Diferencial de una función 1

Transcripción

1 Cálculo _Comisión y Año 7 Diferencial de una función Dada una función y f (, derivable en x, se define: Diferencial de f, en x, al producto de la derivada de la función en dicho punto, por el incremento de la variable independiente En símbolo: d f ( f ( x ) x, o también y( x ) x Así mismo, se define: Incremento de una función, a la diferencia entre el valor de la función incrementada y la función sin incrementar En símbolo: f f ( x f ( ), o también y y x y( ) ( x ( x Se demuestra que el diferencial de una función y el incremento de la misma son valores aproximados f ( x f ( x ) En efecto, como f es derivable x, existe f ( x ), siendo: f ( x ) lím ; por x x f ( x propiedad de límites f ( x ), se tiene: f ( x ) ; x entonces: f ( x x f x f ) ( ) ( x ) x x ; como el producto de un infinitésimo por un escalar, es otro infinitésimo: f ( x f ( x ) f ( x ) x, donde el primer miembro es el incremento de f y en el segundo miembro el diferencial de f más el infinitésimo : Entonces: y O bien: la diferencia entre el incremento de f y su diferencial, es un infinitésimo: y Como tiende a cero cuando x, y En determinados problemas donde sea necesario calcular el incremento de una función, se podría utilizar el diferencial de la misma, sabiendo que en el cálculo existirá un error, que provoca el reemplazo de y por el Por ejemplo: Se desea saber el incremento que sufre el volumen de una esfera de radio r = cm, cuando al medir éste se comete un error por exceso de cm 4 Solución: la función que representa al problema es V r, siendo r cm y r cm 4 4 El incremento del volumen es: V ( r r) ( r ), reemplazando los datos: V (cm cm) (cm) ( ) 7454,68 cm Resolviendo el problema mediante el diferencial de volumen: La derivada de la función es V 4 r y el diferencial es: dv 4 r r ; Apunte elaborado por la Mgter Prof Adriana Duarte Esta propiedad dice que si L es el límite de una función f en a, entonces la función f es igual al límite más un infinitésimo en a: L lím f ( f ( L ; con inf initésimo en a xa Guía teórica Diferencial de una Función

2 Cálculo _Comisión y Año 7 reemplazando los datos: Se tiene que V incremento de f dv dv 4 (cm) cm 579,64 cm ; 75 cm, que es el error obtenido al reemplazar el diferencial por el Supóngase que en el mismo problema, al medir el radio se comete un error por exceso de, cm En ese caso, será: V (cm,cm) (cm) (, ) 5,69 cm, mientras que: dv 4 (cm), cm 57,96 cm, con V dv,7 cm Se puede notar que la diferencia en este caso es mucho menor con respecto a la primera parte, justamente porque el error en la medida del radio ( r ) también es menor En el primer caso, correspondía al 5% de la medida del radio y en el segundo caso el,5% del mismo Interpretación gráfica de y y de En el gráfico de f se ha trazado la tangente por el punto P, la cual forma un ángulo con el eje x positivo Para un incremento x, se obtiene sobre el gráfico de f otro punto Q y sobre la misma vertical, en el gráfico de la recta tangente se obtiene el punto T Se tiene así que: y f ( x f ( x ) QR (sobre el eje y, el segmento de color azul) TR TR Además: f ( x ) mtg tg ; Así: f ( x ) x PR TR (sobre el eje y, el PR PR segmento de color rojo) Se puede apreciar que para ésta función que es cóncava hacia arriba en el punto P se cumple: y Si la función fuera cóncava hacia abajo, se cumpliría que y y en caso de que la función fuera lineal, se cumple que y Aproximación lineal Del gráfico se puede establecer que: f x f ( x ) f ( ) ; como f ( df (, será: ( x f ( x f ( x ) f ( x f ( x f ( x ) df (, o sea: ) x, expresión en la cual el segundo miembro corresponde a la ecuación de una función lineal (la recta tangente) Guía teórica Diferencial de una Función

3 Cálculo _Comisión y Año 7 La importancia de ésta expresión reside en el hecho de que, para hallar el valor de una función, cualquiera sea ésta, para un valor determinado de su variable independiente, se podrá aproximar ese valor tomando la imagen de la función lineal en dicho valor de la variable independiente La aproximación al valor real, dependerá del incremento de la variable independiente que se considere Ejemplo: Se desea encontrar el valor de 5, 5 Solución: En este problema es f ( x, su derivada es f ( Para determinar x se x tomará un número cuadrado perfecto (podrán ser 4 o 9) que esté cercano a 5,5 Si se toma x 4, la diferencia 5,5 4, 5 x Entonces: f ( x x f x f ) ( ) ( x ) x, reemplazando los datos:,5 5,5 4,5, Si se toma x 9, la diferencia 9 5,5, 5 x Entonces: f ( x x f x f ) ( ) ( x ) x, reemplazando los datos:,5 5,5 9,5, Por lo tanto, es preferible tomar x 4 porqué? En general: Si f es derivable en todo punto de su dominio, entonces será diferenciable en su dominio y se cumple que: df ( f ( x; x Df Caso especial: Sea f ( x Al hallar el diferencial de f, se tiene: df ( f ( x x x Por otro lado: d[ f ( ] d[ x], por lo tanto: x Es decir: el incremento y el diferencial de la variable independiente, son iguales Notación (o notación de Leibniz) Como x, el diferencial de f se puede definir como df ( f ( df ( De ésta expresión se deduce que: f (, o bien y (, conocida como notación de Leibniz para la derivada de una función Ejemplo: En un accidente de un barco petrolero, el volumen del derrame de petróleo depende del tiempo transcurrido, según la ley V 5t t Hallar la velocidad de derrame del combustible, siendo el tiempo medido en horas y el volumen en miles de litros, a las hs de haberse iniciado Solución: La velocidad de derrame viene dada por la derivada del volumen con respecto al tiempo: El cálculo con calculadora, redondeado a los milésimos, es,45 Guía teórica Diferencial de una Función

