FUNCIONES. Anexo. halla, de ser posible: a) El dominio de h b) los ceros c) los polos d) intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

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1 FUNCIONES Anexo ) Se quiere alquilar un automóvil y para eso se visitan dos empresas. En una de ellas el costo es de $65 por día. La otra en cambio no cobra por día, sino $3,5 por kilómetro recorrido. En ambos casos el combustible corre por cuenta del cliente. a) De qué variable es función el costo en cada caso? b) Realiza un gráfico para cada situación. c) Si necesitamos un auto por 3 días para recorrer 0 km por día qué empresa nos conviene más? d) Cuál será la empresa que nos conviene para recorrer 60 km en un solo día? e) Cuándo conviene si alquilamos el automóvil por días para recorrer 3 km por día? f) Cuándo es indiferente contratar a cualquiera de las empresas? ) Toma una cuerda de 50 cm, une sus extremos con cinta adhesiva y forma un triángulo isósceles. a) Construye una tabla de valores en la que la variable independiente x sea la longitud del lado desigual (base) y la variable dependiente y, la longitud de cada uno de los lados congruentes. b) Indica el dominio de la función y el conjunto de llegada. c) Grafica en un sistema de ejes cartesianos. 3) Dada la función h : Dh IR / y 4x 3x a) El dominio de h b) los ceros c) los polos d) intervalos de crecimiento y de decrecimiento. halla, de ser posible: 4) Dada la gráfica de una función f, cuyo Dominio es el conjunto de números reales, responde: Figura 5,5 y 0,5 0 x -,5 - -,5 - -0,5 0 0,5,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5-0,5 a) Es acotada? Indica por qué. b) Es periódica? Determina el período. c) Es par o impar? d) Presenta intervalos de positividad o de negatividad? Escríbelos. - -,5 5) Dadas las siguientes expresiones definidas de A en B. Define dominio y conjunto de llegada para que sean funciones y luego halla los ceros: c) a) f ( x) x 7 f ( x) 6 x 5 f ( x) x b) d) f ( x) ( x ) 5

2 e) ( x 3)( x ) ( x) x f f) x f ( x) x 9 6) Cuándo las funciones reales del tipo f(x) = x n + a con n N, a IR y a 0 son pares? 7) Las funciones reales del tipo f(x) = a.g(x) con g par y a IR y a 0 son pares?. Justifica tu respuesta 8) Si para el ejercicio anterior, g es impar, cómo es f? Justifica tu respuesta. 9) La suma de dos funciones reales pares, es una función par? y si fueran impares? y si fuera una impar y otra par? Justifica. 0) Suponga que f es una función real par y g es una función real impar. a) Cuáles de las siguientes funciones son pares? b) Cuáles de las siguientes funciones son impares? a) (f. g) b) (f. f) c) (f /g) d) (g. g) ) Para qué valores del dominio las siguientes funciones reales toman valores positivos? a) f(x) = 3x + b) f(x) = (x-)(x+) ) Halla, si existen, los ceros de las siguientes funciones reales cuadráticas: a) f 3 (x) = - x 4 b) f 4 (x) = x + 3x + 3) Halla los números enteros que verifiquen la condición pedida en cada uno de los siguientes casos. a) el triple del cuadrado de su consecutivo es 47 b) el producto de dos números impares consecutivos es 43. 4) Calcula el perímetro de un rectángulo cuya área es 68, sabiendo que la diferencia entre la base y la altura es. 5) Calcula la altura de un triángulo de 70,75 de área, sabiendo que la medida de su altura es igual a las dos terceras partes de la medida de la base. 6) Un proyectil, luego de ser disparado, recorre una trayectoria en forma de parábola. Los ingenieros han armado una función que permite calcular la altura h (en metros) alcanzada por el proyectil en función del tiempo t (en segundos): h(t)= -,t +t. Grafica la función encontrada y responde: a) La trayectoria del proyectil coincide con la gráfica de la función? b) Cuál es la máxima altura alcanzada y en qué momento ocurre? c) Cuánto tarda en llegar al suelo?

