Soluciones Tema 1: Preliminares

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1 Métodos Numéricos EPSEM-UPC Dep. Matemática Aplicada III Versión. Febrero, Profesor: Francisco Palacios Problema Soluciones Tema : Preliminares a) solve(*-<=); b) c) d) solve(*+*-); solve(^=*+,); solve((*-)/<-,); Problema a) El argumento de la raíz debe ser no negativo. solve(^-=,); b) El argumento del logaritmo debe ser positivo. solve(^-,); RealRange (, ) RealRange Open -, RealRange (, ), RealRange (, RealRange ( Open( ), Open( ) ), RealRange ( Open( ), RealRange (, - ), RealRange (, RealRange (, Open( )), RealRange ( Open( ), c) El argumento de la raíz debe ser no negativo; además debe ser no nulo para que el cociente esté definido. solve(-^,); RealRange ( Open( ), Open( )) d) Representaciones gráficas plot(sqrt(^-),=-5..5); plot(ln(^-),=-..); - - Page

2 plot(/sqrt(-^),=-5..5); Observa que la gráfica no eiste fuera del intervalo (-.,.). Problema a) Determinación analítca. Calculamos la derivada tercera f:=^*ln(); f := ln( ) f:=diff(f,$); f := La función objetivo es h()=f(), que es contínua en [,]; por lo tanto tiene un máimo y un mínimo absolutos sobre el intervalo. Para determinar el etremo absoluto de h() en [,], consideramos a) El valor de h() en los puntos críticos. b) El valor de h() en los etremos del intervalo. h:=f; h:=diff(h,); h := Vemos que h no se anula en el intervalo (de hecho es siempre negativa y, por lo tanto, h es decreciente). va:=subs(=,h); vb:=subs(=,h); va := Vemos que M= y m=/. b) Representación gráfica plot(h,=..,y=...5); h := vb := Page

3 .. y Observamos que, efectivamente, los etremos de la función objetivo h() en [,] son m=/ y M=. Problema a) Es similar al problema anterior. f:=*ep(); f:=diff(f,$); h:=f; h:=diff(f,); f := h := f := e e e e e h := 5 e e Vemos que la primera derivada de la función objetivo es siempre positiva en [,]. La función objetivo h() es creciente en el intervalo y resulta m:=subs(=,h); M:=subs(=,h); m := e M := 6 e Para obtener una aproimación decimal, usamos evalf() mf:=evalf(m); Mf:=evalf(M); mf :=. Mf :=.659 b) Representamos gráficamente plot(h,=..); Problema 6.5 Empezamos por escribir la desigualdad; le asignamos el nombre inec. Observa que para obtener el número e debes escribir ep(). inec:=ep()/(8*n^)<=/*^(-);.5 Page

4 e inec := 8 n Usamos el comando solve para resolver de forma eacta la inecuación, observa que la incógnita es n. s:=solve(inec,n); s := RealRange, e, RealRange e, Para obtener resultados en forma decimal, evaluamos previamente la desigualdad inecf:=evalf(inec); inecf := n sf:=solve(inecf,n); sf := RealRange (, ), RealRange ( , Como n es un número natural, la solución es n mayor o igual que 6. Podemos resolver gráficamente el problema representando la inecuación. En la gráfica, el valor corresponde a los valores de n para los que la inecuación es cierta. plot(inec,n=..); n 8 Problema 7 a) Usando la desigualdad triangular y teniendo en cuenta que toma valores en [,] y que el valor de sin() y de cos() está entre - y, resulta h()<=.5. b) Representamos h(), conjuntamente con la constante K=.5. Para representar conjuntamente dos epresiones f,f debemos agruparla en la forma [f,f] h:=abs(*^+sin()*cos(^)+/(^+)); h := sin( ) cos( ) plot([h,.5],=..,y=..); 5 y Vemos que, efectivamente, h() no supera el valor de K en el intervalo [,]. Problema 8 a) La función f() es continua en [/,], por lo tanto, tiene máimo y mínimo absolutos en ese intervalo. Sabemos que los etremos se puede tomar en: los puntos frontera del intervalo a=/ y b=; Page

5 en los puntos críticos interiores. Como f() es de la forma f()= g(), los puntos críticos de f() pertenecen al conjunto formado por los puntos críticos de g() y los ceros de g(). Escribimos la epresión de g g:=*ln(); g := ln( ) Calculamos la primera derivada, g:=diff(g,); g := ln( ) Determinamos los ceros de g s:=fsolve(g,=.5..); s :=. s:=fsolve(g,=.5..); s := fsolve ( ln( ),,.5.. ) Vemos que Maple no encuentra ningun punto estacionario de g en el intervalo [/,], de hecho el único punto estacionario de g es =ep(-) y está fuera del intervalo. Los puntos a tener en cuenta son, por lo tanto, =.5, =, =. Calculamos el valor de la función f() en estos puntos. Para ello definimos f como función mediante una estructura f:=-valor, que permite realizar las sustituciones de forma sencilla. f:=-abs(*ln()); f(.5),f(.),f(.); f := ln( ).65759,, Por lo tanto Mínimo absoluto m=, en =. Máimo absoluto M=.958, para =. b) Representamos f() en [.5, ] para verificar el resultado. Nótese que f está definida como función. En ese caso podemos emplear uno de los siguientes formatos de plot plot(f(),=.5..) plot(f,.5..) También valdría usar otra variable, por ejemplo, plot(f(t),t=.5..) plot([f(),.958],=.5..,y=-.5..); y Problema 9 a) Vamos a determinar la cota M del valor absoluto de la cuarta derivada usando un gráfico restart; f:=^*ln(); f:=diff(f,$); g:=abs(f); plot(g,=..); f := ln( ) Page 5

6 f := g := Está claro que podemos tomar M=. M:=;. M := b) Teniendo en cuenta el apartado anterior, la epresión de Es(h) verifica Eigimos que la cota superior de Es(h) no supere.5 ^(-) y resolvemos en h ineq:=abs((-)/8*h^*m)<=.5*^(-); ineq := 9 h.5 solve(ineq,h); RealRange (-.596,.596 ) Por lo tanto, el mayor valor de h admisible es h=.59 Problema.6.8 a) Calculamos las derivadas sucesivas de f. Empleamos un programa restart; f:=ep(-/); for i from to 5 do f.i:=diff(f,$i); od; f := e ( ) f := e( ) f := e( ) f := 8 e( ) f := f5 := Observamos que la derivada n-ésima admite la epresión fn:=(-)^n/^n*ep(-/); 6 e( ) e( ) (- ) n e ( ) fn := n Page 6

7 El valor absoluto de la derivada n-ésina fn() elimina el factor (-)^n, y como ep(-/) es decreciente, resulta que el máimo de fn() se obtiene para = Mn:=/^n; Mn := n b) Acotación de Rn(). Como pertenece a [,], obtenemos la cota superior Rn()<=/(^(n+))/(n+)!; Rn( ) ( n ( n )! En este caso el comando solve no puede resolver la inecuación inec:=/(^(n+))/(n+)!<=/*^(-5); solve(inec,); inec := ( n ) ( n )! No obstante, como n toma valores naturales, podemos dar valores a n hasta que se verifique /(^(n+))/(n+)!<=.5*^(-5); (.5-5 ( n ) n! for i from to 6 do v.i:=evalf(/(^(i+)*(i+)!)); od; v :=.5 v :=.8 v := v := v5 := v6 := Obtenemos n=6. También podemos representar la inecuación i ver cuando empieza a tomar valores positivos plot(inec,n=..8,thickness=);.6.. n Page 7