( ) ( x) ( ) LA DERIVADA UNIDAD III. = 5 y con la semiamplitud EJERCICIOS ABIERTOS. lim. x 2
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- Ernesto Vega Toledo
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1 LA DERIVADA UNIDAD III EJERCICIOS ABIERTOS Cuál es la diferencia entre entorno entorno reducido? Obtener el entorno del punto a con la semiamplitud δ 0.. Obtener el entorno reducido del punto a con la semiamplitud δ Eponer el concepto formal de límite trazar una gráfica al respecto. A través de la definición, calcular formalmente los siguientes límites (δ en funciónn de ε: lim 7 7 lim ( 0 lim ( 8 + ( 8 lim 9 9 lim 0 Si se tiene: lim f ( lim f (, es posible de que lim f + ( eista? Para la función f cua gráfica se muestra, obtener el valor de la cantidad pedida, si eiste. En caso en no eistir, eplicar por qué f ( ( lim f ( lim f + ( lim f ( ( f ( lim f ( 7 lim f + ( 8 lim f (
2 9 Eplicar las propiedades de los límites. Aplicando las propiedades de los límites calcular: lim 7 lim 0 ( lim ( + + lim lim lim lim + + lim 0 lim 0 lim + ( + 7 lim lim lim lim 9 Para las siguientes funciones deterar los límites infinitos (a través de sus límites laterales: f ( f ( + f ( 7 f ( 9 Calcular los siguientes límites trigonométricos: 8 lim sen lim cos π 0 lim csc π 8 8cos lim 0 tan9 lim 0 Calcular los siguientes límites que tienden a infinito: lim ( 7 9 ( π sen7 lim 0 lim 0 sen lim cot lim csc lim 9 lim lim 0 7 Dada una función racional, cómo se puede saber el resultado de un límite cuando tiende a infinito? De acuerdo a lo anterior, deterar los siguientes límites: lim lim 9 +
3 8 8 lim 0 7 Encontrar los siguientes límites eponenciales: lim 7 lim 9 lim7 0 Hallar los siguientes límites logarítmicos: 0 lim log 0 + log lim lim lim lim log 0 lim log0. Definir formalmente el concepto de continuidad en un punto. Cuándo es continua una función en un intervalo? Qué significa que una discontinuidad sea evitable? Deterar si las siguientes funciones son continuas en el punto dado: 7 ( + f en 8 + f en f en 9 ( 7 ( 8 ( 0 70 ( f en. f en + 7 f ( cos en π + 7 f ( en 7 f ( en f ( en 7 7 f ( en Deterar el valor de c tal que la función sea continua en todos los números reales: + f ( c + > 78 Encontrar los valores de b c tales que la función sea continua en todos los números reales: + < < f ( + b + c Analizar la continuidad de las siguientes funciones: 79 f ( 80 f ( 98 8 f ( 8 f ( + 8 f ( 8 f ( 0 < 8 + > 8 Eplicar detalladamente el concepto de derivada.
4 8 Interpretar geométricamente el concepto de derivada. Derivar mediante la regla de los pasos, las siguientes funciones: Eplicar cuando una función es derivable. 9 Una función derivable es continua? 9 Una función continua es derivable? 9 En general, cómo se puede saber si una función es derivable? 9 Dibujar dos funciones: una que sea derivable otra que no lo sea. 97 Deterar los puntos en que la función f ( es derivable. 98 Qué es la regla de la cadena? Aplicando las fórmulas de derivación, obtener la derivada de las siguientes funciones: ( 9 0 ( ( ( ( ( ( ( ( d Obtener d de las siguientes funciones:
5 d 7 Obtener de la siguiente función: sen d Derivar las siguientes funciones implícitas aplicando el método epuesto corroborarlo con el método de derivadas parciales: Derivar las siguientes funciones epresadas de forma paramétrica: t t t t t tant t e ln t cos t Obtener la segunda derivada de las siguiente función epresada en forma paramétrica: t 7t t 9t Obtener la derivada de la función inversa de: 7 f ( + 8 f ( f ( f ( ( Derivar las siguientes funciones trigonométricas: 9sen 7 7 cot ( 8 sec cos ( tan ( 9 csc ( 7 7 cos 8 sen ( 7 9 csc8 0 sec ( 8 tan ( cos tan ( 9 sen cot csc ( 7 sec sen8 tan cos0 9 0 cos 0 cot tan sec sec0 sen
6 Derivar las siguientes funciones trigonométricas inversas. sen 7 cos 7 9 9csc 7 8 tan 0 70 cot 8 sec 7 9csc sec tan cos tan 0 7 sen 7 ( 8 7 ( 77 sen sen d 78 Será cierto que sen sen d Derivar las siguientes funciones logarítmicas: 79 si ( log 7 80 log ( 9 8 ( 7 8 log 8 ln ln 8 ln( 8 ln ( sen 87 ( ( 89 8 log (cos ln 8 88 log ln 90 ln Derivar las siguientes funciones eponenciales: sen 9 e log cos 9 e 8ln e 98 e 00 e 0 e 9 e 0 e 7 cos 9 sen e 0 Derivar las siguientes funciones: e 0 0 tan ln e 08 7 e 0 ( 7 + 7e ln 9 e 7 ln
7 7 0 ln 8 ln sen e e 0 e 0 7 8tan e 8 9 e Hallar la ecuación de la rectas tangente de la recta normal de las siguientes funciones en los puntos dados: 0 ( 8 P, f ( f ( + P (, f ( P (, P ( 0, 7 0 e Deterar el ángulo que forman los siguientes pares de curvas: f ( g ( f ( g ( 7 cm 8 Una bola de nieve se funde de modo que su área superficial disue a razón de, encontrar la razón a la cual disue el diámetro cuando éste mide 0 cm. 9 Se bombea agua a un pozo cilíndrico vertical de metros de radio a razón de 7. Hallar la variación de la altura del nivel del agua respecto al tiempo. 0 La altura de un triángulo crece cm cm su área, con qué razón cambia la base del triángulo cuando la altura es de 0 cm el área de 00 cm? Se descarga cemento de una tolva a razón de.8 de forma tal que se forma una pila cónica cuo diámetro en la base es siempre igual a la altura. Con qué rapidez aumenta la altura de la pila cuando ésta tiene. m metros de alto? km Dos automóviles empiezan a moverse de un mismo punto. Uno viaja hacia el sur a 0 hr otro hacia el oeste a m km 0. Con qué razón aumenta la distancia entre los automóviles dos horas hr más tarde? Obtener los puntos críticos, los máimos mínimos de las siguientes funciones. Además, deterar los intervalos en que es creciente, dónde es decreciente, identificar sus puntos de infleión epresar en dónde es cóncava en dónde convea. De acuerdo a lo anterior, trazar la gráfica correspondiente. f ( 9 + en el intervalo m 7
8 f ( + 8 en el intervalo 9 + ( f en el intervalo f ( + 8 en el intervalo.. 7 Obtener dos números cua suma sea 0 cuo producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máimo. 8 Hallar dos números positivos cuo producto sea su suma sea mínima. 9 Si se cuenta con 00 cm de cartón para hacer una caja de base cuadrada la parte superior abierta, encontrar el volumen máimo posible de la caja. 0 Se ha solicitado a un carpintero que construa una caja abierta con base cuadrada. Los lados de la caja costarán $.00 por metro cuadrado la base costará $.00 por metro cuadrado. Cuáles son las dimensiones de la caja de volumen máimo que puede construirse por $8.00? Deterar el punto de la recta más cercano al origen. 8
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