Matemticas V: Cálculo diferencial

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María Pilar Arroyo Carmona
hace 6 años
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1 Matemticas V: Cálculo diferencial Soluciones Tarea. Para las siguientes funciones f encuentra la función lineal que mejor las aproima en el punto dado. Recordemos que la mejor aproimación lineal a una función f en un punto 0 está dada por f() = sen(3), 0 = π. Comenzamos calculando la derivada de f: Luego l() = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ). f () = [sen(3)] = sen (3)[3] = cos(3)[3] = 3 cos(3). l() = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) ( = sen 3 π ) ( + 3 cos 3 π ) ( 0 ) = ( 0 ) =. f() = e, 0 =. f () = ep () [] = ep() [] = e. l() = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) = ep( ) + e ( ) = e + e ( ) f() = log(), 0 = 3. f () = [[log()] ] = ( ) [log()] [log()] = [log()] = [log()]. l() = f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) = log(3) ( 3) 3[log(3)]

2 5. Encuentra una aproimación lineal al valor dado mediante la mejor aproimación lineal y luego compárala con lo que obtienes en una calculadora. sen(). Utilizaremos la mejor aproimación lineal a la función sen() en 0 = π: l() = sen( 0 ) + sen ( 0 )( 0 ) = sen(π) + cos(π)( π) = 0 + ( )( π) = π. Por lo tanto la mejor aproimación lineal que hemos tomado es igual a l() = π.59. En comparación, la calculadora nos da sen() e 3. Utilizaremos la mejor aproimación lineal a la función e 3 en 0 = 0: l() = ep(3 0 ) + 3 ep(3 0 )( 0) = + 3( 0) = 3 +. Nuestra aproimación de e 3 es l() = 3 + =. En comparación, la calculadora nos da e 3 = cos( ). Utilizaremos la mejor aproimación lineal a la función cos() en 0 = π : l() = cos( π ) sen(π )( + π ) = 0 ()( + π ) = π. De esta forma obtenemos la aproimación l( ) = π log(). Usaremos la mejor aproimación lineal a la función log() en 0 =. l() = log() + log ()( ) = 0 + ( ) = La calculadora nos da cos( ) Obtenemos entonces la aproimación l() = =, mientras que la calculadora nos da log() como resultado. 6. Halle dos números de producto mínimo y diferencia 00. Sean, y dichos números. Podemos suponer que < y. Como su diferencia es igual a 00 y y > 0, obtenemos que y = 00, es decir, y = Luego su producto está dado por la función h() = (00 + ) = + 00, cuya derivada es igual a h () = + 00.

3 Se sigue inmediatamente que = 50 es el único punto en el que la derivada se anula. Por otra parte Análogamente h () = 50. h () = 50. Esto nos da otra forma (más larga) de justificar que = 50 es el único punto en el que la derivada de h se anula: h () = 0 h () 0 y h () 0 50 y 50 = 50. Hemos obtenido que h () 0 en el intervalo [ 50, ), con lo que h es creciente en dicho intervalo, y en particular h() h( 50) 50. () También hemos probado que h () 0 en el intervalo (, 50], lo cual implica que h es decreciente en tal intervalo, y en particular h() h( 50) 50. () De () y () concluímos que h( 50) h() para cualquier R, así que = 50, y = 50 son los números de diferencia 00 con el mínimo producto posible. 7. Halle dos números positivos de producto 00 y suma mínima. Si, y son dichos números, y = 00 = y = 00. Luego su suma está dada por la función f() = + y = Estamos buscando el valor mínimo de f para > 0, así que comenzaremos viendo si tiene un mínimo local. f () = ( + 00 ) = 00. Luego f () = 0 00 = = 00. Como nos buscamos > 0 concluímos que = 0. Por otra parte, observamos que, si 0 < < 0 entonces < 00 = < 00 = 00 < 0 = f () < 0. Por lo tanto f () 0 si 0 < 0, con lo que f es decreciente en (0, 0] y por consiguiente f() f(0) siempre que 0 < 0. Del mismo modo se prueba que f () 0 si 0, lo cual implica que f es creciente en el intervalo [0, ). Luego f(0) f() siempre que > 0. Con esto probamos que f(0) f() para cualquier > 0, con lo cual = 0 y y = 00 = 0 son tales que y = 00 y su suma + y = 0 es mínima. Aunque el enunciado no pide encontrar dicho producto, es trivial calcularlo: y = ( 50)(50) =

