SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 215 a 237

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1 TEMA. FUNCIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 5 a 7 Página 5. Es una función de expresión c(t) = 0,8t. c(5,5) = 4,40 miles de euros j) x 4 x x + 5. a) x No está definida para x = 0. Página 6. a) f(0) = f() = f( ) = f() = 5 b) f(0) = / 4 f() = / f( ) = / f() no existe c) f(0) = f() = 0 f( ) = 0 f() no existe d) f(0) = f() = 4 f( ) = 4 f() = 7. a) {} b) { 4, 5} c) { 8, 8} d) [, + ) e) [0, ] f) (, ] [, + ) Página 7 4. a) x + x + b) x + x c) x + x d) x + x + e) x x + f) x x + g) x + x h) x 5 + x i) x x + x b) c) d) x No está definida para x = /. x x + No está definida para x = /. x x 5 + x Página 8 No está definida para x = a) f( x) = ( x) 6 + ( x) = x 6 + x = f(x) par b) No es par ni impar c) f( x) = ( x) 5( x) = x + 5x = f(x) impar d) f( x) = log[( x) ] = log (x ) = f(x) par 7. a) f( x) =cos ( x) = cos x = f(x) par simétrica respecto del eje de ordenadas sen ( x) sen x b) f( x) = tg ( x) = = = tg x = f(x) cos ( x) cos x impar simétrica respecto del origen c) f( x) =e x + e ( x) = e x + e x = f(x) par simétrica respecto del eje de ordenadas ( x) x d) f( x) = = = f(x) impar ( x) x simétrica respecto del origen Página 9 8. a) ( g f ) (x) = g (f(x)) = log x ( f g) (x) = f (g(x)) = (log x) b) ( g f ) (x) = cos (e x ) ( f g) (x) = e cos x c) ( g f ) (x) = e ln x = x ( f g) (x) = ln e x = x d) ( g f ) (x) = tg x + ( g + = f ) (x) = ( tg x) 9. a) ( g f )(x) = (x + x + ) cos x -

2 TEMA. FUNCIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 5 a 7 h ( g f ) (x) = h ((x + x + ) ) = (x + x + ) b) ( g f )(x) = cos (x ) h ( f g ) (x) = h (cos x ) = cos ( x ) c) ( g f )(x) = sen x + h ( g f ) (x) = h sen x + = Página 0 sen x + 0. a) x = y / y = ± x + / No es una función b) x = y + y = x c) x = log y y = 0 x d) x = y + 5 y = ± x 5 No es una función. log x = x log x = x Por lo tanto, son inversas y las dos composiciones son la identidad.. La identidad ya que Id(Id(x)) = Id(x) = x. Página. a) Polinómica b) Polinómica c) Trascendente d) Irracional e) Fraccionaria f) Trascendente 4. a) Algebraica, Racional, Polinómica de grado b) Trascendente c) Algebraica, Racional, Polinómica de grado, Afín d) Algebraica, Racional, Fraccionaria e) Algebraica, Irracional f) Trascendente b) La función es: y = x + 6 = a + b a =, b = 5 = a + b La función es: y = x + 5 c) y = x + b Además: 0 = + b b = La función es: y = x = c 6. 7 = 4a + b + c c =, b =, a = 4 = a b + c La función es y = x x +. Página 7. f(0) = f() = / f() = 0 f( ) = 4 f(4) = / 5 No está definida para x = 8. f(0) = 0 Por otra parte, x y x + son mayores que 0 para todo x diferente de 0 f(x) > 0 para todo x no nulo. 9. La parte de la gráfica de / x que quede por encima del eje de abscisas queda igual, mientras que la parte de / x que queda por debajo es simétrica de la parte correspondiente de / x respecto de dicho eje. Ocurre lo mismo con cualquier función. En los casos en los que la gráfica original corte el eje de abscisas, al representar la gráfica del valor absoluto, los puntos de corte quedan igual. Página 4 0. a) Dom = [5, + ] Im = [0, + ) Página 5. a) y = x + b Se cumple: 4 = + b b = -

