Información de f según f. Dada una función f, suponga que tiene la gráca de f (x) como en la gura

Transcripción

1 Información de f según f Dada una función f, suponga que tiene la gráca de f (x) como en la gura suponga también que f (x 0 ) = 0 x 0 < x f (x) > 0 f (x) es creciente x 0 < x f (x 0 ) < f (x) 0 < f (x) x > x 0 es decir f es convexa x > x 0 Analogamente se tiene x 0 > x f (x) > 0 f (x) es creciente x 0 > x f (x 0 ) > f (x) 0 > f (x) x > x 0 es decir f es concava x < x 0 1

2 podemos concluir de lo anterior que si f (x 0 ) = 0, f (x) > 0 para x > x 0 y f (x) > 0 para x < x 0 entonces x 0 es un punto de inexion para f Dada una función f, suponga que tiene la gráca de f (x) como en la gura suponga también que f (x 0 ) = 0 2

3 x 0 < x f (x) > 0 f (x) es creciente x 0 < x f (x 0 ) < f (x) 0 < f (x) x > x 0 es decir f es convexa x > x 0 Analogamente se tiene x 0 > x f (x) > 0 f (x) es creciente x 0 > x f (x 0 ) > f (x) 0 > f (x) x > x 0 es decir f es concava x < x 0 podemos concluir de lo anterior que si f (x 0 ) = 0, f (x) > 0 para x > x 0 y f (x) > 0 para x < x 0 entonces x 0 es un punto de inexion para f 3

4 Se tiene entonces que la tercer derivada si es distinta de cero entonces proporciona información acerca de los puntos de inexión de f Polinomios de Aproximación (Polinomios de Taylor P n ) Sabemos que la recta tangente a una función en un punto es la mejor aproximación lineal a la gráca de f en las cercanías del punto de tangencia (xo, f(xo)), es aquella recta que pasa por el mencionado punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto (primera derivada en el punto), lo que hace que la recta tangente y la curva sean prácticamente indistinguibles en las cercanías del punto de tangencia. Grácamente podemos observar que la curva se pega "suavemente. a la recta en este entorno, de tal manera que "de todas las rectas que pasan por el punto, es esta recta la que más se parece a la curva cerca del punto". Buscamos entonces un polinomio de grado 1 P 1 (x) = a + b(x x 0 ) tal que (a) Pase por f(x 0 ) es decir P 1 (x 0 ) = f(x 0 ), en este caso P 1 (x) = a + b(x x 0 ) P 1 (x 0 ) = a a = P 1 (x 0 ) = f(x 0 ) a = f(x 0 ) (b) Tenga la misma inclinación en x 0 es decir P 1(x 0 ) = f (x 0 ) en este caso P 1(x) = b b = P 1(x) b = P 1(x 0 ) = f (x 0 ) b = f (x 0 ) P 1 (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Veamos que sucede si en lugar de aproximarnos con una recta tratamos de hacerlo con una parábola, es decir tratemos de encontrar de todas las parábolas que pasan por (xo, f(xo)), la que mejor aproxima a la curva, es decir tratemos de encontrar "la parábola tangente". Nótese que la parábola tangente a una curva no es única. Dada la ecuación cuadratica de la parábola P (x) = a + b(x x 0 ) + c(x x 0 ) 2 debemos pedirle que pase por el punto, que tenga la misma inclinación (primera derivada) y la misma concavidad que la parábola (segunda derivada), es decir debemos pedirle: a) P (x 0 ) = f(x 0 ) b) P (x 0 ) = f (x 0 ) c) P (x 0 ) = f (x 0 ) 4

5 Como P (x 0 ) = a, P (x) = b y P (x) = 2c, concluimos que a = f(x 0 ), b = f (x 0 ) y c = ( 1 2) f (x 0 ) quedando la ecuación de la parábola que mejor aproxima a la curva en las cercanías de (xo,f(xo)), como: P (x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 2! En la gura de abajo, observamos grácamente los tres sumandos de la expresión de la parábola tangente. Los dos primeros nos dan la altura sobre la recta tangente y añadiéndole el tercero nos da la altura sobre la parábola tangente Denición 1. Suponga que las n + 1 derivadas de una función f existen alrededor de un punto x 0 de su dominio, llamamos el polinomio de Taylor de grado n alrededor de x 0 a: es decir T n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) 1! (x x 0 ) + f (x 0 ) 2! T n (x) = (x x 0 ) 2 + f (x 0 ) 3! n f k (x 0 )(x x 0 ) k k=0 k! (x x 0 ) f n (x 0 ) (x x 0 ) n n! Ejemplos hallar los polinomios de Taylor para a) f(x) = sen(x), alrededor del 0 para esto se tiene que f 0 (x) = sen(x), f (x) = cos(x), f 2 (x) = sen(x), f 3 (x) = cos(x) y f 4 (x) = sen(x) por tanto f 0 (0) = sen(0) = 0, f (0) = cos(0) = 1, f 2 (0) = sen(0) = 0, f 3 (0) = cos(0) = 1 y f 4 (0) = sen(0) = 0 T 4 (x) = f(0) + f (0) (x) + f (0) (x) 2 + f (0) (x) 3 + f 4 (0) (x) 4 = x x3 1! 2! 3! 6! 6 Ahora para f(x) = cos(x), alrededor del 0 para esto se tiene que f 0 (x) = cos(x), f (x) = sen(x), f 2 (x) = cos(x), f 3 (x) = sen(x) y f 4 (x) = cos(x) por tanto f 0 (0) = cos(0) = 1, f (0) = sen(0) = 0, f 2 (0) = cos(0) = 1, f 3 (0) = sen(0) = 0 y f 4 (0) = cos(0) = 1 T 4 (x) = f(0) + f (0) (x) + f (0) (x) 2 + f (0) (x) 3 + f 4 (0) (x) 4 = 1 x2 1! 2! 3! 6! 2 + x4 4! 5

6 Ahora para f(x) = e x, alrededor del 0 para esto se tiene que f 0 (x) = e x, f (x) = e x, f 2 (x) = e x, f 3 (x) = e x y f 4 (x) = e x por tanto f 0 (0) = e 0 = 1, f (0) = e 0 = 1, f 2 (0) = e 0 = 1, f 3 (0) = e 0 = 1 y f 4 (0) = e 0 = 1 T 4 (x) = f(0) + f (0) 1! (x) + f (0) 2! (x) 2 + f (0) 3! (x) 3 + f 4 (0) (x) 4 = 1 + x 6! 1! + x2 2! + x3 3! + x4 4! 6