4 Cálculo _Comisión y Año 7 dv dt d 5t t ) dt ( 5t t Luego: dv dt t 5 4 lts h Propiedades del diferencial de una función 4 Sean u y v dos funciones que dependen de x: ) d ( k u) k du; k ) d u v d u d v ) d u v v d u u d v u v du u dv 4) d v v d f g d f g( f g( g( 5) Variables relacionadas Teniendo en cuenta la propiedad Nº 5, que trata sobre el diferencial de una función compuesta, se podría plantear en términos de sus variables independientes y dependientes, haciendo: g( u, f ( u) y y ( f g)( y, representada la relación entre variables en el siguiente esquema: Entonces, la propiedad Nº 5 se puede escribir: y( u) u( Utilizando la notación de Leibniz para las derivadas y dividiendo mam por : d u ; d u La expresión anterior reconoce que Si se conocen la velocidad de variaciones de una variable con respecto a una segunda, y de ésta con respecto a una tercera, el producto de ambas velocidades de variaciones dará la velocidad de variación de la primera con respecto a la tercera Ejemplo práctico: Tomando el ejemplo anterior, se sabe que el petróleo se derrama a razón de 57 lts/min La mancha circular del combustible alrededor del barco tiene un espesor constante de,5 - m, y el radio de la mancha varía en función al tiempo Calcular la velocidad del crecimiento del radio de la mancha, cuando el radio es de 5 m Solución: En este problema, las tres variables involucradas son: el tiempo t, el radio r y el volumen V, y las dependencias unas de otras se ven el siguiente esquema: 4 Las demostraciones quedan a cargo del lector Guía teórica Diferencial de una Función 4

5 Cálculo _Comisión y Año 7 Se cumple así la relación: son: 57 lts / min,57 m / min superficie del círculo y el espesor: V r,5 Lo que interesa calcular es La variación instantánea del volumen con respecto al radio es dv dt Los datos dv dr El volumen de la mancha circular es el producto entre la se considera r 5 m, m 5,5 / m,87 m / m dv dt,57 m min Por lo tanto: dv dr,87 m / m r,5 m / m Cuando,8 m / min Este resultado expresa que, cuando el radio de la mancha es de 5 m, la velocidad de cambio del radio con respecto al tiempo es de,8 m por cada minuto Derivada de funciones implícitas Hasta ahora se han considerado funciones de la forma y f (, llamada forma explícita, dado que es posible establecer la ley que relaciona a la variable independiente x con la variable dependiente y En ocasiones no es posible establecer esa relación de dependencia entre las variables, por ello la expresión que representa a la función contiene a las dos variables, constituyendo la denominada forma implícita: F ( x; y) Ejemplos de ellas son las ecuaciones de una circunferencia o de una elipse Para encontrar su derivada, se aplica diferenciales: d [ F ( x; y)] d(), para luego obtener Ejemplo: Encontrar las derivadas de las siguientes funciones: a) 4x y b) x y x x y Solución: a) 4x y, diferenciando mam se obtiene: d(4x y ) d() d(4x ) d(y ) d() 8x 4y 4y 8x Por último, queda: x / y (Nótese que la derivada sigue siendo implícita) b) x y x x y, entonces: d[ x y x] d[ x y] d[ x y ] d( d[ x y] Para diferenciar el producto para el producto x y, se tiene en cuenta la propiedad Nº de diferenciales, igualmente x y en el segundo miembro: Guía teórica Diferencial de una Función 5

6 Cálculo _Comisión y Año 7 x y y x x y y y xy x x y y Derivada de función en forma paramétrica Una función en forma paramétrica representa la relación entre las variables x e y y una variable nueva t, denominada parámetro x g( con y f ( y h( Nuevamente, se puede representar por un esquema de función compuesta de la siguiente forma: Para la derivada, se cumple: y( x(, de donde se obtiene que: (Nótese que la derivada sigue dependiendo del parámetro, o bien: Ejemplo: x cos( Derivar la siguiente función: y sen( Solución: x ( sen( y y ( cos( La derivada es: y( cos( cot g( x( sen( Guía teórica Diferencial de una Función 6