3 TEMA. FUNCIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 5 a 7 b) Dom = [ 5, + ) Im = (, 0] c) Dom = (, ] [, + ) Im = [0, + ) d) Dom = (, ] [, + ) Im = [0, + ). a) [, + ) b) c) x < 0 (, / ) Dom f = [ /, + ) d) f() = f( ) = 6 c) f(0) = f() = f( ) = f() = / 8 f( ) = / 8 d) f(0) = f() =, f( ) =, f() =, f( ) =, e) f(0) = f() = / 4 f( ) = / 4 f() = / 6 f( ) = / 6 f) f(0) = 0 f() =,7509 f( ) =,7509 f() =, f( ) =, días = 7 horas N(7) = 9 + e 7 =, miles de bacterias =, bacterias 44 = 9 + e t e t = 5 / t = ln (5 / ) =,86 Para que haya más de bacterias deben pasar más de,86 horas. N(0) = Inicialmente había.000 bacterias. Página 6 Página 5. a) f(0) = 4 f() = 8 f( ) = f() = 6 f( ) = b) f(0) = 0 f() = / f( ) = Piensa y contesta La que queda por encima de la recta corresponde a y = = 0 x, la queda por debajo, a y = log x. 4. a) Dom f = (0, + ) Im f = (, + ) b) Dom f = (0, + ) Im f = (, + ) e) Dom f = ( 5, + ) Im f = (, + ) -

4 TEMA. FUNCIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 5 a 7 e) Dom f = Im f = [0, + ) k + k + e) Dom f = π, π, k impar Si x es del dominio, 0 < cos x Im f = (, 0] f) Dom f = (, ) (, + ) Página 8 Im f = (, + ) 5. a) f(x) = sen x - b) f(x) = cos x - 6. a) f(x) = sen x b) f(x) = cos x Calcularemos f(0), f(π / 4), f(π / ), f(π / ), f(π),f(π / / ), f(π): a) f(0) = 0 f(π / 4) = 0, f(π / ) = f(π / ) = 0, f(π) = 0 f(π / ) = f(π) = 0 b) f(0) = f(π / 4) = 0, f(π / ) = 0 f(π / ) = 0,5 f(π) = f(π / ) = 0 f(π) = c) f(0) = f(π / 4) = 0 f(π / ) = f(π / ) = 0, f(π) = f(π / ) = f(π) = d) f(0) = 0 f(π / 4) = 0,5 f(π / ) = f(π / ) = 0,75 f(π) = 0 f(π / ) = f(π) = 0 8. Calcularemos el valor de f en los mismos valores que la actividad anterior: -4

5 TEMA. FUNCIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 5 a 7 f(0) = 0 c) f(π / 4) = f(π / ) no existe f(π / ) =, f(π) = 0 f(π / ) no existe f(π) = 0 9. El dominio de tg x es el mismo que el de tg x, es decir {π / + kπ, k entero}.. a) y = / ( tg x) no está definida para los valores de x tales que tg x = x = π / 4 + kπ, siendo k entero. Dom ( / ( tg x)) = { x = π / 4 + kπ, k entero} 0. a) x = tg (y + π) y =± arc tg x π No es función b) b) x = tg (π / y) y = π / arc tg x. a) 0 b) π / 4 c) π / 4 d) 0, Página 9. a) b) Página y.400 = (x.004); y = 95x a) y = =.495 miles de turismos = turismos b) y = =.05 y = =.685 En el año.00 son turismos matriculados y en el.007, y.40 = (x.000); y = 70x a) y = =.00 y = = 960-5

6 TEMA. FUNCIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 5 a 7 El año.00 contrajeron la enfermedad.00 personas y el año.004, 960. b) y = =.0 y = = 80 En el año.999 contrajeron la enfermedad.0 personas y en el años.006, 80. Página 5. En una función, a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único valor del segundo.. Cuando el primer y el segundo conjunto son subconjuntos de la recta real.. En una función f, Dom f es el conjunto de valores que toma x mientras que Im f es el conjunto de valores que toma f(x). 4. a) f(x) + g(x) b) f(x) g(x) c) f(x) g(x) d) f(x) / g(x) 5. Función par f(x) = f( x) Función impar f(x) = f( x) La gráfica de una función par es simétrica respecto del eje de ordenadas y la gráfica de una función impar es simétrica respecto del centro de coordenadas. 6. ( f g) (x) = f(g(x)) La composición de funciones no es conmutativa, por ejemplo, si f(x) = x y g(x) = sen x: ( f g) (x) = f(sen x) = sen x ( g f ) (x) = g(x ) = sen x 7. Es la función que cumple que si f(x) = y, entonces f (y) = x. No siempre existe, por ejemplo, la función f(x) = x no tiene inversa. 8. Funciones Algebraicas Trascendentes 9. Polinómica Son los polinomios de variable x. Racional Son aquellas en las que x no aparece en radicales. Irracional Son aquellas en las que x aparece en algún radical. Actividad personal. 0.Dom = Im = (0, + ) Pasa por (0, ). Continua en todo. Creciente si a > y decreciente si 0 < a <. La recta y = 0 es asíntota horizontal. x x a = a x = x.dom = (0, + ) Im = Pasa por (, 0). Continua en todo el dominio. Creciente si a > y decreciente si 0 < a <. La recta x = 0 es asíntota vertical. log a x = log a x x = x. y = sen x - - Dom = ; Im = [, ]; Continua en todo el dominio; Periódica con periodo π; Máximos relativos en x = = π / + kπ y mínimos relativos en x = π / + kπ, k entero. y = cos x Racionales Irracionales Polinómicas Fraccionarias Grado 0 Grado Grado... Lineal Afín

