ANÁLISIS MATEMÁTICO I

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1 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] ANÁLISIS MATEMÁTICO I Trabajo Práctico Nº : Funciones Equipo Docente: Ma. Laura Halladjian P. Mariano Nowakoski Gabriela L. Paladino Año: 0 º Cuatrimestre. Dos ciclistas A y B recorren un camino de 000 metros en 5 minutos. Los siguientes gráficas describen el espacio recorrido por cada uno de ellos: Observando el gráfico, responder: a) Se detuvo alguno de los dos ciclistas? Cuál de ellos? Dónde? Cuánto tiempo? b) Cuántos metros había recorrido A, a los dos minutos de partir? c) Cuánto tardó B en llegar a la mitad del camino? d) Cuántos metros recorrió cada uno de los ciclistas en los últimos minutos?. Los siguientes son los gráficos de las funciones f y g. Indicar para cada una de ellas: dominio, imagen, ceros, conjunto de positividad, conjunto de negatividad, intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento y máimos y mínimos locales:. Graficar las siguientes funciones determinando el valor de la pendiente, ordenada al origen y raíz de la función. a) y = b) y = 9 Página de 8

2 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] c) y = 4 d) y = - 8 e) y = 5 f) y = 0 4. Indicar si los siguientes puntos pertenecen a la recta y = (0;0) (;0) (-/; /6) (/; ) 5. Dado el siguiente gráfico: a) Cuánto vale la función cuando = 0? b) Para qué valor de la función vale 0? c) Determinar la ecuación de la recta graficada. 6. Para cada una de las siguientes rectas, determinar el valor de la pendiente y el de la ordenada al origen: 7. Si una recta pasa por los puntos (0;) y (; 6), cuánto vale su ordenada al origen? Cuál es el valor de la pendiente? Determinar la ecuación de la recta. 8. Graficar la recta cuya pendiente vale 5 y cuya raíz vale. Encontrar su ecuación. 9. Encontrar la ecuación de una recta sabiendo que su pendiente vale 4 y pasa por el punto (; -5). 0. Encontrar la ecuación de una recta sabiendo que pasa por el punto (-; 6) y su ordenada al origen vale. Página de 8

3 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0]. Los siguientes gráficos representan el espacio recorrido por móviles que se desplazan con movimiento rectilíneo uniforme en función del tiempo: a) Cuáles de ellos tienen velocidad positiva y cuáles velocidad negativa? b) Cuál es el más veloz de los que avanzan y cuál es el más veloz de los que retroceden? c) Qué le sucede al móvil 4?. Si r ( t) t = + describe, en función del tiempo, el espacio recorrido por un móvil que se desplaza con movimientos rectilíneo uniforme, epresar y representar en un sistema de coordenadas a) El espacio recorrido por otro móvil que se desplaza a igual velocidad y que está tres unidades de distancia adelantado. b) El espacio recorrido por oto móvil que se desplaza al doble de velocidad y en el instante t = 0 se encuentra en el mismo punto que el primero. c) El espacio recorrido por otro móvil que se desplaza con la misma velocidad pero en sentido contrario y parte en t = 0 del mismo punto que el primero.. Trazar el gráfico de las siguientes funciones cuadráticas a partir de f ( ) = indicando cómo se modificó la curva original: f a) f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = d) f ( ) = e) f ( ) = ( ) g) f ( ) = h) ( ) = + i) f ( ) = ( + ) Determinar en cada caso el conjunto imagen, las raíces, los intervalos de crecimiento y decrecimiento. 4. Graficar las siguientes funciones indicando en cada caso intervalos de crecimiento, de decrecimiento, conjuntos de ceros, positividad y negatividad. a) f ( ) = ( ) b) f ( ) = ( + ) c) f ( ) = ( + )( ) d) ( ) f = e) ( ) f = + + Página de 8

