Cálculo I. Índice Motivación al Concepto de Límite. Julio C. Carrillo E. * 1. Introducción Motivación del concepto de límite 1

Transcripción

1 2.0. Motivación al Concepto de Límite Julio C. Carrillo E. * Índice 1. Introducción 1 2. Motivación del concepto de límite 1 3. Conclusiones 15 * Profesor Escuela de Matemáticas, UIS.

2 1. Introducción La noción de límite es uno de los conceptos más poderosos y básicos de las matemáticas. La derivada y la integral, que son parte central del estudio del Cálculo, son ambas criaturas del límite. El concepto de límite es la piedra angular del Cálculo y como tal es la base de todo lo que sigue. Es extremada importe entender la noción de límite de una función para poder entender completamente el Cálculo a este nivel. 2. Motivación del concepto de límite El Álgebra es un campo estático de las matemáticas que es estático, en el sentido que no puede ser utilizada para analizar la dinámica de la materia (sólidos y fluidos; llamados también objetos) enmovimiento,por ejemplo. El Cálculo por su parte, es un campo de las matemáticas que sí tiene la capacidad de hacer este análisis. El concepto fundamental que nos permite hacer la transición del Álgebra (estático) al Cálculo (dinámico) es el del límite de una función. Aritmética: números operaciones =) variables Álgebra: estática problemas en EMV + Límite Cálculo: dinámica mov. de la materia El papel principal de Cálculo es el proveer las herramientas fundamentales para el estudio del movimiento de sólidos y de fluidos. En esta sección se presentan tres problemas que motivan la noción del concepto c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 1/15

3 de límite desde punto vista físico y geométrico: el de encontrar la rapidez instantánea de un objeto en movimiento, el de encontrar la recta tangente a una curva en el plano y el de encontrar la tasa de cambio (instantánea) de una cantidad escalar en una variable Movimiento de partículas Supongamos que un objeto en movimiento recorre una distancia s en un tiempo t, lo cual se denota de la forma s = s(t), a partir de un cierto punto dado. Se supone además que el objeto recorre las distancias son s(t 0 ) y s(t 1 ) en los respectivos tiempos t 1 y t 2 dados. En tal caso se definen, 1. La cantidad o intervalo de tiempo t empleado por el objeto como para hacer el recorrido; t = t 1 t 0 2. La respectiva distancia recorrida s por el objeto en este intervalo de tiempo t como s = s(t 1 ) s(t 0 ); 3. La rapidez media v del objeto durante el intervalo de tiempo t como distancia recorrida v = cantidad de tiempo = s t = s(t 1) s(t 0 ) = s(t 0 + t) s(t 0 ), t 1 t 0 t en un tiempo t 0 dado. En otras palabras la rapidez media es la distancia recorrida tiempo t requerido para recorrer esta distancia. s dividida por el c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 2/15

4 Ejercicio 1. Es posible que la rapidez media v sea positiva, negativa o cero. Explique cada caso físicamente. Si bien la rapidez media de un objeto en movimiento durante un intervalo de tiempo dado es una constante, en general no se puede afirmar que lo mismo suceda durante todo el recorrido del objeto, porque es posible que por múltiples razones el objeto aumente o disminuya su velocidad durante el intervalo de tiempo [t 0,t 1 ], o que cambie en intervalos distintos de tiempo. Por lo anterior, es necesario determinar la rapidez exacta del objeto en cualquier instante de su recorrido. A continuación se discute el caso particular del movimiento de un objeto a lo largo de una recta Movimiento rectilíneo Supongamos que un objeto, o partícula, se mueve a lo largo de una recta, la cual pueden ser los ejes coordenados. Si el objeto parte de un punto O y en un tiempo t se encuentra en el punto P entonces la c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 3/15

