GUÍA N 10 CÁLCULO I. 1. Hallar una ecuación para la recta tangente, en el punto ( f ( )) = 3. x 1 x 2 1.

Transcripción

1 UNIVERSIDAD DIEGO PORTALES FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS GUÍA N CÁLCULO I Profesor: Carlos Ruz Leiva APLICACIONES DE LA DERIVADAS Problemas sobre la tangente Ejemplos: Hallar una ecuación para la recta tangente, en el punto ( f ( )) (a) c) f ( ) =, = 4 b) f ( ) =,, f ( ) = +, = = d) f ( ) =, = + a) La derivada de la función f ( ) =, es f ( ) = La pendiente de la recta tangente, en el punto en el que = 4, y f ( 4) = ( 4) ( 4) = 6, es m = f ( 4) = ( 4) = 47 Sea y = m + n, la ecuación de la recta Cálculo de n : Como ( 4, 6) es un punto de la recta tangente, debe satisfacer la ecuación de la recta Es decir, reemplazando ( 4, 6) en y = m + n, 6 = 47( 4) + n, obtenemos n = 8 Luego, la ecuación de la tangente es y = Esta se muestra en la figura

2 Hallar los puntos (si los hubiese) en los que la tangente es paralela a la recta y = a) y = b) y = ( y = ( ) c) 5 ) a) La pendiente de la recta tangente a la gráfica de y =, en un punto (, y), es m = y = Como la pendiente de la recta y = es m = y esta es paralela a la recta tangente a la gráfica de y =, debe cumplirse que m = y = = De aquí se deduce que = 4 Hallar los puntos (si los hubiese) en los que la tangente a a) y = 6 es paralela a la recta y = 4 b) y = es perpendicular a la recta y = c) + y = es paralela a la recta + y = d) + y = es perpendicular a la recta + y =

3 4 Hallar los puntos (si los hubiese) sobre la curva y = en los que la inclinación de la tangente es a) 45 b) 6 c) La pendiente de la recta tangente es m = = = tan 45 = Esto ocurre, cuando = 5 Hallar una ecuación de la recta que es tangente a la curva el punto (, ) y = y pasa por 6 Hallar una ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (b, a), suponiendo que la pendiente de la gráfica de f en (a, b) es m 7 En economía se estudian las rectas del mismo costo y las curvas de indiferencia Para qué valor de C es la recta del mismo costo A + By = ( A >, B > ) tangente a la curva de indiferencia y = + C? Hallar el punto de tangencia (llamado punto de equilibrio) Sea, ) el punto de tangencia ( y Como (, y ) pertenece a la recta A + By = y a la curva y = + C, debe satisfacer las ecuaciones A + By = y y = + C Además, las pendientes en ese punto son A iguales Es decir, m = y m =, son iguales De estas ecuaciones se obtienen, B B, y ) = (, ( AB), el punto de equilibrio y C = ( AB) A B B (

4 8 Determinar los coeficientes A, B, C de manera que la curva y = A + B + C pase por el punto (, ) y sea tangente a la recta 4 + y = 8 en el punto (, ) 9 Determinar los coeficientes A, B, C, D de manera que la curva y = A + B + C + D sea tangente a la recta y = en el punto (, ) y tangente a la recta y = 8 7 en el punto (, 9) La pendiente de la tangente a la curva y = A + B + C + D en cualquier punto es = A + B + C Para que la recta y =, sea tangente a la curva, debe cumplirse, en el punto (,) que = A() + B() + C = y que la curva pase por el punto (,), es decir, = A () + B() + C() + D Análogamente, en el punto (,9) debe cumplirse que = A() + B() + C = 8 y 9 = A () + B() + C() + D De las cuatro ecuaciones que aparecen, se obtienen los valores de A =, B = 6, C = 6, D, que satisfacen los requerimientos del problema Sea P = f (Q) (P = precio, Q = producción) la función oferta de la figura Comparar los ángulos θ y φ en los puntos donde la elasticidad ε = f ( Q) Q f ( Q) a) es b) es menor que c) es mayor que

5 Coeficiente de variación Ejemplos: Hallar el coeficiente de variación del área de un cuadrado al variar la longitud s de uno de sus lados Particularizar al caso que s = 4 El área de un cuadrado es: A = s El coeficiente de variación del área del da cuadrado al variar s, es Es decir, ds da = s En el caso que s = 4, ds da = (4) = 8 ds Esto significa que el área del cuadrado cuando s = 4, aumenta 8 unidades de área por un aumento de unidad en su longitud Hallar el coeficiente de variación del volumen de un cubo al variar la longitud s de uno de sus lados Evaluar esta rapidez en el cambio cuando s = 4