4 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] 5.- Una función cuadrática tiene una epresión de la forma y = ² + a + a y pasa por el punto (, 9). Calcular el valor de a. 6. Se sabe que la función cuadrática de ecuación y = a² + b + c pasa por los puntos (,), (0, 0) y (-,). Calcular a, b y c. 7. Una parábola tiene su vértice en el punto V(, ) y pasa por el punto (0, ). Halla su ecuación. 8. El conjunto de ceros de la función f es { ;4} y el conjunto imagen es Im [ ; ) Hallar la fórmula de f. 9. Indicar cuál de las funciones siguientes corresponde a cada uno de los gráficos: a) f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = + d) ( ) f4 = + f = +. Página 4 de 8

5 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] 0. Hallar, analítica y gráficamente los puntos de intersección de las siguientes funciones: f = 7 5 ; g = + a) ( ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( ) ( ) f = ; g = f = ; g = + 9. A continuación se indica cuántas unidades y en qué dirección debe trasladarse la siguiente gráfica: i) dos hacia arriba, a la izquierda. ii) hacia abajo a) Dar la ecuación para la gráfica trasladada y graficar la misma en el gráfico de referencia. b) Indicar si la función de referencia y la trasladada es par, impar o ninguna de las dos.. Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba. Su altura (en metros) sobre el suelo está dada por h( t) = 5t + 0t. a) Para qué valores de t el proyectil asciende? Para cuáles desciende? b) Hallar el instante en que el proyectil alcanza la altura máima y calcularla. c) Hallar el tiempo que demora el proyectil en llegar al suelo. d) Si otro proyectil es disparado en iguales condiciones, pero a 50 metros del suelo, hallar su altura sobre el suelo t segundos después del disparo. Resolver a), b) y c) para este caso.. Encontrar el punto perteneciente a la recta de ecuación y = más cercano al punto P = ( 4;). 4. Dos fabricantes de cierto artículo con una producción (en miles de unidades) obtienen respectivamente una ganancia (en miles de pesos) de: p ( ) 4 = + y ( ) p =. Página 5 de 8

6 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] a) Graficar ambas funciones de ganancia. b) Cuántas unidades deben producir ambos fabricantes para obtener la misma ganancia? c) Para qué producción las ganancias obtenidas por el primer fabricante cuadruplican las del segundo? 5. Un constructor debe hacer una ventana rectangular. Para el marco dispone de 6,40 metros de varilla metálica. Hallar las dimensiones de modo que el área de abertura sea máima. 6. Representar gráficamente las siguientes funciones a partir de la función f ( ) = analizando el crecimiento en cada caso: a) f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = + d) ( ) ( ) f =. 7. A continuación se indica cuántas unidades y en qué dirección debe trasladarse la siguiente gráfica: i) 4 hacia arriba, 4 a la izquierda. ii) 4 hacia abajo, a la derecha. a) Dar la ecuación para la gráfica trasladada y graficar la misma en el gráfico de referencia. b) Indicar si la función de referencia y la trasladada es par, impar o ninguna de las dos. g = , encontrar todos los puntos donde g corta al 8. Dada la función ( ) 4 eje sabiendo que = es una raíz de g. 9. Indicar la función que corresponde a cada gráfica: a) y = ln ( ) + b) y = - c) y = ( ) + d) y = ( ) + + e) y = + cos f) y = sen g) y = ( + ) h) y = ln ( + ) i) y = + Página 6 de 8

7 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] j) y = ( ) k) + + l) + Página 7 de 8

8 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] 0. Hallar una función polinómica h de grado cuyas raíces sean =, =- y =.. Graficar las siguientes funciones. Indicar dominio, imagen, intervalos de crecimiento, paridad e imparidad: a) f () = b) f () = 6 c) f () = d) f () = ( + ) + e) f () = - f) f () = g) f 8) = h) f () = i) f () = j) f () = -( ) + k) f () = + l) f () = m) n) Página 8 de 8

