Matemática I (BUC) - Cálculo I. Práctica 1: FUNCIONES

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1 Matemática I (BUC) - Cálculo I Práctica : FUNCIONES Matemática I (BUC) / Cálculo I - Funciones. Indique cuales de los siguientes dibujos podrían corresponder al gráfico de una función. Marque en el gráfico el dominio de la función, cuando sea posible. i- 0 ii- iii iv- v- vi vii viii- 0 i i- ii iii- iv- v Página de 7

2 . Para los gráficos de las funciones del Ej. marcar el conjunto imagen.. Para los gráficos de las funciones del Ej. marcar a- Conjunto de ceros b- Conjunto de positividad Conjunto de negatividad.. Para los gráficos de las funciones del Ej. marcar a- Intervalos donde la función es creciente. b- Intervalos donde la función es decreciente. Matemática I (BUC) / Cálculo I - Funciones. a- Para los gráficos de las funciones del Ej. indicar cuales de las funciones son: i- inyectivas ii- sobreyectivas iii- biyectivas b- Para las funciones del Ej. redefinir, cuando sea posible, los conjuntos de dominio y/o codominio, de modo tal que las funciones resulten biyectivas.. a- Para las funciones del Ej. indicar, cuando es posible, dominio y codominio de la función inversa. b- Para las funciones del Ej. haga un gráfico aproimado de la función inversa, cuando sea posible. 7. Indicar el dominio natural de las siguientes funciones: a- f ( ) = b- f ( ) = f ( ) = d- f ( ) = ln( ) e- f ( ) f- f ( ) = a (a>0) m- f ( ) = log ( ) n- f ( ) = o- f ( ) = a g- f ( ) = sen( ) h- f ( ) = cos( ) i- f ( ) = tan( ) j- f ( ) = cosec( ) k- f ( ) = sec( ) l- f ( ) = cot( ). Dadas las siguientes funciones: f ( ) =, g( ) =, h ( ) a- Indicar su dominio. b- Escribir las siguientes funciones e indicar su dominio: i- fog ii- gof iii- foh iv- hof v- goh vi- hog Calcular i- ( f og )() ii- ( gof )( ) iii- ( hof ) () iv- ( h og)( e) 9. Para las siguientes funciones a- Definir dominio y codominio de modo tal que resulten biyectivas b- Calcular la función inversa, indicando su dominio y codominio. i- f ( ) = ii- f ( ) = ( ) + iii- f ( ) = iv- f ( ) = v- f ( ) = vi- f ( ) = + + vii- f ( ) viii- f ( ) = ln( + ) i- f ( ) = + n Página de 7

3 Matemática I (BUC) / Cálculo I - Funciones 0. A continuación se muestran los gráficos de las siguientes funciones (aunque no en este orden): sen( ), cos( ),,, ln( ), -, e,,,. a- Identifique que gráfico corresponde a cual función b- Escriba su dominio e imagen. Indique los ceros, conjuntos de positividad y negatividad. d- Indique intervalos de crecimiento y decrecimiento e- Determine si puede definirse una función inversa. De ser posible, hágalo e intente graficarla Página de 7

4 Matemática I (BUC) / Cálculo I - Funciones Determinar cuales de las siguientes funciones son pares, impares o no tiene paridad definida: a- f ( ) = e- f ( ) = sen( ) b- f ( ) = f- f ( ) = + f ( ) = + g- f ( ) = cos( ) d- f ( ) = h- f ( ) = sen( + π ) Funciones lineales. Encontrar, en cada caso, una función lineal que cumpla las condiciones pedidas. Indicar si dicha función es única. Graficar. a- Tiene pendiente - y ordenada al origen. b- Pasa por el punto (; ) y tiene pendiente. Tiene ordenada al origen - y pasa por el punto (;7). d- Pasa por los puntos (;) y (-; ). e- Pasa por el punto (;). f- Pasa por los puntos (-;), (0;) y (;0). g- Pasa por los puntos (-;0), (0;) y (;7). h- Pasa por los puntos (-;) y (;). i- Pasa por los puntos (-;) y (-;). j- Pasa por los puntos (;) y (-;).. Encuentre los puntos de intersección entre las funciones a- f ( ) = + y g( ) = Página de 7

