Derivada. Versión Beta

Transcripción

1 Derivada Versión Beta La derivada como razón de cambio Si una variable y depende del tiempo t, entonces su derivada dy dt se denomina razón de cambio. Ejemplos: Si y mide la distancia, entonces esta razón de cambio también se llama velocidad, la razón a la que fluye el agua al interior de un depósito, la tasa a la cual el área de un derrame de petróleo está creciendo, la razón a la cual el valor de una propiedad está aumentando. etc. Ejemplo: Se suelta un pequeño globo en un punto a 150pies alejado de un observador, quien se encuentra en el nivel del piso. Si el globo se eleva en línea recta hacia arriba a una velocidad de 8pies/s. Qué tan rápido está aumentando la distancia del observador al globo cuando este se encuentra a 50pies de altura? Solución: Qué está dado? dh dt = 8 Qué quiero conocer? ds dt =? cuando h = 50 Cómo se relacionan las variables? s 2 = h 2 + (150) 2 (1) Derivando (1) con respecto a t se tiene: ds dt = h dh s dt (2) Cuando h = 50 se tiene para (1) s = (3) Reemplazando en (2) ds dt = (8) 2, Luego, en el instante cuando h = 50pies, la distancia entre el globo y el observador está aumentando a una velocidad de 2, 53pies/s. Ejercicio: Una escalera de 10m de longitud está apoyada con su extremo iinferior sobre el piso y su extremo superior contra una pared vertical. En cierto instante el extremo inferior está a 2m de la pared y se aleja de ella a 1m/s. A qué velocidad desciende el extremo superior en dicho instante? Ejercicio: En un tanque cónico se vierte agua a una razón de 8 pies cúbicos por minuto. Si la altura del tanque es de 12 pies y el radio de su apertura circular es 6 pies. Qué tan rápido se está elevando el nivel del agua cuando este líquido tiene una profundidad de 4 pies? Ejercicio: Una mujer que está ante un acantilado, con un telescopio observa cómo se aproxima a un bote de motor a la playa que está directamente debajo de ella. Si el telescopio está a 250 pies por arriba del nivel del agua y si el bote se aproxima a 20pies/s. A qué velocidad está cambiando el ángulo del telescopio cuando el bote está a 250pies de la playa? 1

2 Ejercicio: Un balón esférico se está desinflando a razón de 5cm 3 /s A qué velocidad está disminuyendo el diámetro del balón en el instante cuyo diámetro es de 12 cm? Criterio de la primera derivada Teorema: Sea f derivable en el intervalo abierto I: Si f (x) > 0 para todo x en I, entonces f es creciente en I. Si f (x) < 0 para todo x en I, entonces f es decreciente en I. Ejemplo: Sea f(x) = x 2 2x 2. Determinar la monotonía de la función (esto es, encontrar los intervalos donde f es creciente y los intervalos donde f es decreciente.) Solución: f (x) = 2x 2 f (x) > 0 2x 2 > 0 x > 1 f es creciente para x > 1. f (x) < 0 2x 2 < 0 x < 1 f es decreciente para x < 1. Ejercicio: Determine la monotonía de la función: f(x) = 2x 3 3x 2 12x + 7. Ejercicio: Determine la monotonía de la función: g(x) = x 1+x 2. Ejercicio: Determine la monotonía de la función: h(t) = 4t 1 3 t3. Máximos y mínimos relativos 2

3 Máximo de una función: El punto x 0 es un máximo relativo de f si f (x) = 0 y en ese punto la función pasa de ser creciente a decreciente. El punto de coordenadas (x 0, f(x 0 )) es un máximo relativo de la función f(x). Mínimo de una función: El punto x 0 es un mínimo relativo de f si f (x) = 0 y en ese punto la función pasa de ser decreciente a creciente. El punto de coordenadas (x 0, f(x 0 )) es un mínimo relativo de la función f(x). Otro criterio para determinar máximos y mínimos relativos locales es: 1. Si f y f son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple: a) f (a) = 0 b) f (a) < 0 2. Si f y f son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple: a) f (a) = 0 b) f (a) > 0 Ejemplo: Determine las coordenadas de los puntos máximo y mínimo de la función: f(x) = x 3 3x Se halla la primera derivada y se calculan las raíces. f (x) = 3x x 2 3 = 0 3(x 2 1) = 0 x=±1. Luego, hay dos raíces: 1 y 1. f( 1) = ( 1) 3 3( 1) + 2 = 4. f(1) = (1) 3 3(1) + 2 = 0. Así, las coordenadas del punto máximo son ( 1, 4) y las coordenadas del punto mínimo son (1, 0). 2. Se halla la segunda derivada y se calcula el signo que toman en ella las raíces de la primera derivada. f (x) = 6x. Evaluando en las raíces se tiene: f ( 1) = 6. y f (1) = 6. De ahí que en x = 1 hay un máximo y en x = 1 hay un mínimo. 3. Se determina la imágen (en la función) de los extremos relativos. 3