9 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0]. Sea f una función polinómica tal que sus únicas raíces son -, = y =4. Además se f 0 =, f =, f = 0,5, f 5 =. Hallar los intervalos de positividad y sabe que ( ) ( ) ( ) ( ) negatividad de f.. Un meteorólogo halló que la temperatura (en ºC) durante cierto día estaba dada por C ( t) = ( t )( t 4) t donde t es el tiempo medido en horas, a partir de las 6 de la 00 mañana: a) Cuándo se registraron temperaturas por encima de de 0º C? b) Cuándo se registraron temperaturas por debajo de de 0º C? c) En algún momento del día se registro una temperatura de º C? Cuándo? 4. Graficar las siguientes funciones indicando previamente el dominio de cada una de ellas. En cada caso indicar ecuaciones de las asíntotas, ceros, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y conjunto imagen: a) f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = d) f ( ) = + e) f ( ) = + f) f ( ) = + 4 = + +, calcular f o g, go f, f o h, ho f, go g, go h. y el dominio de cada una de las composiciones. 5. Dadas las funciones f ( ) =, g ( ) = y h( ) 6. Sean f ( ) = y g ( ) = + hallar las funciones f o g, go f, el dominio de ambas composiciones y en caso de eistir, las ecuaciones de las asíntotas de cada composición. 7. Dadas las funciones f ( ) = a y g ( ) go f ( ) = 0 = hallar el valor de a para que 8. Dada la función f, calcular su dominio, calcular f o f = f o f =. a) f ( ) = b) f ( ) c) f ( ) = = 4 f y su dominio y verificar que Página 9 de 8

10 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] 9. La relación funcional entre grados Celsius y grados Kelvin es lineal. Sabiendo que o o o o 0 C = 7 K y que 7 C = 00 K, encontrar la función f que da la temperatura en grados Celsius conocida la misma en grados Kelvin. 40. La función g ( ),8 = + epresa la temperatura en grados Fahrenheit, conocida la misma en grados Celsius; encontrar la epresión de la temperatura en grados Fahrenheit en función de la temperatura en grados Kelvin. Es lineal? 4. La función g ( ),8 = + epresa la temperatura en grados Fahrenheit, conocida la misma en grados Celsius. Encontrar la función que permite, dada una temperatura en grados Fahrenheit, obtener la misma en grados Celsius. 4. Determinen si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Justificar las respuestas. En todos los casos, a es un número real positivo. a) a a a = a n ) n b) a a = a c) a q ( a ) p n n+ n n q p n n = n g) a = n a a 4. Completar la siguiente tabla: = d) a : a = a e) a = f a X y = a) Graficar b) Indicar el dominio, la imagen y la asíntota. Decir si la función es creciente o decreciente. Justificar. 44. Completar la siguiente tabla: X y = a) Graficar la función en el mismo sistema de coordenadas que la función del ejercicio anterior. Cómo resultan sus gráficas? b) Indicar el dominio, la imagen y la asíntota. Decir si la función es creciente o decreciente. Justificar. 45. Construir la tabla de valores y graficar: i) y = 5 ii) y = 4 a) Indicar la ecuación de la función simétrica respecto al eje y. b) Indicar la imagen y la asíntota de cada una. Decir si las funciones son crecientes o decrecientes. Justificar. Página 0 de 8

11 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] 46. Completar la siguiente tabla y graficar: y = y = a) Indicar la imagen y la asíntota. Decir si la función es creciente o decreciente. Justificar. b) Construir la tabla de valores para cada una de las siguientes funciones y graficarlas en el mismo sistema de coordenadas. i) y = ii)y = - iii) y = iv) y = c) Indicar la imagen y la asíntota de cada función. Decir si las funciones son crecientes o decrecientes. Justificar. 47. Completar la siguiente tabla y graficar: X y = y = + a) Indicar la imagen y la asíntota. Decir si la función es creciente o decreciente. Justificar. b) Construir la tabla de valores y graficar en los mismos ejes: i) y = + ii) y = + iii) y = + d) Indicar la imagen y la asíntota de cada una. Decir si las funciones son crecientes o decrecientes. Justificar. 48. Graficar las siguientes funciones: i) y = + ii) y = 4 + iii) y = 0 a) Indicar la imagen y la asíntota de cada función. Decir si las funciones son crecientes o decrecientes. Justificar. 49. Para cada una de las siguientes funciones: i) f () =. 5 ii) f () = 4.4 iii) f () = + determinar: a) La asíntota. b) El dominio. c) El crecimiento o decrecimiento. d) El punto donde corta al eje de las y. Página de 8