5 Cálculo I - Funciones b- f ( ) = ( ) y g( ) = + f ( ) = y g( ) = + d- f ( ) = y g( ) = e- f ( ) = ( + 9) y g( ) =. La relación entre la temperatura medida en grados Celsius ( C) y grados Kelvin (K) es lineal. Sabiendo que el agua se evapora a 7 K y se congela a 7 K: a- Escriba la función que, dada una temperatura en grados Celsius permite calcularla en grados Kelvin. b- Escriba la función que, dada una temperatura en grados Kelvin permite calcularla en grados Celsius.. La relación entre la temperatura medida en grados Celsius ( C) y grados Fahrenheit ( F) es lineal. Sabiendo que el agua se evapora a F y se congela a F: a- Escriba la función que, dada una temperatura en grados Celsius permite calcularla en grados Fahrenheit. b- Escriba la función que, dada una temperatura en grados Fahrenheit permite calcularla en grados Celsius.. Componiendo convenientemente las funciones que correspondan (de las calculadas anteriormente) encuentre la función que, dada una temperatura en grados Fahrenheit permite calcularla en grados Kelvin. Justifique. Funciones cuadráticas 7. Grafique las siguientes funciones a- f ( ) =, junto con ella grafique f ( + ) y f ( ) b- d- e- f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) =, junto con ella grafique ( ) f + y f ( ) =, junto con ella grafique f ( ) y f ( ) =, junto con ella grafique f ( ) y f ( ) =, junto con ella grafique ( ) f, f ( ) y - f ( ) +. Encontrar, en cada caso, una función cuadrática que cumpla las condiciones pedidas. Indicar si dicha función es única. Graficar. a- Pasa por el punto (0;-). b- Pasa por (-;0) y (0;) El conjunto de positividad es (-,) y pasa por el punto (-; ). d- Pasa por los puntos (-; 7), (;) y (;). 9. Encuentre los puntos de intersección entre las funciones a- f ( ) = + 0 y g( ) = b- f ( ) = + + y g f ( ) = + y ( ) = + g ( ) = La altura de una pelota en función del tiempo se describe mediante la ecuación y se mide en metros y t se mide en segundos. Determine: y( t) 0 0t t = +, donde Página de 7

6 a- Cual es la altura de la pelota en t = 0 y cuando la pelota llega a altura cero. b- Cuando se encuentra la pelota a metros de altura. Cálculo I - Funciones Una segunda pelota es arrojada y la función que describe la altura en función del tiempo es h( t) = t + 0t. Decida si ambas se encuentran en algún momento. d- Grafique ambas funciones y marque todas las soluciones halladas en los puntos anteriores.. La trayectoria de un proyectil se describe mediante la función y( ) = + donde y mide la altura y la posición horizontal, ambas en metros. Determine: a- Para que valor (o valores) de la altura era cero. b- Cual es la máima altura que puede alcanzar el proyectil y en que posición horizontal se encuentra. Funciones trigonométricas. Grafique las siguientes funciones a- π π f ( ) = sen( ), junto con ella grafique f ( + ) y f ( ) b- f ( ) = sen( ), junto con ella grafique f ( ) + y f ( ) f ( ) = sen( ), junto con ella grafique f ( ) y f ( ) d- f ( ) = sen( ), junto con ella grafique f ( ) y f ( ) e- f ( ) = sen( ), junto con ella grafique f ( ) y f ( ) f- π g( ) = cos( ), junto con ella grafique g( + ) y f ( ) = sen( ) g- g( ) = cos( ), junto con ella grafique g( ) y g( ). Encontrar, en cada caso, una función seno o coseno que cumpla las condiciones pedidas. Indicar si dicha función es única. a- Tiene amplitud y frecuencia. b- El período es π, la imagen es [,] y pasa por 0;. Encuentre todos los puntos donde: a- f ( ) = 0 con f ( ) = sen( ) f- g( ) = con g( ) = cos( ) b- f ( ) = con f ( ) = sen( ) g- f ( ) = con f ( ) = sen( ) + f ( ) = con f ( ) = sen( ) π d- g( ) = 0 con g( ) = cos( ) h- g( ) = con g( ) = cos( + ) e- g( ) = con g( ) = cos( ). Un corcho flota en el mar. Su movimiento es solamente vertical (sube y baja) y la función que lo describe t es y( t ) = sen( ), donde las unidades son tales que y se mide en metros y t se mide en segundos. Determine cual es la altura máima a la que llega el corcho y cual es la mínima. Indique cuanto tiempo tarda en regresar a la altura máima. Funciones varias Página de 7

7 . Indicar el dominio natural de las siguientes funciones: b- f ( ) = b- f ( ) = f ( ) = e- f ( ) - f ( ) = + f- f ( ) = + h- f ( ) = h- f ( ) = i- f ( ) = ln( + ) k- ( ) = ln( f ) k- f ( ) = ln( ) l- f ( ) = ln( ) n- + f ( ) n- + 7 ( ) 7. Representar gráficamente las siguientes funciones: a- f ( ) = + b- f ( ) = ( + ) + f ( ) = e + d- f ( ) = sen( + π ) e- f ( ) = f- g- f ( ) + si < 0 f ( ) = + si > 0 f o-. Un globo esférico se llena con gas a una velocidad de 70 cm /min: a- Escriba V(t): el volumen del globo como función del tiempo. b- Escriba R(t): el radio del globo como función del tiempo. Escriba S(t): la superficie del globo como función del tiempo. h- f ( ) = + f ( ) = ln( + ) i- + f ( ) = j- f ( ) = k- f ( ) = ln( ) + l- f ( ) = + si < m- f ( ) = ( + ) + si Cálculo I - Funciones 9. Una pileta de m de largo,,7 m de ancho y m de profundidad es llenada a velocidad constante. El nivel del agua aumenta cm en una hora. a- Cuánto tiempo tardará la pileta en llenarse? b- Cuál es la velocidad del flujo de agua entrante? Página 7 de 7