3 7) En aquellos casos en que la función real cuadrática no esté factorizada, exprésela en forma factorizada. a) f 3 (x) = 4x b) f 6 (x) = x +x 8) Una empresa de viajes está planificando su oferta para los viajes de egresados. Uno de los coordinadores (ya egresado), recuerda algunos conceptos matemáticos y arma una función que representa la ganancia g en función de la cantidad x de alumnos: Grafica y responde: g(x)= 500x- 0x. a) Cuántos alumnos deben ir para que la ganancia de la empresa sea la máxima posible y cuál es dicho monto? b) Cuántos alumnos tendrían que viajar para que a la empresa no le convenga organizar el viaje? 9) Un cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los pilares que lo soportan tienen una altura de 60 metros y están separados una distancia de 500 metros, quedando el punto más bajo del cable a una altura de 0 metros sobre la calzada del puente. Cuál es la altura a la que se encuentra un automóvil en el momento en que está ubicado a 80 metros del centro del puente? Grafica la situación. 0) Con los requisitos que se piden en cada caso, escribe f: a) Tiene asíntota vertical x = - y pasa por el punto P(;) b) El mayor conjunto real en el que pudo definirse es el intervalo (4; ) y pasa por el punto C(6;-) ) Una población de bacterias aumenta un porcentaje respecto a la población presente por hora. Si la población inicial era de 500 g y a las cuatro horas aumentó a 400 g Cuál es la tasa de crecimiento por hora? ) Se sabe que una población de bacterias aumenta 0,5% cada 8 horas. Si se comienza la observación con 000 g de bacterias: a) Cuál es la expresión que permite determinar la masa de las bacterias en función del tiempo en horas? b) Cuánta tarda la población de bacterias en triplicar su masa? c) Cuál es el porcentaje de crecimiento por día? 3) Una persona depositó $ en un banco que le ofreció un interés compuesto del 0 % anual. Cuánto tiempo estuvo depositado el dinero si llegó a tener un monto de $ 7.30,50? 4) Una solución tiene una concentración de iones hidrógeno de mol/l. a) Cuál es su ph? b) Es ácida o básica?

4 5) Un champú tiene ph = 4,5: a) Cuál es la concentración de iones hidrógeno, en mol/l? b) Es más ácido que otro que tiene una concentración de iones hidrógeno de 0, ? c) Por qué? 6) En un laboratorio se observa una sustancia radiactiva. Al cabo de seis días de comenzada la observación, la masa es de 500 g y 5 días después, 950 g. a) Cuál es la expresión que permite calcular la masa remanente en función del tiempo? b) Cuál es la vida media de esa sustancia? c) Cuál es el porcentaje de crecimiento por día, semana, mes y hora? 7) En 906, un terremoto localizado en San Francisco tuvo una magnitud de 8. en la escala Ritcher. En 989 hubo otro 9.95 veces más potente que el de 906. Halle el grado en la escala Ritcher correspondiente al terremoto de ) Un elemento radiactivo que decae en su crecimiento después de un tiempo t, responde a la fórmula F(T) = ,0.t a) Cuál es la cantidad de este elemento al inicio del proceso? b) Qué cantidad queda después de 500 años? c) Qué cantidad queda después de 000 años? d) Qué cantidad queda después de 000 años? 9) El valor de reventa de una máquina dentro de la fábrica se comporta conforme a la función: V(T) = 5000.e -0,.t, donde t son los años transcurridos desde la compra original. a) Cuál es el valor original del equipo? b) Cuál es el valor al que se podrá vender, después de conservarlo por 5 años? 30) Una sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo con la fórmula r(t) = k.e -7t, donde k es una constante. En cuánto tiempo habrá exactamente un tercio de la cantidad inicial? Resolución (demostración opcional) De la expresión del problema anterior, no se puede despejar x de ninguna manera. Buscaremos la forma de resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, necesitamos obtener el valor de x que verifica cualquier expresión del tipo de ax +bx+c=0 (denominada ecuación cuadrática): se deben encontrar los ceros de la función y = ax + bx + c. Es decir: (esta demostración es opcional)

5 ax bx c 0 ax bx c multiplicamos por 4a aax abx ac sumamos b 4a x 4abx b 4ac b a x abx b b ac ( ax) ( abx) ( b) ( ax+b) =b -4ac ax b b 4 b 4 ax b ac b x b 4 a ac ac FUNCIÓN COSECANTE CONSTRUCCIÓN f : R x / x k, k Z R / f ( x) csc x senx Sea En este ejercicio partiremos de una tabla de valores de y = csc x para ángulos de la ª vuelta para obtener la gráfica de esta función en ese intervalo y luego se continúa para los otros intervalos como en las funciones anteriores. Por tratarse de una función recíproca para calcular sus valores primero se calcula el valor de la función seno y luego se calcula el valor recíproco. En el eje de abscisas marcamos a izquierda y derecha del origen de coordenadas intervalos de amplitud 6. Completa la tabla x (rad) y =csc x 0