12 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] 50. Hallar la fórmula de la función eponencial del tipo f () = k.a, que verifique las condiciones pedidas en cada caso: a) Su base es / y su coeficiente es 40. b) Pasa por el punto (; 64/5) y corta al eje de las y en 5. c) Pasa por el punto (-; /) y k =. d) a = 0,5 y corta al eje de las y en Considerar las funciones f () = 0.(/) y g () = 0,.4. a) Hallar f (-) y g (/). b) Indicar, si es posible, para que valores de se cumple que: i) f () = 0 ii) f () = -0 iii) g () = 0 iv) g () = 6/5 5. El aire de una fábrica es filtrado de tal modo que la cantidad de contaminantes decrece de acuerdo a P = P 0 e -kt donde t representa el tiempo en horas. Si el 0% de los contaminantes es removido en las primeras 5 horas: a) Qué porcentaje de contaminantes hay después de 0 horas? b) En qué tiempo los contaminantes se reducirán 50%? 5. Hallar una fórmula que describa el crecimiento eponencial de una población que aumenta el % cada 5 años, considerando una cantidad inicial de 55 millones de habitantes. 54. Un procedimiento para averiguar la edad de un fósil consiste en analizar la proporción que este posee de carbono- y carbono-4. Cuando un organismo muere, el carbono- perdura casi inalterable, mientras que el carbono-4 se desintegra con el paso del tiempo por ser radiactivo. La variación de la masa de cierta cantidad de carbono-4 a través del tiempo puede calcularse, aproimadamente, a través de la fórmula: M = M 0.0,886 t Donde M 0 es la masa inicial (en gramos), t es el tiempo en miles de años y M es la masa de carbono que queda (en gramos). a) Calcular el porcentaje aproimado de la masa de carbono-4 que se conserva al cabo de 460 años en un fragmento de un fósil de un organismo que, en vida, contenía 50g. b) Repetir el cálculo para una masa inicial de 80g. c) Suponiendo que la variación de la masa de una sustancia radiactiva se produce según la función: M = M 0.0,5 t Indicar si su desintegración es más rápida o más lenta que la del carbono-4. Página de 8

13 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] 55. Dada la función y = log a) Completar la siguiente tabla de valores: 7 9 / /9 /7 y = log b) Graficar. c) Determinar el dominio de la función. d) Determinar la asíntota de la función. e) Determinar si la función es creciente o decreciente. f) En qué punto la curva corta al eje? 56. Dada y = log / a) Construir una tabla de valores conveniente. b) Graficar la función. c) Determinar su crecimiento o decrecimiento. d) En qué punto la curva corta al eje? 57. Dada y = log 4 a) Construir una tabla de valores conveniente. b) Graficar la función. c) Determinar su crecimiento o decrecimiento. d) En qué punto la curva corta al eje? 58. Dadas las funciones: i) y =. log ii) y = -. log iii) y =. log iv) y = - log a) Graficarlas b) Determinar el crecimiento o decrecimiento de cada una. Etraer conclusiones. c) Determinar la asíntota de cada función. 59. Dadas las funciones: i) y = log ( ) ii) y = log ( + ) iii) y = log ( ) iv) y = log ( + 4) a) Construir una tabla de valores conveniente para cada función. b) Graficarlas. c) Determinar el dominio de cada una. d) Determinar la asíntota de cada una. e) En qué punto cada curva corta al eje? 60. Teniendo la función y = log ( + 6), determinar sin graficar: a) Su asíntota. b) Su dominio. c) El crecimiento o decrecimiento de la función. d) El punto donde la curva va a cortar al eje. Página de 8

