FUNCIONES DE UNA VARIABLE

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1 FUNCIONES DE UNA VARIABLE Una función es una regla que a cada número x R le asigna un único valor f x) R El dominio de f son los puntos en los que está definida Dom f ) = {x R/ f x)} La gráfica de f es su representación en el plano Grf f ) = {x, y) R /y = f x)} f es continua en x 0 si lím x x0 f x) = f La derivada de f en x 0 f f x 0 + x) f = lím x 0 x Si f es derivable en a, b) la función derivada de f asocia a cada x su derivada la derivada segunda, f x), es la derivada de f ) f es la tasa instantánea de variación de y con respecto a x en x 0 y mide la magnitud del cambio de la variable dependiente ante un cambio en la variable independiente f aproxima la tasa marginal de variación, que es el incremento de la función cuando la variable dependiente se incrementa en una unidad siempre y cuando este incremento sea pequeño) f es la pendiente de la recta tangente a la gráfica y = f x) en el punto Px 0, f ) f'x 0 tangθ Si f es positiva a un aumento de la variable independiente le corresponde un aumento de la variable dependiente f creciente) y si es negativa una disminución f decreciente) Θ Una función que no sea continua no es derivable f derivable en x 0 = f continua en x 0 ) Una función continua que tenga tangente vertical no es derivable cambio de valor demasiado brusco) Una función continua que presenta picos" no es derivable cambio de dirección demasiado brusco) Reglas de derivación Regla de la constante k R): k f ) x) = k f x) Regla de la suma: Regla del producto: f + g) x) = f x) + g x) f g) x) = f x)gx) + f x)g x) Regla del cociente, siempre y cuando gx) 0: ) f x) = f x)gx) f x)g x) g g x) Regla de la cadena, siempre y cuando f sea derivable en x 0 y g lo sea en f : g f ) = g f ) f

2 FUNCIONES POTENCIA f x) = x a con derivada f x) = ax a Polinomios f x) = a 0 + a x + a x + + a n x n D = R) Se derivan aplicando las reglas de las potencias junto con las de la constante y la suma Función lineal f x) = mx + b con m pendiente de la recta tangente del ángulo con el eje O) Su gráfica es una recta y se representan dos puntos Polinomio de grado dos px) = ax + bx + c Su gráfica es una parábola vertical y se representan su vértice y sus puntos de corte con los ejes Su vértice es V b a, p b a)) Su punto de corte con el eje O x = 0) es 0, c) Sus puntos de corte con el eje O y = 0) se obtienen mediante la fórmula x = b± b ac a Raíces n-ésimas inversas de potencias de exponente natural) f x) = x n = n x Definidas sólo para números positivos con n par D = {x R/x 0}) Definidas siempre con n impar D = R) Caso particular: f x) = x y f x) = x son las ramas de la párabola horizontal x = y y x x y y x y x x y y x y x Potencias de exponente negativo f x) = x m = D = {x R/x 0} xm Caso particular: f x) = ax = a/x Su gráfica es la hipérbola xy = a Se representan sus asíntotas, que corresponden a los ejes, y sus vértices, que son V ± a, ± a ), donde los signos dependen del signo de a Otras gráficas importantes V xy a V x = ay + by + c es una parábola horizontal Se procede como en la parábola vertical cambiando el papel de x e y x x 0 ) + y y 0 ) = R es la circunferencia de centro x 0, y 0 ) y radio R > 0

3 FUNCIONES EPONENCIALES LOGARÍTMICAS Funciones exponenciales f x) = a x con derivada f x) = a x lna) D = R) Definidas siempre D = R) Sólo toman valores estrictamente positivos e x > 0) Crecientes para a > y decrecientes para 0 < a < y e x a 0 = a x+y = a x a y ab) x = a x b x a x ) y = a xy Con base el número e es la función exponencial natural f x) = e x = expx) = f x) = e x Funciones logarítmicas inversas de las exponenciales) y = log a x) a y = x f x) = log a x) con derivada f x) = x ln a Definidas sólo para números estrictamente positivos D = 0, + ) Pueden tomar cualquier valor Son crecientes para a > y decrecientes para 0 < a < log a = 0 log a a = log a a x = x log a x n ) = n log a x log a xy) = log a x + log a y log x a y) = loga x log a y y lnx Con base el número e es el logaritmo neperiano: lnx) = log e x) = f x) = x Derivación logarítmica) Derivada de yx) = ux) vx) con D = {x R/ux) 0} En primer lugar tomamos logaritmos ln yx) = ln ux) vx) = vx) ln ux) A continuación derivamos esta expresión y x) yx) = v x) ln ux) + vx) u x) ux) Luego despejamos y x) y sustituimos yx) por su valor ) ) y x) = v x) ln ux) + vx) u x) yx) = v x) ln ux) + vx) u x) ux) vx) ux) ux) Corresponde a la derivada como potencia" más la derivada como exponencial" y x) = vx)ux) vx) ) u x) + ux) vx) ln[ux)] ) v x)