6 Propiedades de la función cosecante en el intervalo 0 ; Observando el gráfico de la función cosecante podemos obtener las siguientes conclusiones: a) dominio e imagen D: 0 ; I: (- ;-] U [+;+ ) b) periodicidad La gráfica obtenida en el intervalo 0 ; se repite periódicamente x R : cs c x cs cx período p c) no es inyectiva d) ceros de la función: resolvemos la ecuación cs cx 0 senx 0 raíces (la función no corta el eje x). al igual que la función seno. No existe ningún valor de x que cumpla con la ecuación, por lo tanto no hay e) paridad y simetría:es impar. Por ejemplo: f / f f / f / 6 f f / 6 / f / / 6 f / 6 x IR : f x f x, es decir x IR :cscx cscx (el gráfico es En general simétrico respecto del origen) f) Intervalos de crecimiento y decrecimiento En algunos intervalos es estrictamente creciente y en otros es estrictamente decreciente. En... (0; / ) (3 / ; )..., es estrictamente decreciente y en... ( / ; ) ( ;3 / )..., es estrictamente creciente. FUNCIÓN SECANTE CONSTRUCCIÓN Sea f : D IR / f ( x) sec x cos x

7 En este ejercicio partiremos de una tabla de valores de y = sec x para ángulos de la ª vuelta para obtener la gráfica de esta función en ese intervalo y luego se continúa para los otros intervalos como en las funciones anteriores. Por tratarse de una función recíproca para calcular sus valores primero se calcula el valor de la función coseno y luego se calcula el valor recíproco. En el eje de abscisas marcamos a izquierda y derecha del origen de coordenadas intervalos de amplitud 6 Propiedades de la función secante en el intervalo 0 ; Observando el gráfico de la función secante podemos obtener las siguientes conclusiones: a) dominio e imagen 0 Excepto para k / D: ; coseno. I: (- ;-] U [+;+ ) x para k Z b) periodicidad la gráfica obtenida en el intervalo 0 ; se repite periódicamente x IR :sec x sec x período p c) no es inyectiva d) ceros de la función: resolvemos la ecuación sec x 0 0 cos nx raíces (la función no corta el eje x)., es decir para todas las raíces de la función No existe ningún valor de x que cumpla con la ecuación, por lo tanto no hay e) paridad y simetría:es par. Por ejemplo: f f f f f / 3 f /3 f /3 f /3

8 En general f ( x) f ( x) (el gráfico es simétrico respecto del eje y) f) Intervalos de crecimiento y decrecimiento En algunos intervalos es estrictamente creciente y en otros es estrictamente decreciente. En ( 0; / ) ( / ; ) es estrictamente creciente. En ( ;3 / ) (3 / ; ) es estrictamente decreciente. FUNCIÓN COTANGENTE CONSTRUCCIÓN Sea f : D IR / f ( x) cotan x tan x En este ejercicio partiremos de una tabla de valores de y = cotan x para ángulos de la ª vuelta y siguientes para obtener la gráfica de esta función en un intervalo mayor. En el eje de abscisas marcamos a izquierda y derecha del origen de coordenadas intervalos de amplitud 6 La gráfica muestra que los valores de la tangente vuelven a repetirse, de la misma manera que la función seno y coseno. Propiedades de la función cotangente en el intervalo 0 ; Observando el gráfico de la función cotangente podemos obtener las siguientes conclusiones: a. dominio e imagen D: 0 ; excepto para todo I: (- ;+ ) x k para todo k Z b. periodicidad La gráfica obtenida en el intervalo 0; se repite periódicamente

9 x IR : cotan x cotan x p período c. no es inyectiva d. ceros de la función: resolvemos la ecuación cotan x 0 k k con k IR cotan / 0 cotan / cotan / tan / 0 en definitiva tan / 0, x k / k IR es cero de f el conjunto de ceros de f : S x/ x k / k Z e. paridad y simetría: es impar. Por ejemplo: f f / f / 0 f x f x / 4 f / 4 En general f ( x) f ( x), el gráfico es simétrico respecto del origen de coordenadas. f. Intervalos de crecimiento y decrecimiento Es una función estrictamente decreciente en todo su intervalo y los intervalos de decrecimiento tendrán una amplitud igual al período:... ;0 0; ;... 3) Analiza la función f(x) = sen x: a) El valor máximo que toma es y el valor mínimo que toma es. b) El conjunto imagen es el intervalo.. c) La curva corta al eje y en P (0; ). d) Los valores de la función se repiten periódicamente cada., se cumple que sen(x+π) = sen x. e) El período de la función es p =.. f) Es impar, es decir sen(x) =.(los valores opuestos del dominio tienen imágenes opuestas) g) Se verifica que /sen x/?. 3) Analiza la función f(x) = cos x: a) El valor máximo que toma es.. y el valor mínimo que toma es.. b) El conjunto imagen es el intervalo. c) La curva corta al eje y en P ( ; ) d) Los valores de la función se repiten periódicamente cada., se cumple que cos (x+π) = cos x.