7 TEMA. FUNCIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 5 a 7 Dom = ; Im = [, ]; Continua en todo el dominio; Periódica con periodo π; Máximos relativos en x = = kπ y mínimos relativos en x = π + kπ, k entero. y = tg x - - Dom = {π / + kπ, k entero}; Im = ; Discontinua en los puntos de abscisa x = π / + kπ, k entero. Las rectas correspondientes son asíntotas verticales ; Periódica con periodo π; Es creciente en todo el dominio.. Actividad personal. 4. a) f(0) = f() = f( ) = 9 f() = f( ) = 9 b) f(0) no existe f() no existe f( ) no existe f() no existe f( ) = 0 c) f(0) no existe f() no existe f( ) no existe f() = 0, f( ) no existe d) f(0) no existe f() no existe f( ) no existe f() no existe f( ) no existe 5. f(0) no existe f() = f() no existe f( ) = 0,4 f(5) = 0, La función no está definida para x = 0, x =, x =. 6. a) b) {, } c) {, 0, } d) (+, / ] [, + ) e) f) g) (+, ] [, + ) h) (+, 4] 7. a) {0} b) c) d) ( / 4, + ) e) {π + kπ, k entero} f) g) {π / + kπ, k entero} h) {0} 8. a) {0} b) (+, ) (, + ) c) (0, + ) d) (7, + ) e) {(k, (k + )π), k entero par} f) (, 7) 9. a) x + ln x b) x + tg x c) ln x + tg x d) x ln x e) ln x tg x f) x tg x g) x tg x h) x ln x i) ln x tg x 0. f / g = x / ln x No está definida para los valores negativos de x ni el 0. f / h = x / tg x No está definida para x = π / + kπ con k entero. -7

8 TEMA. FUNCIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 5 a 7 h / g = tg x / ln x No está definida para los valores negativos de x ni el 0 ni para x = π / + kπ con k entero.. a) f( x) = ( x) 4 ( x) + = x 4 x + = f(x) Par Simétrica respecto del eje de ordenadas ( x) x f(x) Impar x x Simétrica respecto del origen de coordenadas b) f( x) = = = ( ) c) f( x) = ( x) = x = f(x) Par Simétrica respecto del eje de ordenadas d) f( x) = cos ( 5x) = cos 5x = f(x) Par Simétrica respecto del eje de ordenadas e) f( x) = tg ( 7x) = tg (7x) = f(x) Impar Simétrica respecto del origen de coordenadas f) f( x) = ( x) sen ( x) = x + sen x No es par ni impar b) y = Im = x 6x x v = b / a = 8 y v = f( 8) = 7 Por lo tanto: Dom = Im = [ 7, + ) 9 5 Página 6. a) ( g f )(x) = g(x ) = tg (x ) ( f g) (x) = f(tg x) = (tg x) b) ( g f )(x) = g(ln x) = sen (ln x) ( f g) (x) = f(sen x) = ln (sen x) log (x 5) + c) ( g f )(x) = g(log (x 5)) = 0 ( f g) (x) = f(0 x + ) = log ( 0 x + 5) d) ( f ) g (x) = g ( x ) ( f g) (x) = f( x ) = cos = cos cos x x c) Dom = {} Im = {0}. a) x = y + 9 y = x 9 b) x = 5y 5 y = + 5x y 9 x + 9 c) x = y = y + x d) x = y 4 6 y = ± 4 x + 6 No es una función 4. a) x = ln (y ) y ± x = e No es una función b) x = cotg y = / tg y y = arc tg ( / x) 5. a) Dom = d) Dom = [ 5, + ) Im = [0, + ) -8