14 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] 6. Teniendo la función y = log 4 ( 7), determinar sin graficar: a) Su asíntota. b) Su dominio. c) El crecimiento o decrecimiento de la función. d) El punto donde la curva va a cortar al eje. 6- La escala de Richter, utilizada para medir la intensidad de los terremotos, es una escala logarítmica de base 0. La magnitud de un terremoto en esa escala está dada por la fórmula: M = log p Donde M es el grado en la escala de Richter y p es la potencia que indica cuántas veces mayor fue la onda sísmica del terremoto en comparación con una onda de referencia correspondiente a la situación normal. En 906, un terremoto en la ciudad de San Francisco tuvo una magnitud de 8, en la escala de Richter. En 989 hubo otro, que fue 9,95 veces más potente que el de 906. a) Hallar el grado en la escala de Richter del terremoto de Utilizando la circunferencia trigonométrica, completar la siguiente tabla: X 0 π/6 π/4 π/ π/ π 5 - π 6 5 π π 5 π 4 7 π 7 π π 6 6 Sen Cos 64. Para cada una de las siguientes funciones en el intervalo indicado, hallar todos los ceros y los conjuntos de positividad y negatividad: a) f () = + sen en [0;π] b) f () = 4cos en [π; π] c) f () = cos ( π/4) en [0; 5π] d) f () = sen ( π/4) en [0; π] e) f () = cos(4 π) en [-π; π] f) f () = sen(/4 + π) - en [0; 5π] 65. Sea g () = - sen(). Hallar { [0; π] / g () = } 66. Indicar cuál de las siguientes funciones pertenece a cada gráfica de la figura: y = cos(t π/) y = cos(t) y = cos(t + π/) Página 4 de 8

15 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] 67. Sea f () = -cos ( π) + b. Determinar el valor de b para que Im (f) = [; 5]. Con el valor de b hallado, encontrar un 0 tal que f ( 0 ) = y un tal que f ( ) = Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas: a) sen ( ) sen( ).sec( ) = + en [0; π] cot g( ) b) cos.cos + cos( ). tg( ) = sen( ) en [-π; π] c) sen ( 4(cos() + sen = ( )) en [π; π] π π d) + cos + = sen + en [0;π] 69. El péndulo de un reloj se mueve periódicamente, separándose s cm de la vertical. La ecuación que describe el movimiento es s (t) = 5sen(4πt). Donde: s (t) representa la distancia de la pesa a la vertical. a) Representar s (t). b) Decidir a qué distancia de la vertical, y de qué lado de la misma, estará la pesa: i) a los 4/ seg. ii) a los seg. iii) a los 7/8 seg. c) Qué distancia máima alcanza? d) En qué instante alcanza la distancia máima? e) Indicar el período. 70. El proceso rítmico de la respiración consiste de períodos alternados de inhalación y ehalación. Cada 4 seg se lleva a cabo un ciclo completo. Si F representa el flujo de aire en el tiempo t (en /seg), y la máima intensidad de flujo es 0,6 Página 5 de 8

