ( ) 4, g( ) y h( ) 0, evaluar los siguientes límites: a a (a) [ f ( ) g( ) ], (b) [ g( ) ] a a, (c) f ( ), (d) a g ( ) h( ), a f ( ) (e) f ( ), (f) a h ( ) [ f ( ) g( ) ] a + Evaluar los siguientes límites: 00 (a), (b) +, (c) 3 Evaluar los siguientes límites: 5 + 3, (d) 7 sen5θ senθ (a), (b), (c) sen, (d) θ 0 θ θ 0 θ sen sen (f), (g) sen , (e) sen, (e) 500 cos, 4 Evaluar los siguientes límites: (a) sen, (b) 0 3 sen, (c) 0 0 cos, (d) θ, (e) θ 0 cosθ 3 + sen, 0 (f) θ senθ, (g) θ 0 θ sen

13 5 Hallar el valor del límite indicado tg tg sen3 (a), (b), (c), (d) tg 3 cosec 6, (e) sen, 0 0 sen 0 sen5 0 π + cos (f) 3 tg, (g), (h) sen3 ctg5, (i) 0 sen 0 / π π / En los problemas siguientes debe usar calculadora o Maple 6 Consideremos el límite cosθ θ θ 0 (a) Usar una calculadora para construir una tabla de valores de la función para valores pequeños de θ, y de ahí elaborar una conjetura acerca del valor del límite (b) Probar la conjetura 7 Usando la identidad trigonométrica con cos α sen α con α θ, y la aproimación sen θ θ para θ pequeño, probar que para estos de θ tenemos cosθ θ Usar una calculadora para comprobar esta aproimación para (a) θ 0, (b) θ 0 0, (c) θ Consideremos el límite + 0 (a) Usar una calculadora para construir una tabla de valores de para, 09, 08, 07, 06, 05, 04, 03, 0, 0, 005, 00, 0005, 000 Usar esta evidencia para formar una conjetura acerca del valor del límite (b) Usar la información de (a) para dibujar la gráfica de Estimar la localización del punto más bajo y para 0 < <

14 9 Estimar el valor del límite ( + 0 ) / con cinco cifras decimales usando una calculadora para hallar el valor de la función para, 0, 00, 000, 0000, 00000, , , Ejercicios: Evaluar los siguientes límites: 5, +, ( ), 4, , , 7 3, 8 + 6, , ,, , 5 / / 0 +, a, 3, a a , 7, , 9 ( + ), 0 + La solución de cada uno de los límites dados, puede obtenerse usando Maple, como por ejemplo, en la comprobación del último límite Comprobar que + > ec:(^-^(-))/(^+^(-)); ec : ( ) + ( ) > Limit(ec,infinity); ( ) + ( )

15 > it(ec,infinity); Gráfica de la función dada: > plot({ec,},0infinity,y05); Ejercicios: Evaluar los siguientes límites (a) + n n n, (b) + n 3n + 3n+, (c) + n n n, (d) + n n n, (e) n n +, (f) n + n n + 3n+ n Verifique, usando Maple, que n, y luego calcule los siguientes límites: n (a) ( ) n /, (b) ( ) n ln n n / n ln n n 3 Compruebe, usando Maple, que:, (c) ln n n n / n, (d) n n e n / n / a, (b) ln a 0 0 (a) ( + ) e, > 0 a, (c) n( n a ) ln a n

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