5 posición en este punto se denota como s = s(t). Así, los valores de s son las distancias dirigidas medidas a partir de O y hasta P. Si P está a la derecha de O se considera que s>0, mientras que s<0 cuando P está a la izquierda de O. El movimiento de un objeto en línea recta se denomina movimiento rectilíneo. En este caso, el movimiento del objeto a lo largo de los ejes coordenados es rectilíneo, mientras que el movimiento a lo largo de la curva no lo es. A. Movimiento rectilíneo uniforme: rapidez media constante. Si en el movimiento rectilíneo de un objeto la rapidez media del objeto durante todo intervalo de tiempo es constante, o sea la misma, el movimiento rectilíneo se llama uniforme. En efecto, para un movimiento rectilíneo uniforme v = para todo intervalo de tiempo [t 0,t 1 ]. distancia recorrida cantidad de tiempo = s t = s(t 1) s(t 0 ) = v const. v t 1 t 0 c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 4/15

6 De acuerdo con esto, s(t 1 )=v(t 1 t 0 )+s(t 0 ). De manera más general, para cualquier tiempo t se tiene que si entonces s(t) s(t 0 ) t t 0 = v s(t) =v(t t 0 )+s(t 0 ). Esto nos muestra que la gráfica de un movimiento rectilíneo es una línea recta. Ejercicio 2. Se observa que un automóvil viajo 30 kilómetros en una hora y media. Cual fue la rapidez media del automóvil? c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 5/15

7 B. Movimiento rectilíneo no uniforme: rapidez instantánea. En este tipo de movimiento rectilíneo la rapidez media no es contante: v = distancia recorrida cantidad de tiempo = s t = s(t) s(t 0) = s(t 0 + t) s(t 0 ) t t 0 t 6= constante En tal caso, la gráfica de este tipo de movimiento no va a ser una línea recta. El problema consiste en encontrar la rapidez real del objeto en un tiempo t 0 dado. Ejemplo 1. Movimiento de una objeto de masa constante m que es lanzado desde un edificio de altura h 0, con una velocidad v 0x en dirección horizontal x y una velocidad v 0y en dirección vertical. El objeto se supone que se mueve bajo la acción de su propio peso. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 6/15

8 Ahora bien, cuando t 0, pero t 6= 0, se espera que s t constante. Si tal constante existe, ella depende de t 0 y deber además ser la rapidez instantánea v del objeto en el tiempo t 0, lo cual se denota como v(t 0 ). Así, se espera que: o bien, que si t t 0,t6= t 0, entonces v(t) = s(t) s(t 0) t t 0 v(t 0 ); si t 0, t 6= 0, entonces v( t) = s(t 0 + t) s(t 0 ) v(t 0 ). t Tenga en cuenta que t 0 si y solo si t t 0, y que t 6= 0si y solo si t 6= t 0. Ejemplo 2. Sea s(t) =t 3 la distancia recorrida por una partícula (en kilómetros) en un tiempo (en horas). Estime la rapidez instantánea de la partícula a la hora de encontrarse en movimiento. Solución. En este caso la rapidez media de la partícula está definida como v(t) = s(t) s(1) t 1 = t3 1 t 1, para valores de t cercanos a 1 pero t 6= 1. La siguiente tabla muestra una estimación de las rapidez media de la partícula para valores de t muy cercanos a t 0 =1, por la izquierda y la derecha, pero diferentes de t =1, ya que en este tiempo no está definida la rapidez media. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 7/15

9 t 1, t < 1 t! v(t) 3 v(t)! t 1, t>1 t! v(t) 3 v(t)! En este caso observemos que v(t) = t3 1 t 1 = (t 1)(t2 + t +1) t 1 = t 2 + t +1 con t 6= 1. Ahora se puede ver de manera más clara que cuando t 1, perot 6= 1, entonces sucede que v(t) 3. Según estos resultados, se puede inferir que a la hora de encontrarse en movimiento la partícula viaja a una rapidez de 3 kilómetros por hora; es decir, que v(1) = 30. En el ejemplo anterior se tiene así que cuando los valores de t se acercan a t 0, los valores de la rapidez promedio se acerca a un cierto valor. Tal constante se llama rapidez instantánea v y depende del tiempo t 0 en donde se calcula la rapidez promedio, por lo cual se denota como v(t 0 ). De este modo, se espera s que cuando los valores de t estén muy cercanos de t 0,perot6= t 0, entonces la rapidez promedio t esté muy cercano de v(t 0 ). c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 8/15

