CÁLCULO. Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.

Transcripción

1 CÁLCULO Ingeniería Industrial. Curso Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 1. Derivadas. Polinomios de Taylor. Resumen de la lección La derivada y la recta tangente. Teorema de Bolzano. Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y toma valores de distinto signo en los extremos (es decir, f(a)f(b) < 0) entonces existe, al menos, un punto c (a, b) tal que f(c) =0. a c b Derivada. Se dice que una función f es derivable en a si existe, y es finito, el siguiente ite f (x) f (a) = f 0 (a). x a x a Cuando f es derivable en a al resultado del ite anterior, denotado por f 0 (a), se le llama derivada de f en el punto a. Si f es una función derivable en a entonces es continua en a. Lafunción derivada de f está definida sobre el conjunto de puntos donde f es derivable y es aquella que asigna a cada punto su derivada. Si la función derivada es, a su vez, derivable en a se dice que f es dos veces derivable en a, y así sucesivamente pueden construirse derivadas de cualquier orden natural. Recta tangente. Sea f una función derivable en un punto a. La derivada de f en a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente a la gráfica de f en el punto a es, por tanto, aquélla que pasa por el punto (a, f (a)) y tiene como pendiente la derivada f 0 (a), y f (a) =f 0 (a)(x a).

2 Teorema de Rolle. Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], derivable en el intervalo abierto (a, b) ytalquef(a) =f(b), entonces existe, al menos, un punto c (a, b) tal que f 0 (c) =0. Geométricamente esto significa que, bajo las condiciones anteriores, existe un punto en el interior del intervalo en el que la tangente a la gráfica de f es horizontal. a b c c Teorema del valor medio. Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe, al menos un punto c (a, b) tal que f 0 f(b) f(a) (c) =. b a Geométricamente, esto significa que, bajo las condiciones anteriores, existe un punto en el interior del intervalo en el que la tangente a la gráfica de f es paralela a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). a c b Función de clase C n. Se dice que f es de clase C n en un intervalo I si es n-veces derivable en todo I y la función derivada n-ésima, f (n), es continua en todo I. Si la función f admite derivadas de todos los órdenes en todo el intervalo I entonces se dice que f es de clase C Los polinomios de Taylor. Polinomio de Taylor. Sea f una función de clase C n en un intervalo I y a I. El polinomio de Taylor de f centrado en a de grado n es p n (x) =f (a)+f 0 (a)(x a)+ f 00 (a) 2! 2 (x a) f (n) (a) n! (x a) n.

3 Si a =0entonces se denomina polinomio de Maclaurin. Propiedades de los polinomios de Taylor. Sea f una función de clase C n en un intervalo I y a I. Si p n (x) es el polinomio de Taylor de f centrado en a de grado n entonces: 1. El polinomio p n (x) es de grado menor o igual que n. 2. El polinomio p n (x) es el único polinomio de grado menor o igual que n que satisface p (a) =f (a), p (k) (a) =f (k) (a) k =1,..., n. 3. La recta tangente a la gráfica de f en a es la gráfica de p 1 (x). 4. Si f es un polinomio de grado m entonces p n (x) =f (x) para todo n m. Polinomios de Maclaurin de funciones elementales. f (x) =e x p n (x) =1+x + x2 2! + + xn n! f (x) =senx p 2k+1 (x) =x x3 3! + +( 1)k x 2k+1 (2k +1)! f (x) =cosx p 2k (x) =1 x2 2! + +( 1)k x 2k (2k)! f (x) =log(1+x) p n (x) =x x2 2 + x n +( 1)n 1 n f(x) = 1 1+x p n (x) =1 x + x 2 + +( 1) n x n f (x) =(1+x) α,α R p n (x) = µ α + 0 µ α x + 1 µ α x µ α x n n 3

4 donde para α R y k N µ α α (α 1) (α k +1) =, k k! µ α =1. 0 Operaciones con polinomios de Taylor. Sean f y g dos funciones de clase C n en un intervalo I. Seanp y q los polinomios de Taylor de f y g, respectivamente, centrados en a I ydegradon. 1. Si α, β R entonces el polinomio de Taylor de h = αf + βg centrado en a de grado n es p n = αp + βq. 2. El polinomio de Taylor de h = fg centrado en a de grado n es el polinomio p n que resulta de realizar la operación pq eliminando en el resultado los términos de grado mayor que n. 3. Si g (a) 6= 0entonces el polinomio de Taylor de h = f/g centrado en a de grado n es el polinomio p n que resulta de realizar el cociente p/q con potencias crecientes hasta grado n. 4. El polinomio de Taylor de la derivada h = f 0 centrado en a de grado n 1 es p n 1 = p El polinomio de Taylor de una primitiva h de f centrado en a ydegrado n +1es la primitiva p n+1 de p que satisface que p n+1 (a) =h (a). 6. Si ep es el polinomio de Taylor de f centrado en g (a) de grado n entonces el polinomio de h = f g de Taylor centrado en a de grado n, p n,eselresultado de realizar la operación p q eliminando en el resultado los términos de grado mayor que n El teorema de Taylor. Error cometido por el polinomio de Taylor. Sea f una función de clase C n en I y a I. Elerror cometido por el polinomio de Taylor de f centrado en a de grado n es r n (x) =f (x) p n (x) para cada x del dominio de f. Deestaforma se tiene que f (x) =p n (x)+r n (x), expresión que se denomina fórmula de Taylor. Teorema de Taylor. Sean f función de clase C n+1 en un intervalo I, a I y p n el polinomio de Taylor de f centrado en a de grado n. Entoncesparatodox I existe un valor c entre a y x (es decir, si x>aentonces c (a, x) ysix<a entonces c (x, a)) deformaque r n (x) = f (n+1) (c) (n +1)! (x a)n+1. 4

