REFUERZO DE FUNCIONES

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Pedro Contreras Saavedra
hace 7 años
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1 REFUERZO DE FUNCIONES Dominio de definición 1.- Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones: Solución: Para calcular el dominio de lo único que tenemos que tener en cuenta es el denominador. El único problema para el dominio de es la división. Tenemos que quitar los números que hacen 0 al denominador. Luego el valor que hay que quitar es el que hace que. Es decir, hay que quitar. Por tanto Dom. Para calcular el dominio de tenemos que tener en cuenta que LO QUE HAY DENTRO de la raíz tiene que ser positivo para poder hacer la raíz cuadrada. Es decir tenemos que coger los números que hacen positivo a lo que hay dentro de la raíz. Luego hay que coger las que cumplan que Es decir, hay que resolver la inecuación anterior. Para ello detectamos dónde se anula cada factor de los que aparecen (encontramos las raíces): } Dibujamos esas raíces sobre la recta real Para cada intervalo en el que queda dividida la recta queremos saber si la expresión positiva o negativa. Calculamos el valor para una que esté en cada intervalo. es Además tenemos en cuenta que la expresión no tiene sentido para (no se puede dividir por 0) y que para vale 0. Así escribimos

2 Como mi inecuación es tengo que coger los intervalos positivos (+) y los números en los que se haga 0. Por tanto Solución de : ) (El -1 no se coge porque no tiene sentido la división y el 3 sí se coge porque hay que coger los números en los que se hace 0). Por tanto Dom ). Para calcular el dominio de tenemos que tener en cuenta que LO QUE HAY DENTRO de un logaritmo tiene que ser ESTRICTAMENTE positivo para poder hacer el logaritmo. Es decir tenemos que coger los números que resuelven la inecuación. OBSERVAR que la inecuación es la misma que para cambiando el mayor o igual por un mayor estricto. Por tanto se resuelve exactamente igual que en el caso anterior y lo único que varía es el resultado final Solución de : (El -1 no se coge porque no tiene sentido la división y el 3 NO se coge porque NO hay que coger los números en los que se hace 0). Por tanto Dom. Para calcular el dominio de lo único que tenemos que tener en cuenta es el denominador. El único problema para el dominio de es la división. Tenemos que quitar los números que hacen 0 al denominador. Luego los valores que hay que quitar son los que hacen que Es decir, hay que quitar las soluciones de la ecuación anterior. Resolviendo la ecuación de segundo grado obtenemos las soluciones y. Por tanto, obtenemos que Dom. ANÁLOGO AL CÁLCULO DEL DOMINIO DE. Para calcular el dominio de tenemos que tener en cuenta que LO QUE HAY DENTRO de la raíz tiene que ser positivo para poder hacer la raíz cuadrada. Es decir tenemos que coger los números que hacen positivo a lo que hay dentro de la raíz. Luego hay que coger las que cumplan que Es decir, hay que resolver la inecuación anterior. Para ello hay que calcular donde se anula cada factor de la ecuación, para eso hay que resolver obteniendo y. Se procede como en g, dando valores y realizando el esquema sobre la recta real Ahora la expresión tiene sentido en el 3 y en el -4 y sale 0. Por tanto:

3 Solución de : (El -4 y el 3 SI se cogen porque hay que coger los números en los que se hace 0). Por tanto Dom. Para calcular el dominio de tenemos que tener en cuenta que LO QUE HAY DENTRO de un logaritmo tiene que ser ESTRICTAMENTE positivo para poder hacer el logaritmo. Es decir tenemos que coger los números que resuelven la inecuación. OBSERVAR que la inecuación es la misma que para cambiando el mayor o igual por un mayor estricto. Por tanto se resuelve exactamente igual que en el caso anterior y lo único que varía es el resultado final Solución de : (El -4 y el 3 NO se cogen porque No entran los números que hacen cero la expresión). Por tanto Dom. Simetrías RECORDAR PARA LOS EJERCICIOS DE SIMETRÍA 2.- Calcula la simetría de las siguientes funciones: Solución: Para calcular la simetría de lo que tenemos que hacer es calcular y comparar el resultado obtenido con. Si resulta que entonces es PAR. Si resulta que entonces es IMPAR. Por tanto es PAR. Luego IMPAR Luego IMPAR Luego no tiene simetría.