4 8. Halle un número positivo tal que la suma del número y su recíproco sea tan chica como sea posible. La solución de este problema es idéntica a la del ejercicio anterior. Dado un número positivo, la suma de dicho número con su recíproco está dada por la función f() = +. Derivando obtenemos que f () =, con lo que = es el único > 0 en el que la derivada de f es igual a cero. Al igual que antes, se observa que, para (0, ], tenemos f () 0, con lo que f() f(); mientras que para la derivada de f es mayor o igual a cero, así que f() f(). Con esto se prueba que = es tal que + es tan pequeña como es posible. 9. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 3, 000cm 3. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material usado. Sea la longitud de la base cuadrada en centímetros. Entonces el área de la base es igual. Si h es la altura de la caja (en centímetros), el volumen resulta ser igual a h centímetros cúbicos. De aquí deducimos que h = 3000 = h = Los lados de la caja son cuatro rectángulos idénticos de base y altura y, con lo que el área de cada lado es igual a h = 3000 = Luego, el área total de la caja se obtiene sumando las áreas de las cuatro caras rectangulares y el área de la base, lo cual se representa en la siguiente función: A() = = Buscamos pues un > 0 que minimice la función A. Comenzamos calculado la derivada de A: Luego f () = 0 si y sólo si A () = = = 8000 = 6000 = = 0. Por lo tanto f (0) = 0. Por otra parte tenemos que, para > 0 f () Por lo tanto f es decreciente en el intervalo (0, 0]. Como todas las implicaciones anteriores son un si y sólo si, concluímos que f () > 0 si > 0. Con esto obtenemos que f(0) f() para cualquier > 0. Por lo tanto las dimensiones de la caja que minimizan la cantidad de material utilizado son

5 0. Si se cuenta con 00cm de material para hacer una caja con base cuadrada y la parte superior abierta, encuentre el volumen máimo posible para la caja. Nuevamente tomamos como variable la longitud del lado de la base cuadrada en centímetros. Si h es la altura, la cantidad total de material se obtiene sumando el área de la base y las áreas de los cuatro lados rectangulares de la caja: + h. Suponiendo que se usa todo el material, entonces se tiene que 00 = + h, de donde despejamos h: 00 h = = 300. Luego, el volumen de la caja en función de la longitud del lado de su base está dado por ( 300 V () = ) = Buscamos pues > 0 que maimice el valor de V (). Calculamos ahora la derivada de V : con lo que V () = 300 3, Similarmente V () = 0. V () = 0. Por lo tanto = 0 es el único punto en el que la derivada de V se anula. Además obtenemos que V es creciente en el intervalo (0, 0] y es decreciente en el intervalo [0, ), lo cual nos permite concluir que V (0) V () para toda > 0. Puesto que V (0) = = concluimos que el volumen máimo posible para la caja es de 000cm 3. = = 000. Una lata cilíndrica sin tapa se hace para contener 000cm de líquido. Halle las dimensiones que minimizarán el costo del metal usado. Si la base de la lata es un círculo de rado r, y la lata tiene altura h, el volumen de la lata es igual a πr h = 000 = h = 000 πr. Luego, para fabricar la lata se necesitan un círculo de radio r y un rectángulo cuya base sea igual al perímetro del círculo y su altura es igual a h. Por lo tanto al área total del cilindro es igual a A(r) = πr + πrh = πr + πr 000 πr = πr r 5

6 Obtenemos ahora la derivada de A: con lo que A (r) = πr 000 r, A (r) 0 πr 000 r r π = 000 π 000 r π = π Invirtiendo las desigualdades en el razonamiento anterior, como se hizo en el ejercicio 0, obtenemos que A (r) 0 r 0 π. Por lo tanto concluímos que A es decreciente en el intervalo ( 0, 0 ] [ ) 0 y creciente en el intervalo,, con π π lo que A alcanza su mínimo global en = 0 π. Luego, las dimensiones que minimizan la cantidad de material utilizado en la fabricación de la lata son r = 0 y h = ( 000 ) π = π ( ) 00 = 000 = 0, es decir, la base debe 00 π π π tener un radio de aproimadamente 5.6cm y la altura de la lata es de 0cm. 6

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