Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.I

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1 Matemáticas Nivel Medio Matemáticas Ap.CC.SS.I Martes 19 de diciembre de 01 1 hora y 15 minutos. NOMBRE APELLIDOS CALIFICACIÓN 1. Calcula correctamente la suma de las siguientes series, ( puntos) 1 a) k+1. Resuelva las siguientes cuestiones, b) S a) Si ( ) xn k n x, calcule los posibles valores de k. (0,5 puntos) b) Determina la suma siguiente, (0,5 puntos) ( k ). El primer término de una progresión geométrica no alternada es 00 y la suma de los tres primeros términos es igual a,. a) Hallar la razón común sabiendo que r < 1. (1 punto) b) Calcular la suma de los infinitos términos de la progresión. (0,5 puntos). Si log x 5 1 y log y 1, calcule mediante las propiedades de los logaritmos, (1,5 puntos) (a) x log y (b) log x y 5. Opera mediante notación radical y simplifica al máximo: ( puntos) a) b). Calcula correctamente todos los valores de la incógnita x en los siguientes casos, ( ,5 puntos) a) log x (x 10) b) e x+. Elimina de modo correcto los logaritmos de las siguientes expresiones: ( puntos) a) loga 1 logx + 1 logz ln y b) lnb (ln x + ). Cuando el reloj de una clase marca las 1:00 en punto comenzamos a ver que el minutero recorre la circunferencia de un modo muy extraño: Al comienzo recorre de un solo golpe la cuarta parte de la circunferencia; en el segundo golpe suma a la posición anterior una doceava parte más de la circunferencia; en el tercer golpe, a la posición anterior suma la treinta y seisava parte de la circunferencia; y sigue siempre esa pauta en los siguientes golpes. Razona matemáticamente si el reloj llegará a marcar las 1:0 y si no es así, señala qué fracción de la circunferencia es la menor cota superior de su recorrido indicando qué minuto será esta cota. (1 punto)

2 SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DEL CONTROL Nº DE MATEMÁTICAS N.M. 1. Calcula correctamente la suma de las siguientes series, ( puntos) 1 a) k+1 b) S a) k+1 Se trata de la suma de los términos desde el quinto hasta el décimo tercero de una progresión geométrica de razón r. 1 k Aplicamos la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica, 1 k b) S Se trata de la suma de los primeros términos de una progresión aritmética de diferencia d. Calculamos el número de términos, a n a 1 + (n 1) d 5 + (n 1) ( ) 5 (n 1) ( ) 0 (n 1) ( ) n 1 n (n 1) 15 (n 1) Aplicamos la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética, S ( + ( 5)) 1 ( 5) 1 1

3 . Resuelva las siguientes cuestiones, a) Si ( ) xn k n x, calcule los posibles valores de k. (0,5 puntos) b) Determina la suma siguiente, (0,5 puntos) ( k ) a) Si ( ) xn k n x, calcule los posibles valores de k. (0,5 puntos) Para hacer que las dos expresiones coincidan en grado hacemos que el monomio de grado de ambas sea n, En tal caso, ( ) x k ( ) xn k n x!! ( )! x k! x k!! x k x k Igualamos a x, x k x k k 9 k ± 9 k ± k Por lo tanto, k / o k /. b) Determina la suma siguiente, (0,5 puntos) Se trata de sumar, ( k ) ( k ) ( 0 ) + ( 1 ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( 5 ) + ( ) + ( )

4 Aplicando el triángulo de Pascal-Tartaglia, Obtenemos, ( k ) El primer término de una progresión geométrica es 00 y la suma de los tres primeros términos es igual a,. a) Hallar la razón común sabiendo que r < 1. (1 punto) b) Calcular la suma de los infinitos términos de la progresión. (0,5 puntos) a) Hallar la razón común sabiendo que r < 1. (1 punto) Utilizando la fórmula de la suma de los primeros n términos de la progresión geométrica, S n a 1 r n a 1 r 1 y aplicando que a 1 00 y S, tendremos que, S a 1 r a 1 r 1, 00 r 00 r 1 Resolvemos por Ruffini,,r, 00 r r,r + 1,

5 Por lo tanto, una posible solución de la ecuación es r 1. Resolvemos la ecuación de segundo grado, 00 r + 00r 1, 0 Aplicando la fórmula de resolución de la ecuación de segundo grado, r 00 ± ( 00) 00 ( 1,) ± { r 1,9 r 0,9 La razón no puede ser ni r 1 (en cuyo caso, la suma daría 00) ni negativa (porque entonces la razón no cumple que r < 1). Por lo tanto, la razón de la progresión es r 0, 9 b) Calcular la suma de los infinitos términos de la progresión. (0,5 puntos) Aplicamos la fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón r < 1 S a 1 1 r 00 1 ( 0,9 ) 19,5101. Si log x 5 1 y log y 1, calcule mediante las propiedades de los logaritmos, x (a) log (0 5 puntos) y (b) log x y (0 5 puntos) x (a) log (0 5 puntos) y log x y log x log y log (x) 1 log y 1 log (x) log y 1 [log + log x] log y 1 [ ] ( 1)

6 (b) log x y (0 5 puntos) log x y log ( x 1/ y ) 1 log ( x y ) 1 [log (x y) log ] 1 [log x + log y log ] 1 [ log x + log y log ] 1 [ log x + log y log ] 1 [ ( 1) 1] Opera mediante notación radical y simplifica al máximo: ( puntos) a) b) a) 5 b) 0. Calcula correctamente todos los valores de la incógnita x en los siguientes casos,( ,5 puntos) a) log x (x 10) b) e x+ a) log x (x 10) x x 10 x x x b ± b ac a + ± 9 0 Las soluciones son x 5 y x ± 9 ± { x 1 + x 10 5

7 b) e x+ Tomamos logaritmos neperianos, ln e x+ ln (x + )ln e ln (x + ) 1 ln La solución es x 0, x ln x ln 0, Elimina de modo correcto los logaritmos de las siguientes expresiones: ( puntos) a) loga 1 logx + 1 a) loga 1 logx + 1 logz logz b) lnb (ln x + ln y ) loga 1 logx + 1 logz loga log10 logx + logz 1/ loga log10 logx + log z loga log 10 z x b) lnb (ln x + lnb (ln x + ln y ) lnb ln(x y A 10 z x ln y ) lnb (ln x + 1 ln y) lnb (ln x + ln y1/ ) ) lnb ln(x y) B (x y) B x y. Cuando el reloj de una clase marca las 1:00 en punto comenzamos a ver que el minutero recorre la circunferencia de un modo muy extraño: Al comienzo recorre de un solo golpe la cuarta parte de la circunferencia; en el segundo golpe suma a la posición anterior una doceava parte más de la circunferencia; en el tercer golpe, a la posición anterior suma la treinta y seisava parte de la circunferencia; y sigue siempre esa pauta en los siguientes golpes. Razona matemáticamente si el reloj llegará a marcar las 1:0 y si no es así, señala qué fracción de la circunferencia es la menor cota superior de su recorrido indicando qué minuto será esta cota. (1 punto) Se trata de sumar las sucesivas fracciones de la circunferencia que va haciendo el minutero. S

8 Se trata, por tanto, de sumar los infinitos términos de una progresión geométrica de razón r 1/. Esta suma es finita puesto que la razón es positiva y menor que uno. Aplicamos la fórmula para este caso, S Por lo tanto, no llegará a hacer ni siquiera la mitad de la circunferencia (/) y una cota superior para el minutero será / de la circunferencia. Aplicando una regla de tres podemos calcular la cota en minutos del minutero que será, Fracción Minutos / 0 / x x minutos