4 No tiene simetría. Luego k es PAR. Composición 3.- Considera las funciones. Calcula y simplifica las funciones que se te piden: Solución: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) Funciones inversas 4.- Calcula la función inversa de las siguientes funciones Solución: Para calcular la inversa de, en primer lugar lo escribimos como. Ahora despejamos la :

5 Cambiamos los papeles de la y la. Luego la función inversa es: Procedemos de igual manera para el resto de funciones del ejercicio.

6 Dibujo de funciones definidas a trozos 5.- Representa las siguientes funciones definidas a trozos y expresa su dominio y su recorrido. { { Solución: Para dibujar la función: tenemos que dibujar cada una de las 3 partes en las que está dividida TROZO 1: cuando. Se trata de un trozo de recta (una semirecta). Para dibujarlo basta con encontrar dos puntos de la recta y=. Buscaremos siempre el punto borde del dominio, es decir, en la tabal siempre aparecerá el valor, aunque este no entre en el dominio. x y Además del valor extremo damos otro que sí esté en el dominio. Como el punto (-2,-4) no entra porque la desigualdad es estricta, destacamos este hecho dibujando el extremo de la semirecta con un pequeño círculo sin rellenar. TROZO 2: cuando. Se trata de una parábola, abierta hacia abajo porque el coeficiente de la es negativo. Además el vértice se encuentra en =0. Terminamos de darle forma con una tabla, en la que incluiremos el vértice y los extremos del intervalo de definición. x y

7 El extremo izquierdo se rellena porque entra el punto en el dominio, y el izquierdo se deja abierto. Observar que los dos trozos de función empalman bien en por lo que se rellena el punto que había quedado abierto del trozo anterior. TROZO 3: cuando. Se trata de un trozo de recta (una semirecta). Procedemos como en el trozo 1. x y Que es el aspecto final de la función. Observar que en los dos trozos no empalman bien y la función presenta un salto. Aquí es especialmente importante resaltar los puntos en el corte para que observando la gráfica podamos saber el valor de la función en x=1.

8 Dibujemos ahora {. No lo hacemos con tanto detalle como en el caso anterior. Observar que los dos primeros trozos son rectas y el último trozo es una parábola abierta hacia arriba con vértices en x=1 (luego el vértice no aparece en la gráfica). Observar también que no hay función entre el 1 y el 2. Con todo ello la función debe quedar de la siguiente forma Para dibujar el segmento del trozo 2 recordar que al menos hay que dar los valores en los extremos del intervalo y con estos valores es suficiente para dibujarlo porque es un trozo de recta. Operaciones con funciones definidas a trozos 6.- Considera las funciones y siguientes y calcula y y. { { Solución: Aunque no es estrictamente necesario realizamos primero un dibujo de las dos funciones. Como ya hemos explicado cómo dibujarlas en el ejercicio anterior exponemos aquí solo el resultado final.

9 Gráfica de Gráfica de Para calcular y tenemos que tener en cuenta que depende de dónde esté, las expresiones de y de varían. Trozo 1 de g Trozo 2 de g Trozo 1 def Trozo 2 def Trozo 3 def Por tanto para y tenemos que distinguir los siguientes 4 trozos Es decir {

10 { Para calcular debemos proceder de forma diferente ya que para saber qué trozo de debemos aplicar tenemos que saber el valor de que me sale con cada. Observando la función podemos ver fácilmente que: Luego para las deberemos considerar el primer trozo de. Además Lugo para las deberemos considerar el segundo trozo de { { {

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