6 Hallar el coeficiente de variación del área de un cuadrado al variar la longitud z de una de sus diagonales Particularizar al caso en que z = 4 El coeficiente de variación del área de un cuadrado al variar la longitud z, es: da da ds da ds =, donde = s y = Estos valores se obtienen del problema dz ds dz ds dz resuelto anteriormente y de la relación pitagórica da da ds Luego, = = ( s)( ) = s dz ds dz 4 Hallar el coeficiente de variación de El coeficiente de variación de Cuando =, este es = = ( ) + s z, respectivamente s = y = con relación a cuando = y = con relación a, es = 5 Hallar el coeficiente de variación de y = ( + ) con relación a cuando = 6 Hallar los valores de para los que el coeficiente de variación de y = + 45 es cero El coeficiente de variación de y = + 45 es cero, es decir, = =, cuando = o = 5 7 Hallar el coeficiente de variación del volumen de una bola al variar su radio, dado que V = π 4 r El coeficiente de variación del volumen de una bola al variar su radio, es dv dr = 4π r

7 8 Hallar el coeficiente de variación del área de la superficie de una bola al variar su radio, sabiendo que A = 4π r Cuál es el coeficiente de variación cuando r = r? Cómo ha de escogerse r para que el coeficiente de variación sea? El coeficiente de variación del área de la superficie de una bola al variar su radio, da = 8π r dr da Cuando r = r, = 8π r dr da Para que = 8π r =, debe escogerse dr r = 8π 9 Hallar sabiendo que el coeficiente de variación de y = + con relación a es 4 cuando = Las dimensiones de un rectángulo se cambian de un modo tal que su área permanece constante Hallar el coeficiente de variación de la altura h con relación a la base b es Para qué valor de es el coeficiente de variación de y = a + b + c con relación a la misma que la de z = b + a + c con relación a? Suponer que Igualando los coeficientes de variación, de y y de z, respecto de, a b dz = a + b = b + a =, obtenemos = Hallar el coeficiente de variación del producto f ( ) g( ) h( ) con relación a cuando =, suponiendo que f ( ) =, g ( ) =, h ( ) =, f ( ) =, g ( ) =, h ( ) =

8 Coeficiente de variación por unidad de tiempo Ejemplo: Un punto se mueve a lo largo de la línea recta + y = Hallar: (a) la velocidad de cambio de la coordenada y, suponiendo que la coordenada aumenta 4 unidades por segundo; (b) la velocidad de cambio de la coordenada, suponiendo que la coordenada y disminuye unidades por segundo La relación entre las velocidades y se obtiene derivando la ecuación + y =, respecto del tiempo Es decir, de + = (a) La velocidad de cambio de la coordenada y, respecto del tiempo, es Como = + 4 = unidades por segundo, = ( + 4) = unidades por segundo Los signos de y de se eplican en la figura (b) La velocidad de cambio de la coordenada, respecto del tiempo, es = Como = unidades por segundo, = ( ) = + 4 unidades por segundo

9 Suponiendo que el volumen de un cubo disminuye a razón de decímetros cúbicos por minuto, hallar (a) la velocidad de cambio de la arista, y (b) la velocidad de cambio del área de la superficie total cuando el volumen del cubo es de 64 decímetros cúbicos El volumen del cubo mostrado en la figura, es V = (a) La velocidad de cambio de la arista, en cualquier instante, es Esta se obtiene de dv Cuando = se tiene = dv dv = Esta es = dm /min y V = 64 dm, ( V ) = = = dm/min ( 64) ( 4) 4 (a) El área de la superficie total, es A = 6 da La velocidad de cambio del área, es = y cuando V = 64 dm, tenemos da ( V ) = ( 64) = = 4 dm /min

10 Un punto P se mueve en la órbita circular + y = 5 Cuando pasa por el punto (, 4) su coordenada y disminuye a razón de unidades por segundo Cómo varía la coordenada? Derivando + y = 5, respecto de t, obtenemos + y = En el punto (, 4), = y y = 4 y = = y 4 = ( ) = 8 unidades por segundo unidades por segundo Entonces 4 Un lanchón cuya cubierta está a 4 metros por debajo del nivel del muelle, es arrastrado hacia él por medio de un cable atado a una argolla en el suelo del muelle, virándose el cable por medio de un pequeño cabrestante situado sobre la cubierta a razón de metros por minuto Con qué velocidad se mueve el lanchón hacia el muelle cuando está a 6 metros? De u = + h, obtenemos du u = Luego, velocidad del lanchón en cualquier instante u du =, representa la du Cuando = 6m y = u du m/min se tiene = = () = m/min 6

11 5 Un bote está amarrado a una cuerda enrollada a un cabrestante 6 metros por encima del nivel en el que la cuerda está atada al bote El bote se aleja a razón de,4 metros por segundo Con qué velocidad se desenrolla la cuerda cuando el bote está a 9 metros del punto situado directamente bajo el cabrestante? 6 En un cierto instante las dimensiones de un rectángulo son a y b Estas dimensiones varían y los coeficientes de variación son m y n, respectivamente Hallar la rapidez con que varía el área El área del rectángulo, es A = ab La rapidez con que varía el área, es da db da = a + b = an + bm La figura muestra el caso m, n > 7 Una escalera de 4 metros de longitud se apoya contra una pared Si la base de la escalera se separa de la pared a razón de 6 centímetros por segundo, con qué rapidez desciende el etremo superior de la escalera cuando la base se encuentra a,6 metros de la pared? Derivando + y = 6 respecto de t, obtenemos + y = De donde se obtiene la velocidad del punto B de la escalera, Cuando =, 6 m y v A = = 6 cm/seg =, 6 m/seg, obtenemos: v B = = y,6 v B = = = v A = (,6) =,7 m/seg = 7 cm/seg y 6 6,6