10 Convenciones: Si t t 0 {z,t6= t } 0, entonces s(t) s(t 0) v(t 0 ) t t 0 t!t 0 {z } s(t) s(t 0 )!v(t 0 ) t t 0 lím t!t0 s(t) s(t 0 ) t t 0 = v(t 0 ) ; o bien, que si t 0, t 6= 0, {z } t!0 entonces s(t 0 + t) s(t 0 ) v(t 0 ) t {z } s(t 0 + t) s(t 0 )!v(t 0 ) t lím t!0 s(t 0 + t) s(t 0 ) t = v(t 0 ). Definición 1 (rapidez instantánea). Sea s = s(t) la función que proporciona la posición de objeto que se mueve en línea recta. Entonces se define su rapidez instantánea en el instante t = t 0, denotada v(t 0 ), como s(t) s(t 0 ) v(t 0 )=lím, t!t0 t t 0 o bien, siempre que el límite exista. s(t 0 + t) s(t 0 ) v(t 0 )= lím, t!0 t c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 9/15

11 2.2. Recta tangente a una curva Uno de los problemas fundamentales del Cálculo diferencial consiste en encontrar la recta tangente a una curva en un punto dado de ella. La noción de recta tangente se estudia en los cursos de Geometría plana, la cual históricamente se debe al siguiente teorema de Euclides: Dado un círculo y una recta en el plano entonces solamente una de las siguientes proposiciones es cierta: (1)la recta no toca al círculo; (2)la recta toca al círculo en exactamente un punto; (3)la recta toca al círculo en exactamente dos puntos. Cuando sucede (2) se dice que la recta es tangente al círculo, mientras que la recta del caso (3) se dice que secante al círculo. Esto es lo que en resumen se necesita para dar una noción intuitiva de lo se entiende por una recta tangente a una curva arbitraria. Este problema hoy día se puede resolver de manea más general, pero por ahora consideremos un caso más sencillo. Consideremos la curva que es la gráfica de la función y = f(x). Se necesita encontrar la recta tangente a esta curva en el punto P (a, f(a)) de ella. Se busca construir la ecuación de la recta que tiene la propiedad que pasa por el punto P y que tiene es tangente a la curva en este punto; es decir, es la única recta que toca a la curva en el punto P. Ahora bien, para encontrar esta recta tangente existen dos posibilidades: tener dos puntos de la recta, o un punto de ella y su pendiente. Note que en este caso no se cumplen con ninguna de estas dos posibilidades. Es decir, no se tiene información suficiente pues no se tiene un segundo punto de la recta tangente ni su pendiente. Solamente se tiene el punto P de la recta tangente a la curva. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 10/15

12 La forma que se elige de resolver este problema es definir y calcular la pendiente de la recta tangente que se busca. Si se tiene esta pendiente, entonces se pude escribir la ecuación de la recta tangente, pues ya se tiene el punto P de ella. Para construir una recta se considera un segundo punto Q de la curva. Sea h un número positivo y muy pequeño; i.e., h>0 y h 0. Considerando x = a y x = a + h, valores de x que los separa una distancia h, se obtienen los correspondiente puntos de la curva P (a, f(a)), Q(a + h, f(a + h)). Si h es pequeño entonces el punto Q está cercano al punto P. Se dibuja la recta que pasa por estos dos puntos, la cual es llamada una recta secante a la curva. La pendiente de esta recta se calcula como m sec (h) = f(a + h) f(a) (a + h) a = f(a + h) f(a). h Así que f(a + h) m sec (h) = f(a), h lo cual representa la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q como una función de h. Esto es razonable dado que el punto Q de la curva depende de h. Ahora bien, en la medida que h se hace más y más cercana a 0, el punto Q se mueve a lo largo de la curva haciéndose más y más cercano al punto P ; la recta secante entonces gira alrededor del punto P y se hace más y más parecida a la recta tangente a la curva en el punto P. Ahora, si la recta secante se vuelve más cercana a la recta tangente, entonces la pendiente de la recta secante se vuelve más cercana a la pendiente de la recta tangente que se busca. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 11/15