4 Ejercicio: Represente gráficamente la función: f(x) = x 4 8x y determine las coordenadas de sus puntos extremos. Ejercicio: Determinar a, b y c para que la función f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c tenga: Un máximo para x = 4, un mínimo para x = 0 y tome el valor 1 para x = 1. Ejercicios sobre máximos y mínimos Se seguirán los siguientes pasos: 1. Plantear la función que hay que maximizar o minimizar. 2. Plantear una ecuación que relacione las variables (si hay mas de una.) 3. Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función de modo que quede una sola variable. 4. Derivar la función e igualarla a cero para obtener sus raíces. 5. Determinar la segunda derivada y evaluar las raíces del punto anterior en ella. Ejemplo: Se quiere construir una caja sin tapa de volumen máximo a partir de una hoja cuadrada de 12 cm de lado recortando cuadrados iguales en las esquinas. Cuál debe ser el lado de los cuadrados que se cortan para obtener dado valor máximo? Solución: 1. v = (12 2x) 2 x. v = 4x 3 48x v = 12x 2 96x v = 12x 2 96x = 0. 12(x 2 8x + 12) = 0. (x 6)(x 2) = 0. x = 6 y x = 2 5. v = 24x 96. v (6) = 48. v (2) = 48. Luego, v tiene un valor máximo en x = 2. Por tanto se deben recortar cuadrados de 2cm de lado para obtener volumen máximo. Ejercicio: Una boya formada por dos conos rectos de hierro unidos por sus bases ha de ser construido mediante dos placas circulares de 3cm de radio. Calcular las dimensiones de la boya para que su volumen sea máximo. Ejercicio: Qué puntos de la gráfica de y = 4 x 2 están más cerca del punto (0, 2)? Ejercicio: De todos los triángulos isósceles de 12cm de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima. Criterio de la segunda derivada Teorema: Sea f una función dos veces derivable en el intervalo abierto I. Se tiene: Si f (x) > 0 para toda x I, entonces f es cóncava hacia arriba en I. Si f (x) < 0 para toda x I, entonces f es cóncava hacia abajo (convexa) en I. 4

5 Ejemplo: Sea f(x) = 1 3 x3 x 2 3x + 4. Determine los intervalos en los que f(x) es creciente, decreciente, cóncava y convexa. 1. f (x) = x 2 2x 3 = (x 3)(x + 1). Evaluando en la función f : Luego, f es creciente en (, 1] y [3, ) y decreciente en [ 1, 3]. 2. f (x) = 2x 2 = 2(x 1). Evaluando en la función f : Luego, f es cóncava hacia abajo en (, 1] y cóncava hacia arriba en [1, ). Ejercicio: Determinar los intervalos en los que la gráfica de g(t) = 6(t 2 + 3) 1 es cóncava. 5

6 Puntos de inflexión Se dice que (x 0, f(x 0 )) es un punto de inflexión de la gráfica de una función f, si existe un intervalo abierto I tal que x 0 I y la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre (a, x 0 ) y cóncava hacia abajo sobre (x 0, b) o viceversa. En ellos la función no es cóncava ni convexa. Cálculo de los puntos de inflexión: 1. Se halla la segunda derivada y se determinan sus raíces. 2. Se halla la tercera derivada y se calcula el signo que toman en ella las raíces de la segunda derivada y si ese valor es distinto de cero, entonces se tiene un punto de inflexión. 3. Se calcula la imagen (en la función) del punto de inflexión. Ejemplo: Determine las coordenadas del (los) punto(s) de inflexión de la función: f(x) = x 3 3x f (x) = 3x 2 3 f (x) = 6x. La raíz de f (x) es x = f (x) = 6 f (0) = f(0) = 2. Luego, hay un punto de inflexión de coordenadas (0, 2). Ejercicio: Encontrar las coordenadas del (los) punto(s) de inflexión de la función: f(x) = x 3 3x 2 +6x 6. Ejercicio: Dada la función: g(x) = x 4 4x 2. Determinar: 1. Coordenadas de los extremos relativos. 2. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. 3. Puntos de inflexión. 4. Intervalos de concavidad. 5. Gráfica de la función g. 6