16 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] /seg, obtener una fórmula para F: F (t) = a.sen(bt) 7. La tensión V de un toma corrientes en una casa está dada, como función del tiempo t (en segundos), por V (t) = V 0 cos(0πt). a) Cuál es el período de la oscilación? b) Qué representa Vv? 7. Las funciones trigonométricas de la forma y = a + b sen ω(t t 0 ) en donde a, b, ω y t 0 son constantes reales, se usan con frecuencia para simular la variación en la temperatura. Suponer que F (t) = sen π/(t 8), con 0 t 4, da la temperatura Fahrenheit F a las t horas después de la medianoche de cierto día. a) Cuál es la temperatura de las 8:00 am? Y a las :00 del medio día? b) En qué momento F (t) = 60? c) Encontrar las temperaturas máimas y mínimas y los tiempos en que se dan. 7. Si el voltaje dado por V = V 0 sen (ωt + α) se imprime en un circuito en serie, se produce una corriente alterna. Si V = 0 voltios, ω = 0π radianes por segundo, y α = -π/6, cuándo será el voltaje igual a cero? 74.La atenuación de un haz de fotones al atravesar un medio sigue una ley eponencial de la µ forma N = N o ep ρ t donde N o es el número inicial de fotones; µ/ρ es el coeficiente de ρ atenuación epresado en [cm /g]; ρ es la densidad del medio atravesado en [g/cm ] y t [cm], el espesor de material requerido para disminuir el número de fotones incidentes al valor deseado. a) Determine el espesor t [mm] de plomo y de concreto necesario para reducir el número de fotones incidentes a la cuarta parte de su valor original. b) Realice una gráfica de N (número de fotones) en función del espesor de material t. Datos: -Densidad del hormigón:, g/cm. -Coeficiente de atenuación del hormigón (E = 0,5 MeV): 8,950 - m /kg. -Densidad del plomo: 50 kg/m. -Coeficiente de atenuación del plomo (E = 0,5 MeV):, Los constructores del oleoducto Trans-Alaska usaron forro aislante para evitar que el calor del petróleo caliente del ducto derritiera el suelo permanentemente congelado debajo de él. Para diseñar los forros fue necesario considerar la variación en la temperatura del aire a lo largo del año. La siguiente figura muestra cómo se puede usar una función seno para representar los datos de temperatura. Los puntos de la gráfica representan la temperatura media del aire en Fairbanks, Alaska, con base en los registros del Servicio Nacional del Clima, de 94 a 970. La función seno usada para ajustar los datos es: π f ( ) = 7 sin ( 0) Página 6 de 8

17 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] donde f es la temperatura en grados Fahrenheit y es el número del día contado desde el inicio del año. Encuentrar: i. la amplitud; ii. el período, iii. el desplazamiento horizontal, iv. el desplazamiento vertical. 76. Aplicando las leyes de Kirchhoff se pueden determinar las corrientes I, I e I de un circuito como el de la figura. Luego de usar la primera y segunda regla de Kirchhoff las relaciones establecidas son las siguientes: I + I = I 0V (6Ω) I ( Ω) I = 0 0 = (8 Ω ) I + ( Ω) I Encuentre los valores de I, I e I por el método de sustitución o de igualación. 77.a- Para determinar la carga de un capacitor que se está cargando como función del tiempo, se puede usar la siguiente epresión: q(t) = Q[ ep(-t/rc)] Determine la carga para t = 0, t. Cuánto tiempo tarda el capacitor en llegar al 6% de la carga máima? Suponga Q = 60 µc, R = 800 kω, C = 5 µf. Grafique. 78.b- Para determinar la carga de un capacitor que se está descargando en función del tiempo, Página 7 de 8

18 [UNRN Sede Andina Análisis Matemático I] [0] se puede usar la siguiente epresión: q(t) = Q ep(-t/rc) Determine la carga para t = 0, t. Cuánto tiempo tarda el capacitor en llegar al 50% de su carga máima? Suponga Q = 60 µc, R = 800 kω, C = 5 µf. Grafique. 79. Si suponemos una eficiencia de colección de fotoelectrones casi total, la ganancia de un tubo fotomultiplicador se puede obtener aplicando la siguiente relación: G = αδ N donde: G = ganancia del tubo fotomultiplicador. α = δ = factor de multiplicación N = número de etapas. a) Cuántas etapas se necesitan para obtener una ganancia de 0 0? b) Qué ganancia se obtendría con 5 etapas? Realice un gráfico semilogarítmico para representar la ganancia G en función del número N de etapas. 80. La figura muestra un circuito que consta de un resistor, un inductor y un capacitor conectados en serie a través de una fuente AC de voltaje. Se supone que el voltaje varía senoidalmente con el tiempo, es decir, v = V m sin(ωt). Analizando el circuito, se establece que la caída instantánea de voltaje de los tres elementos puede epresarse como: v R (t) = V R sin(ωt) v L (t) = V L cos(ωt) v C (t) = -V C cos(ωt) a) Grafique las funciones trigonométricas anteriores y analice qué ocurre con el desplazamiento horizontal o desfasaje entre ellas. Página 8 de 8