13 En resumen, cuando h 0, peroh 6= 0(o bien h! 0) entonces sucede que m sec (h) m tan (o bien m sec (h)! m tan ). Con el punto y con la pendiente de la recta tangente m tan se encuentra la ecuación de la recta tangente. En tal caso, la pendiente de la recta tangente a la curva de ecuación y = f(x) cuando x = a es f(a + h) f(a) m tan (a) =lím, h!0 h si tal límite existe Tasa de cambio Si x es un número y se cambio un poco su valor, entonces este nuevo número puede ser representado por la notación x + x. La cantidad de cambio en el valor de x es dada como (x + x) x = x. Si x>0 entonces el valor de x se incrementa a x + x; si x<0 entonces x decrece. De igual modo, si se tienen dos variables x y y de tal modo que ellas están relacionadas de la forma y = f(x), y además x cambia un poco de x a x + x entonces y cambia de y = f(x) a y + y = f(x)+f(x + x), donde y corresponde al cambio en y; es decir, y = f(x + x) f(x). Por lo tanto, la tasa de cambio promedio en y por unidad de cambio en x es y x = f(x + x) f(x) x = La tasa de cambio promedio en y por unidad de cambio en x. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 12/15

14 Entonces, la tasa de cambio instantánea de y con respecto a x se define como si tal límite existe. Es costumbre que se escriba y lím x!0 x = lím f(x + x) f(x) x!0 x dy dx = lím x!0 y x. Así, Por lo tanto, dy dx = tasa de cambio (instantáneo) de y por unidad de cambio en x. dy dx = lím f(x + x) f(x). x!0 x Ejemplo 3. Si la medida del radio de un balón es r entonces su volumen es V = 4 3 r3. Si al balón se le inyecta aire su radio aumenta la cantidad r. En este caso el cambio en el volumen es V = 4 3 (r + r)3 4 3 r3 = 4 3 (r + r)3 r 3. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 13/15

15 Por lo tanto, la tasa de cambio promedio del volumen del balón por unidad de cambio en su radio r es V r = 4 3 (r + r)3 r 3 r = 4 3 ((r + r) r) (r + r)2 +(r + r)r + r 2 r = 4 3 r (r + r)2 +(r + r)r + r 2 r = 4 3 ((r + r)2 +(r + r)r + r 2 ), si r 6= 0.. Así que V r = 4 3 ((r + r)2 +(r + r)r + r 2 ), si r 6= 0. Dado que se puede probar que lím r!0 V r =4 r2, se sigue que la tasa de cambio del volumen V del balón con respecto a su radio r es dv dr =4 r2 En el caso del movimiento rectilíneo se tiene que su rapidez instantánea se puede escribir de la forma v(t 0 )= lím t!0 s t = ds dt (t 0) s 0 (t 0 ). c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 14/15

16 3. Conclusiones Consideremos la función f(t) = s t = s(t) s(t 0) t t 0. De lo anteriormente expuesto tenemos las siguientes situaciones: 1. f(t 0 ) no existe o bien t 0 /2 D f 2. lím t!t0 f(t) existe. 3. Calcular v(t 0 ) depende de calcular el límite anterior; es decir, se debe aprender a a) Calcular límites. b) Calcular la rapidez (instantánea) de una partícula. Además podemos concluir que el hecho que una función no esté definida en un punto no quiere decir que ella no tenga límite en tal punto; puede que si o puede que no. Estas situaciones tienen que ver con tres temas del Cálculo de funciones de una variable: Límite, Continuidad y Derivada. c Julio C. Carrillo E. Para uso exclusivo en el salón de clase 15/15