CÁLCULO I II DERIVADA TASAS RELACIONADAS

Transcripción

1 CÁLCULO I II DERIVADA TASAS RELACIONADAS Lecturas sugeridas: CÁLCULO una variable- GBThomas Jr Addison-Wesley- 1 ed México, 1 Capítulo 3 Sección 8 Págs Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía JC Arya, RW Lardner Pearson Educación- 4a ed México, Ejemplo 6, Pág dx dy TR1- (T,1, 38,5) Si y = x, = 3 Determine cuando x = 1 dx dy TR- (T,1, 38,7) Si x + y = 5, = Determine cuando x = 3 y x = 4 TR3- (A1,49) La función de costo de un fabricante es 3 C ( x) = + 1x 1x + x Si el nivel de producción actual es x = 1 y está creciendo a una tasa de al mes, calcula la tasa en que los costos de producción están creciendo TR4- (A,1,53) El área de una mancha circular de petróleo, que proviene de la ruptura de un oleoducto, crece a razón de 3 kilómetros cuadrados por hora Con cuánta rapidez crece el radio cuando éste es de 5 kilómetros? TR5- (A,1,54) Se está inflando un balón esférico Si el radio es de 1 pulgadas y está creciendo a razón de pulgadas cada 5 segundos, con qué razón crece el volumen? TR6- Se suelta un pequeño globo en un punto a 15 pies con respecto a un observador que está a nivel del suelo Si el globo se eleva verticalmente hacia arriba a razón de 8 pies por segundo, con qué rapidez aumenta la distancia del observador al globo cuando éste se encuentra a 5 pies de altura? TR7- En una cisterna con forma de cono invertido fluye agua a razón de 8 pies cúbicos por minuto Si la altura de la cisterna es de 1 pies y el radio de su base circular es de 6 pies, con qué rapidez sube el nivel del agua cuando ésta tiene 4 pies de profundidad? hacer los problemas 1 a 5 7

2 RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL Lectura sugerida: CÁLCULO una variable- GBThomas Jr Addison-Wesley- 1 ed México, 1 Capítulo 3 Sección 7 Págs Rt 1- (T6) Encontrar la ecuación de la recta tangente y la de la recta normal de la 3 cisoide de Diocles ( ac) y ( x) = x en P (1,1) y dibujarlas en la gráfica que se adjunta Rt - (G64) Encontrar la ecuación de la recta tangente y la de la recta normal de π π x sin( y) = y cos(x) en P, 4 Rt 3- (R143) Determinar las coordenadas de los puntos sobre la curva x y + xy = donde la recta tangente tiene pendiente 1 Rt 4- En qué puntos de la curva ( x y ) = a ( x + y ) + donde a es una constante positiva, la pendiente de la recta tangente es cero TAREA De la tarea de Cálculo I 6 Regla de la Cadena y cálculo de derivadas hacer los problemas 14 al 18 8

3 LINEALIZACIÓN O APROXIMACIÓN LINEAL Leer con cuidado [S1, 54] o bien [S3, 74] L1- Proporcionar una aproximación lineal para la función g( x) = x + sin x para x = Utilizarla para calcular un valor aproximado de g (5) L- Encontrar una aproximación a 1 L3- Encontrar una aproximación lineal para aproximar los valores de y de 1 1 k = (1 x en x = + ) Aplicarla para L4- a) Para la función de costo c( x) = + 1x 1x proporcionar una aproximación lineal alrededor de x = 1 b) Calcular aproximadamente el costo para 1 unidades y 11 unidades a L5- [S1,54,8] Hallar la aproximación lineal de la función ( ) ( ) /( 1 + b 1 ) g = A + µ 1 µ, con A, a y b constantes positivas, en un entorno del punto µ = hacer el problema 11 Hacer del S1 Sec 54 los ejercicios 1 al 5 y el 8 o bien del S3 Sec 74 del 1 al 4, el 7 y el 11 DIFERENCIALES Leer con cuidado [S1, 54] o bien [S3, 74] Df1 a) En la gráfica que aparece a continuación aparecen los números (1), () y (3) determinar a qué corresponde cada número ( dx, dy, x, y ) b) Determinar las coordenadas de los puntos P y Q A qué corresponde R? Df 1- Calcular dy y y si = x + x en x =, dx = 1 Encontrar el error de aproximación entre ellas 9

4 Df 11- Calcular dy y y si x = 1 = + 1x 1 y el cambio es de = 1 c( x) x x a Df 1- Determinar el cambio aproximado en el área de una mancha circular de petróleo, que proviene de la ruptura de un oleoducto, cuando el radio crece de a 1 kilómetros Comparar este cambio aproximado del área de la mancha con el cambio real del área de ésta Df 13- [A,P66] Un gerente de ventas estima que su equipo venderá 1 unidades durante el próximo mes Él cree que su estimación es precisa dentro de un error porcentual del 3% Si la función de utilidad es P( x) = x ( ) x dólares por mes en donde x es el número de unidades por mes, calcular el error dp porcentual máximo en la utilidad estimada P hacer los problemas del 6 al 1 Hacer del S1 Sec 54 los ejercicios 6 y 7 o bien del S3 Sec 74 los problemas 5, 6 y 1 TEOREMA DEL VALOR MEDIO Leer con cuidado [S1, 7] y [S1, 73] o bien [S3, 84] TV1- Determinar si el teorema del valor se puede aplicar en el caso de las funciones cuyas gráficas aparecen a continuación Justificar su respuesta a) b) 3

5 TV- Encontrar el valor c a que se refiere el teorema del valor medio para las funciones e intervalos que se indican a continuación, en caso de no existir justificar por qué 3 a) ( x) = x x x + 1 b) f en [ 1,] / 3 = x en [ 8,7] c) (R13) f x) = α x + βx + γ ( en [ a, b] TV3- Para qué valores de a, m y b se tiene que la función y = f(x) satisface las hipótesis del teorema del valor medio? 3 si x = = x + 3x + a si < x < 1 mx + b si 1 x TV4- (G55) Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b) Suponer que f (x), x (a, b) Demostrar que f es inyectiva TV5- Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b) Si que f (x) >, x (a, b) Demostrar que f es creciente TV6- (T36) Si y = x y la gráfica de la función pasa por (1,7) encontrar y = f(x) 3 4 TV7- Mostrar que = x tiene exactamente un cero en (,) x TAREA De la tarea de Cálculo I 8 Teorema del valor medio hacer los problemas del 1 al 13 Hacer del S1 Sec 7 los ejercicios 1 a 3 y de la Sec 73 del 1 al 3 o bien del S3 Sec 84 los problemas 1, 6, 8 y 9 31