9 TEMA. FUNCIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 5 a 7 6. Actividad personal, por ejemplo: f(x) = (x )(x + ) Dom = {, } 7. x > 0 < x < Dom = (, ), Im = (, 0] 8. Dom = Im = (0, + ) 9. Toma valor 0 cuando x 8x + 7 = x = 4 ± 0 Toma valores negativos cuando x 8x + 7 > x (, 4 0 ) (4 + 0, + ) f(π) no existe. f(0) = 0 f(π / 4) = f(π / ) no existe f(π) = 0 f(π / ) no existe f(π) = 0. a) f(x) = sen x 0. a) f(0) = f(π / 4) = f(π / 6) = 0 = 0, / f(π / ) = = 0, f( π) = f(π) = b) f(x) = tg x b) f(0) = 0 f(π / 4) = f(π / 6) = f(π / ) = = 0, / f( π) = 0 f(π) = 0 c) f(0) = f(π / 4) = f(π / 6) = f(π / ) = f( π) = f(π) = d) f(0) no existe f(π / 4) = f(π / 6) = f(π / ) =,9805 f( π) no existe c) f(x) = cos (x /) / d) y = sen (x + π / 4) -9

10 TEMA. FUNCIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 5 a 7 Im = {4} (5, + ) /. a) 0 y π b) π / c) π / d) π / 6 y 5π / 6 5. a) Dom = Im = (, ] 4. a) Dom = Im = (, + ) b) Dom = Im = b) Dom = (, ) [, + ) Im = [, + ) c) Dom = Im = c) Dom = (, ) [, + ) Im = (, + ) 6. d) Dom = -0

11 TEMA. FUNCIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 5 a 7 8 6,5 7. y 6,5 = (x ) y = 0,5x a) y = 0, = 7,5 kg b) y = 0, = 5 kg Página 7 y = 0, = 9,5 kg Al nacer pesa 5 kg y a los 9 meses, 9,5 kg. 8. t = = 4.97 Si la memoria es m = 00, se tardan 4.97 milisegundos = 4,97 segundos en reaccionar. segundos =.000 milisegundos.000 = 8m + 97 m = 68,5 Si se tardan segundos, la memoria es 68,5 9. a) Si x son los días: A(x) = 60x + 00 B(x) = 80x e k =,6 k = (ln,6) / = 0,55 b).000 = 600 e 0,55t e 0,55t =, t = (ln,) / / 0,55 = 4,7 h 4. y = 8.9 =.048 Para un precio de hay una demanda de.048 unidades. 8 = 8.9 x x = 0 x = 0 La demanda es de 8 unidades para un precio de 0 euros. El dominio de la función es (0, + ) y su imagen es (0, 8.9). Autoevaluación. f() = 4m + n + p = f() = 5 9m + n + p = 5 f(4) = 6m + 4n + p = Obtenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas: 4m + n + p = e e 5m + n = 4 e e m + n = A(x) B(x) 4m + n + p = 5m + n = 4 e e m = 6 La solución es: m =, n = 9, p = 5 Por lo tanto, la función que buscamos es: x + 9x 5 = 0 00 b) A partir de los 0 días. 40. Dom = (0, + ) Im = (0, + ) Finalmente:,04 =,4R R = 6 m años = = 8.50 días C(8.50) = 0 e 0, = 7, a) P 0 = = 600 e k. a) b) Dom = {x x + 4x + > 0} = (, ) (,, + ) c) Dom = {x x 64 0} = (, 8] [8, + ) d) Dom = {4, 5}. Buscamos k tal que la inecuación x + k 0 tenga solución [, + ). x k / Por lo tanto, se debe cumplir, k / = k = a) f( x) = sen ( x) = sen x = sen x = f(x) par simétrica respecto del eje de ordenadas -

12 TEMA. FUNCIONES SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES Págs. 5 a 7 ( x) x b) f( x) = = = f (x) impar ( x) x simétrica respecto del centro de coordenadas c) f( x) = sen ( x) + cos ( x) = sen x + cos x no es simétrica 4 4 d) f( x) = 4 ( x) = 4 x = f(x) par simétrica respecto del eje de ordenadas 8. Dom = [ 4, ] 5. ( g f ) (x) = g (x + ) = sen (x + ) Dom = Im = [, ] y x 6. x = y = 5y 5x 7. a) Algebraica Racional Polinómica de grado b) Trascendente c) Algebraica Irracional d) Trascendente e) Algebraica Racional Fraccionaria f) Trascendente,07 5,7 9. y 5,7 = (x ) y = 6,445,075x 5 y(4) = 6,445,075 4 =,45 bares y(7) = 6,445,075 7 =,08 bares Observamos que en el segundo caso obtenemos un resultado negativo y que, por lo tanto, la extrapolación no es válida en este caso. 7 L, por lo tanto, está demasiado alejado de los datos para poder hacer una estimación. -