Dinámica. Cinemática de Partículas Movimiento Rectilíneo

Transcripción

1 Dinámica Cinemática de Partículas Movimiento Rectilíneo

2 Introducción. En general se distinguen dos tipos de movimiento para las partículas, estos son: el movimiento rectilíneo y el movimiento curvilíneo. Movimiento rectilíneo. El movimiento de una partícula a lo largo de una recta se denomina movimiento rectilíneo. Para definirlaposiciónp de la partícula sobre esa recta, se elige un origen fijo O y una dirección positiva. La distancia x desde O hasta P, con el signo apropiado, define por completo la posición de la partícula sobre la recta y se llama coordenada de posición de esa partícula.

3 Velocidad La velocidad promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo Δt se define como el cociente entre el desplazamiento Δx y el intervalo de tiempo Δt: La velocidad instantánea v de la partícula en el instante t seobtienedelavelocidad promedio al elegir intervalos Δt y desplazamientos Δx cada vez más cortos:

4 Velocidad La velocidad v se representa mediante un número algebraico que puede ser positivo o negativo. Un valor positivo de v indica que x aumenta, esto es, que la partícula se mueve en la dirección positiva (figura a); un valor negativo de v indica que x disminuye, es decir, que la partícula se mueve en dirección negativa (figura b). La magnitud de v se conoce como la rapidez de la partícula.

5 Aceleración Considere la velocidad v de la partícula en el tiempo t y también su velocidad v+δv en un tiempo posterior t+δt. La aceleración promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo Δt se refiere como el cociente de Δv y Δt: La aceleración instantánea a de la partícula en el instante t se obtiene de la aceleración promedio al escoger valores de Δt y Δv cada vez más pequeños:

6 Aceleración La aceleración a se representa mediante un número algebraico que puede ser positivo o negativo. Un valor positivo de a indica que la velocidad aumenta. Esto puede significar que la partícula se está moviendo más rápido en la dirección positiva (figura a) o que se mueve más lentamente en la dirección negativa (figura b); en ambos casos, v es positiva. Un valor negativo de a indica que disminuye la velocidad; ya sea que la partícula se esté moviendo más lentamente en la dirección positiva (figura c) o que se esté moviendo más rápido en la dirección negativa (figura d).

7 Ecuaciones de movimiento Es posible obtener otra expresión para la aceleración eliminando la diferencial dt en las ecuaciones de velocidad y aceleración.

8 Problema 1. Una niña hace funcionar un automóvil a controlremotoenunestacionamientovacío. La posición de la niña es el origen de los ejes de coordenadas xy y la superficie del estacionamiento se encuentra en el plano x y. Conduce el automóvil en línea recta de modo que la coordenada x se define mediante la relación x(t) = 0.5t 3 3t 2 +3t+2, donde x y y estánexpresadasenmetrosy segundos, respectivamente. Determine a) cuando la velocidad es cero, b) la posición y distancia total recorrida cuando la aceleración es cero.

9 Problema 1. Solución a) Cuando la velocidad es cero. 1. Paradeterminarlaecuaciónde velocidad, se deriva la ecuación de posición con respecto al tiempo. 2. Deseamos determinar el tiempo cuando la velocidad es cero, por lo tanto igualamos a cero. 3. Solucionamos la ecuación cuadrática y obtenemos los resultados.

10 Problema 1. Solución b) Posición cuando la aceleración es cero. 1. Se deriva la ecuación de velocidad con respecto al tiempo. 2. Deseamos determinar el tiempo cuando la aceleración es cero, por lo tanto igualamos a cero. 3. Resolviendo la ecuación.

11 Problema 1. Solución b) Distancia total recorrida cuando la aceleración es cero. 1. De la ecuación de posición se tiene:

12 Problema 2. La aceleración de una partícula se define mediante la relación a=kt 2.a)Sisesabequev= 8 m/s cuando t=0y que v=+8m/s cuando t=2s, determine la constante k. b) Escriba las ecuaciones de movimiento, sabiendo que x=0cuando t=2s.

13 Problema 2. Solución a) Determinar la constante k. 1. Sustituyendo en la ecuación de aceleración. 2. Integrando de acuerdo con las condiciones iniciales. 3. Solucionando se tiene que:

14 Problema 2. Solución b) Escribir las ecuaciones de movimiento. 1. Sustituyendo en la ecuación de aceleración el valor de k. 2. Para determinar la ecuación de velocidad, es necesario integrar a la aceleración. Considerando que v= 8m/s cuando t=0y que para un tiempo t se obtendrá una velocidad v.

15 Problema 2. Solución b) Escribir las ecuaciones de movimiento. 3. Para determinar la ecuación de posición, es necesario integrar a la velocidad. Considerando x=0cuando t=2s y que para un tiempo t se obtendrá una posición x.

16 Problemas.

17 Movimiento Rectilíneo Uniforme En este movimiento, la aceleración a de una partícula es cero para todo valor de t. En consecuencia, la velocidad v es constante, por lo tanto: La coordenada de posición x se obtiene cuando se integra esta ecuación. Al denotar mediante x 0 el valor inicial de x,seescribe Esta ecuación puede utilizarse sólo si la velocidad de la partícula es constante.

18 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado En éste tipo de movimiento, la aceleración a de la partícula es constante, por lo tanto: La velocidad v de la partícula se obtiene al integrar esta ecuación: donde v 0 es la velocidad inicial.

19 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado Sustituyendo el valor de v, se tiene entonces Al denotar mediante x 0 el valor inicial de x e integrar, se tiene

20 Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado También se puede recurrir a la ecuación Al integrar ambos lados, se obtiene

21 El estudio del movimiento rectilíneo se puede clasificar en tres casos para su estudio: Caso I: Aceleración variable Caso II: Aceleración cero Caso III: Aceleración constante

22 Movimiento De Varias Partículas Cuando varias partículas se mueven de manera independiente a lo largo de la misma línea, es posible escribir ecuaciones de movimiento independientes para cada partícula. Considere dos partículas A y B que se mueven a lo largo de la misma línea recta. Si las coordenadas de posición x A y x B se miden desde el mismo origen, la diferencia x B x A define la coordenada de posición relativa de B con respecto a A y se denota por medio de x B/A. De manera independiente de las posiciones de A y B con respecto al origen, un signo positivo para x B/A significa que B estáaladerechadea, y un signo negativo indica que B seencuentraala izquierda de A.

23 Movimiento De Varias Partículas La razón de cambio x B/A se conoce como la velocidad relativa de B con respecto a A yse denota por medio de v B/A. Al diferenciar la ecuación anterior, se escribe. Un signo positivo de v B/A significa que a partir de A se observa que B se mueve en dirección positiva; un signo negativo indica, según se observa, que ésta se mueve en dirección negativa.

24 Movimiento De Varias Partículas La razón de cambio de v B/A se conoce como la aceleración relativa de B con respecto a A y se denota mediante a B/A.

25 Movimiento Dependiente Algunas veces, la posición de una partícula dependerá de la posición de otra o de varias partículas. En ese caso se dice que los movimientos son dependientes. La posición del bloque B en la figura depende de la posición del bloque A. Puesto que la cuerda ACDEFG es de longitud constante, y puesto que las longitudes de las porciones de cuerda CD y EF alrededor de las poleas permanecen constantes, se concluye que la suma de las longitudes de los segmentos AC, DE y FG es constante.

26 Movimiento Dependiente

27 Problemas.