4 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Seno: f x) = sen x con derivada f x) = cos x D = R) Coseno: f x) = cos x con derivada f x) = sen x D = R) Tangente: f x) = tan x = sen x cos x con derivada f x) = cos x = + tan x D = {x R/ cos x 0}) fx senx fx cosx fx tgx Los ángulos se miden en radianes número de radios del arco de circunferencia) Para convertir grados a radianes, y viceversa, utilizamos que el ángulo completo de la circunferencia en grados es 60 o y en radianes rd longitud de la circunferencia r) 60 o radianes Medidas y razones trigonométricas de ciertos ángulos Grados Radianes Seno Coseno Tangente Si representamos un ángulo x sobre una circunferencia de centro el origen y radio obtenemos un triángulo rectángulo en el que la altura es el seno y la base el coseno la tangente seno entre coseno) Su signo depende del sentido: arriba +/abajo - para el seno e izquierda -/derecha + para el coseno sen x + cos x = fórmula fundamental de la trigonometría) x sen x Θ x cos x Seno y coseno se repiten cada y la tangente cada funciones periódicas) La imagen del seno y coseno es [, ] funciones acotadas) y de la tangente, + ) no acotada) Arcoseno inversa del seno) arc sen x = y sen y = x f x) = arc sen x con derivada f x) = D = [, ] e I = [ /, /]) x Arcocoseno inversa del coseno) arc cos x = y cos y = x f x) = arc cos x con derivada f x) = D = [, ] e I = [0, ]) x Arcotangente inversa de la tangente) arctan x = y tan y = x f x) = arctan x con derivada f x) = D = + x R e I = /, /)) fx arcsenx fx arccosx fx arctgx 0

5 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES El espacio n-dimensional, cuyos elementos reciben el nombre de puntos, es el conjunto f : D R n R R n = {x, x,, x n )/x, x,, x n R} El dominio de f son los puntos en los que está definida Dom f ) = {x, x,, x n ) R n / f x, x,, x n )} La gráfica de f es el siguiente conjunto de puntos de R n+ La curva de nivel k de f es la curva de R n Grf f ) = {x, x,, x n, y) R n+ / f x, x,, x n ) = y} C k f ) = {x, x,, x n ) R n / f x,, x n ) = k} La gráfica de una función de dos variables z = f x, y) es una superficie de R y una curva de nivel son los puntos del plano donde toma el mismo valor la curva de nivel k es el corte con el plano z = k) f es continua en x 0 si lím f x) = f x x0 Observación Las funciones elementales con las que tratamos son continuas en su dominio La derivada parcial de f con respecto a x i en x 0 x 0,, x 0n ) intd), si existe, es D i f = f x i x 0,, x 0n ) = lím x i 0 f x 0,, x 0i + x i,, x 0n ) f x 0,, x 0i,, x 0n ) x i La función derivada parcial de f con respecto a una variable se obtiene derivando con respecto a esta variable considerando que el resto de las variables son constantes La derivada parcial con respecto a una variable es la tasa instantánea de variación de la función con respecto a esta variable en la que sólo cambia esta variable y el resto permanecen constantes) Corresponde a la tasa marginal de variación con respecto a esta variable o incremento de la función cuando la variable se incrementa en una unidad y el resto permanecen constantes Es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto en la dirección del eje x i La existencia de las derivadas parciales no garantiza la continuidad de la función en el punto Si existen todas las derivadas parciales de f en x 0 el vector gradiente de f en x 0 es f f =,, f ) x x n derivada parcial de orden ) Si f x i x) existe en un entorno de x 0 y es derivable en x 0 con respecto a x j se define la derivada parcial segunda en x 0 con respecto a x i y x j como D i j f = f = ) f x j x i x j x i Si f admite todas las derivadas parciales de orden en x 0 la matriz hessiana de f en x 0 es: f x x f x x f x x n H f = f x x f x n x f f x n x f x x x x n f x n x n Si se cumplen las hipótesis del teorema de Schwarz se garantiza que la matriz hessiana es simétrica