CURSO: CÁLCULO DIFERENCIAL MATERIAL COMPLEMENTARIO PARA LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 4

Transcripción

1 CURSO: MATERIAL COMPLEMENTARIO PARA LA PRÁCTICA CALIFICADA Nº 4 NIVEL BÁSICO f. Hallar f '() f ''(). 4. Sea ( ) sen Rpta: f '(), f ''(). Una luz está en el suelo a 45 metros de un edificio. Un hombre de metros de estatura camina desde la luz hacia el edificio a razón constante de metros por segundo. A qué velocidad está disminuendo su sombra sobre el edificio en el instante en que el hombre está a 5 metros del edificio? Rpta:0.45m/seg. Hallar los etremos relativos de la función f() =. Determinamos los puntos críticos de f, esto es: f () = f () = ( )( + ) ( )( + ) = 0 = = Estos dos puntos críticos determinan los intervalos abiertos ], [ ], [ Para determinar los etremos relativos usamos el criterio de la segunda derivada: f () = 6 De donde: f ( ) = 6 < 0, por lo tanto, eiste un máimo relativo en = f () = 6 > 0, por lo tanto, eiste un mínimo relativo en =

2 4. Una hoja de papel debe contener 8 cm de teto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener cm. cada uno, los laterales cm. Halla las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. Rpta: La hoja debe ser de 0 cm 5 cm. NIVEL INTERMEDIO d. Encontrar la derivada, de las siguientes funciones implícitas: d a. tg ' sec b. sen ' cos. Evaluar lim 0 tg sen sen Rpta:. Un globo esférico se llena con gas con un gasto constante de Q = 00 litros/minuto. Suponiendo que la presión del gas es constante, halle la velocidad con que está aumentando el radio R del globo en el instante en que R=0. m.

3 4. Un tanque cónico invertido de 0 m de altura m de radio en la parte superior, se está llenando con agua a razón constante. A qué velocidad se incrementa el volumen del agua si se sabe que cuando el tanque se ha llenado hasta la mitad de su capacidad, la profundidad del agua está aumentando a razón de un metro por minuto? Cuánto tiempo tardará el tanque en llenarse? Rpta:7.8m³/min 5.9min 5. Graficar la función f() = 4 6, indicado los etremos relativos los puntos de infleión. Derivando la función se obtiene: f () = 4 = 4( )( + ) De donde se obtiene los siguientes puntos críticos = 0 = =. Para encontrar los etremos relativos, haremos uso el criterio de la segunda derivada, esto es: f () = Luego

4 f ( ) = 4 > 0 f ( ) = 9, es un mínimo relativo. f (0) = < 0 f (0) = 0, es un máimo relativo. f ( ) = 4 > 0 f ( ) = 9, es un mínimo relativo. Ahora determinamos los puntos de infleión: f () = = ( )( + ) = 0 Entonces los puntos críticos de infleión son: = = Si <, entonces f () = ( )( ) = (+) entonces cóncavo hacia arriba. Si < <, entonces f () = ( )(+) = ( ) entonces cóncavo hacia abajo. Por lo tanto los (, f( )) = (, 5) es un punto de infleión. Si >, entonces f () = (+)(+) = (+) entonces cóncavo hacia arriba. Por lo tanto los (, f()) = (, 5) también es un punto de infleión Graficar la función f() = indicado los etremos relativos, puntos de infleión los intervalos de concavidad. Rpta. Min = 0, ma =, punto de infleión = 7. Un depósito abierto de latón con base cuadrada capacidad para litros, qué dimensiones debe tener para que su fabricación sea lo más económica posible?

5 La función que tenemos que minimizar es el área del depósito: A 4 Con la condición de que el volumen V sea de 4000 litros , por tanto, A 4. A 6000 (función a minimizar) A 600 ; A.6000 Si hacemos A 0, ( 6000 ) 000 Segundo derivada: A Para = 0, A ( 0) 0 para = 0 la superficie es mínima Si = 0, 0 0 luego la caja debe tener 0 dm. de lado 0 dm. de altura. 8. En una carretera a través del desierto un automóvil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 Km. De distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A B que le permite ir a una velocidad de 00 Km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 Km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A B es de 00 Km., determina la ruta que deberá usar para ir de A a P en el menor tiempo posible. Rpta: =5.

6 NIVEL AVANZADO. Calcular la derivada n-ésima en =0 de la función f ( ) arctan Rpta: n n (0) ( ) (n)!, (n) (0) 0. Un niño sostiene el manojo de hilo de una cometa a,50 m del suelo. La cometa se desplaza horizontalmente a una altura de 8,5 m. Calcular a qué velocidad debe el niño soltar el hilo en el momento en que la cometa está a 00 m de él, si la velocidad de la cometa es de 0m/min.

7 . Graficar la función f() = , indicado los etremos relativos, puntos de infleión los intervalos de concavidad. Rpta. Ma =, min =, punto de infleión = 0, = ± 4. Halla las dimensiones del rectángulo de área máima inscrito en una circunferencia de 0 cm. de radio. Condición que se tiene que dar: 400 Función a maimizar: Área =. 400 ; A A Si hacemos A 0, Es claro que la solución es 0 a que la negativa no tiene sentido. Comprobaremos que es máimo calculando la segunda derivada:

8 4 A (400 ) Para 0, A ( 0 ) 0 (máimo) 00 5 Si 0, 400 (0 ) 0. Se trata de un cuadrado.