10 e) El período de la función es p =. f) Es par, es decir cos (x) =.. (los valores opuestos del dominio tienen imágenes.) g) Se verifica que cos x = sen (π/ x)... h) Se verifica que cos x = - sen (x π/).. i) Se verifica que /cos x/?. 33) Analiza la función f(x) = tan x: a) Toma algún valor máximo o mínimo?.. b) El conjunto imagen es el intervalo (.;.) c) La curva corta al eje y en P (.;.) d) Los valores de la función se repiten periódicamente cada., se cumple que. e) El período de la función es. f) Es impar, es decir..., (los valores opuestos del dominio tienen imágenes.) g) Cuando cos x se acerca a cero, el valor de la tangente tiende a h) Tiene infinitas asíntotas verticales, cada vez que. 34) Analiza si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) El dominio de f(x) = cotan x es el conjunto de los números reales. b) La función f(x) = sec x cruza al eje de las x cuando x = 7π/. c) La función f(x) = cosec x no tiene ceros. d) La función f(x) = sec x es la inversa multiplicativa de f(x) = cos x. e) La función f(x) = sec x = /cos x. f) La imagen de f(x) = cotan x es el conjunto de los números reales. g) La imagen de f(x) = sec x es el conjunto de los números reales. h) La función f(x) = sec x es creciente en el intervalo (-π/; π/). i) La función f(x) = sec x es par. j) No existe ningún valor de x para el cual cosec x = 0,5. k) No existe ningún valor de x para el cual cotan x = 0,5. l) La función f(x) = sec x es positiva en el intervalo (-π/; π/). m) La función f(x) = cotan x es positiva en el intervalo (-π; -π/). 35) Establece si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas: a) arcsen x = sen - x b) cos - x = /cos x c) arctan x = cotan x

11 d) Sea f(x) = sen x, cuyo dominio es el intervalo [-π/, π/] y cuya imagen es el intervalo [-, ], la correspondiente función inversa es f - (x) = arcsen x, cuyo dominio es el intervalo [-; ] y cuya imagen es el intervalo [-π/, π/]. e) Sea f(x) = tanx, cuyo dominio es el intervalo (-π/, π/) y cuya imagen es I = R, la correspondiente función inversa es f - (x)=arctan x, cuyo dominio es el intervalo (-,) y cuya imagen es el intervalo (-π/, π/). f) Sea f(x) = cos x, cuyo dominio es el intervalo [0, π] y cuya imagen es el intervalo [-,] la correspondiente función inversa es f - (x) = arc cos x, cuyo dominio es el intervalo [-, ] y cuya imagen es el intervalo [0, π]. g) Si tan(-π/4) = -, arc tan(-) = -π/4 h) (tan x o tan - x) = x i) Si cos (π/4) = /, arccos (π/4) = / 36) Para la función f(x) = a sen x, se verifica que: (a > 0) a) El valor máximo que toma es. y el valor mínimo que toma es. b) El conjunto imagen es el intervalo. c) La curva corta al eje y en P (.;.) d) Los valores de la función se repiten periódicamente cada., se cumple que. =... e) El período de la función es f) Es impar, es decir. =.. (los valores opuestos de dominio tienen imágenes ) g) El factor a se denomina.. de la onda sinusoidal. 37) Para la función f(x) = sen (bx) se verifica que: (b > 0) a) El valor máximo que toma es. y el valor mínimo que toma es. b) El conjunto imagen es el intervalo c) La curva corta al eje y en P (.;.) d) El período de la función es.. e) El factor b se denomina de la onda sinusoidal. 38) Utilizando los gráficos de las funciones seno y coseno, halla y señala sobre el eje horizontal los valores de x que pertenecen al intervalo [0;π], tales que: a) sen x 0,5 c) 0 < sen x < 0,5 e) - < sen x 0 b) cos x < 0 d) cos x 39) Se ha utilizado la función seno para representar los datos de temperatura en una zona de Ushuaia. Los puntos de la gráfica representan la temperatura media del aire. La función seno usada para ajustar los datos es: y = + cos (π/360. (t 0)) a) Cuál es la temperatura promedio máxima para esa región y cuál es la mínima? b) Cada cuántos días, aproximadamente, se repite la misma temperatura promedio?