12 8 Tomado = t t + m, t seg como ecuación del movimiento, hallar (a) la velocidad cuando t = segundo, (b) la aceleración cuando t = segundo, (c) la rapidez cuando t = segundo, (d) la rapidez en el cambio de la rapidez cuando t = segundo, (e) el instante t, si eiste, en el que la velocidad es máima, (f) el instante t, si eiste, en que la rapidez es máima La velocidad es = t + t t +, t La aceleración es d t + 4 = 4( t + ) t +, t 5 (a) La velocidad en t =, es = + = + 4 m/seg (b) La aceleración en t =, es d () = = 4( + ) + 8 = 7 6 m/seg 5 (c) La rapidez cuando t =, es 4 m/seg(magnitud de la velocidad) 7 (d) La rapidez en el cambio de la rapidez cuando t = segundo, es 6 m/seg (magnitud de la aceleración) (e) El instante t, en el que la velocidad es máima, es en t =

13 (f) El instante t, en que la rapidez es máima no eiste, ya que el valor absoluto de la velocidad es una función creciente, como puede verse en el gráfico siguiente > v:=-sqrt(t+)-t/(*sqrt(t+));velocidad v := t + t t + > abs(v); Rapidez t + + t t + > plot(v,t=); > plot(abs(v),t=);

14 9 Se aumenta la altura de un cilindro a una velocidad de 4 centímetros por minuto Si se ha de mantener constante el volumen del cilindro, a qué velocidad disminuye el radio en cada instante? En la teoría de la relatividad restringida la masa de una partícula moviéndose con una v velocidad v es M = m, donde m es la masa en reposo y c la velocidad de c la luz Cuál es el coeficiente de variación de la masa cuando la velocidad de la partícula es c y el coeficiente de variación de la velocidad es,c por segundo? dm mv v dv El coeficiente de variación de la masa es = c c Cuando la velocidad de la partícula es c y el coeficiente de variación de la velocidad es,c, el coeficiente de variación de la masa es dm mv v dv m( c) ( c) = (,c) c c = c c = m 5 Un vaso cónico de papel de radio 5 centímetros y altura 5 centímetros gotea agua a razón de centímetro cúbico por minuto A qué velocidad desciende el nivel del agua: (a) cuando el agua tiene una profundidad de 8 centímetros, (b) cuando el vaso está medio lleno? Resp (a) / π cm por minuto (b) cm por minuto π La sombra proyectada por un hombre de pie a metro de un poste luminoso tiene,4 metros de longitud Si el hombre posee una estatura de,8 metros y se aleja del poste del alumbrado con una rapidez de metros por minuto, con qué velocidad se alargará su sombra: (a) un cuarto de minuto más tarde, (b) cuando se encuentra a 9 metros del poste?

15 Para h =, 8m, = m, y =, 4m, tenemos de H = + y h y que H =, m De esta misma ecuación, despejando y, obtenemos h y = H h h Luego, la rapidez con que crece la sombra es V S = = = H h,8 () = 69 m / min, en cualquier instante e independiente de la distancia,,8 que se encuentre del poste Desde el suelo se lanza hacia arriba una piedra con una velocidad inicial de metros por segundo(a) Cuántos segundos más tarde volverá a alcanzar el suelo?(b) Cuál será la máima altura alcanzada?(c) Con qué velocidad inicial debería arrojarse la piedra si ha de alcanzar una altura máima de,5 metros? Si despreciamos la resistencia del aire, la altura del objeto en el instante t viene dado por la ecuación ( t) = gt + vt + En donde, v es la velocidad inicial en t = y la posición inicial en el mismo instante t = La aceleración de gravedad tiene, aproimadamente una magnitud de m/seg En nuestro caso, v = m/seg y = en t = Por lo tanto, la posición en cualquier instante, es ( t) = 5t + t y la velocidad en cualquier instante, es = t +

16 (a) Alcanza el suelo cuando ( t) = 5t + t =, es decir en t = seg (b) La máima altura alcanzada ocurre en t = seg y vale () = 5() + () = 5 m (c) La velocidad inicial para que alcance una altura máima de,5 m, se obtiene de ( t) = 5t + vt =,5 y = t + v = Resolviendo este sistema se obtiene v = 5 m/seg en un tiempo t =, 5seg 4 Para estimar la altura de un puente un hombre deja caer una piedra en el agua que pasa por debajo Cuál es la altura del puente (a) si la piedra toca el agua segundos más tarde, (b) si el hombre oye el choque segundos más tarde?(utilizar 4 metros por segundo como velocidad del sonido) 5 Se observa una piedra que cae a una altura de,5 metros Dos segundos más tarde se la observa situada a una altura de 5 metros (a) Hallar la altura desde que fue abandonada (b) Si se lanzó hacia abajo con una velocidad inicial de,56 metros por segundo, desde qué altura fue lanzada?