5 Además se verifica que Por lo tanto x a r n (x) (x a) n =0. f (x) =f (a)+f 0 (a)(x a)+ + f (n) (a) n! (x a) n + f (n+1) (c) (n +1)! (x a)n+1, ecuación que se denomina fórmula de Taylor centrada en a de grado n con resto de Lagrange. El teorema del valor medio (de Lagrange) es un caso particular del teorema de Taylor. Errores de los polinomios de Maclaurin de las funciones elementales. En todos los casos, si x>0 entonces c (0,x) ysix<0 entonces c (x, 0). f (x) =e x r n (x) =e c x n+1 (n +1)! f (x) =senx r 2k+1 (x) =senc ( 1)k+1 x 2k+2 (2k +2)! f (x) =cosx r 2k (x) =senc ( 1)k+1 x 2k+1 (2k +1)! f (x) =log(1+x) r n (x) = ( 1)n x n+1 (1 + c) n+1, x > 1 n +1 f (x) = 1 1+x r n (x) =( 1) n+1 (1 + c) n 2 x n+1, x 6= 1 µ α f (x) =(1+x) α,α R r n (x) =(1+c) α n 1 x n+1, x > 1 n Aplicación: Cálculo de indeterminaciones. Indeterminaciones. Las indeterminaciones se producen en los ites de ciertas operaciones cuando ocurre alguna de las siguientes circunstancias en las cuales no es posible predecir el resultado. Sea a R o a =. 5

6 µ 1. Tipo cociente, 0.Setieneque f =g = o f =g =0 0 x a x a x a x a f y se quiere calcular x a g. La indeterminación puede transformarse en 0 0 haciendo f g = 1/g 1/f. El resto de indeterminaciones pueden transformarse en la anterior. 2. Tipo producto (0 ). Sequierecalcular fg teniéndose que f =0 x a x a y g =. En este caso si se escribe x a fg = f 1/g, se transforma en una indeterminación del tipo anterior. 3. Tipo diferencia ( ). En este caso, se quiere calcular f g teniéndose que f =g =. Paraellosetransformalaexpresióndela x a x a x a siguiente forma f g = f µ 1 g f 4. Tipo potencia (0 0, 0, 1 ). En este caso, se quiere calcular f g donde x a f = g =0, o f = y g =0, o f =1y g =. Para x a x a x a x a x a x a ello se escribe la expresión de la siguiente forma f g = e g log f.. Teorema de L Hôpital. Sean f,g funciones de clase C 1 en un intervalo I y a I tales que g 0 (x) 6= 0para todo x I con x 6= a. f 0 (x) Si se tiene que f (x) = g (x) =0y x a x a x a g 0 (x) = L entonces f (x) x a g (x) = L. Este resultado también es válido si a =. Infinitésimos equivalentes. Sea f una función de clase C n+1, n 1, enun intervalo I y a I de forma que f (a) =f (k) (a) =0para todo k =1,..., n 1 y f (n) (a) 6= 0.Sip (x) es el polinomio de Taylor de f centrado en a de grado n, 6

7 p (x) = f (n) (a) (x a) n, entonces f y p son infinitésimos equivalentes en a, es n! decir f (x) x a p (x) =1. Resolución de indeterminaciones usando infinitésimos equivalentes. Sean f,g dos funciones definidas en un intervalo I y sea a I un punto tal que f (a) =g (a) =0.Sip y q son infinitésimos equivalentes en a de f y g, respectivamente, entonces f (x) x a g (x) = p (x) x a q (x) Aplicación: Búsqueda de extremos de una función. Extremo relativo de una función. Sea f una función definida en un intervalo I. Sedicequef alcanza en el punto a I un máximo (mínimo) relativo si existe un entorno de a donde f esté definida, es decir un intervalo de la forma (a ε, a + ε) I, de manera que para todo x (a ε, a + ε) se verifica que f (x) f (a) (f (x) f (a)). Bajo dicha condición al valor f (a) se le denomina máximo (mínimo) relativo de f. Los máximos y mínimo relativos de f se denominan conjuntamente extremos relativos de f. Condición necesaria de la primera derivada. Si f es de clase C 1 en I y f alcanza un extremo relativo en a I entonces f 0 (a) =0. Punto crítico. Sea f una función de clase C 1 en un intervalo I. Los puntos a I que satisfacen que f 0 (a) =0se denominan puntos críticos de f. Condición suficiente de la segunda derivada. Sea f una función de clase C 3 en un intervalo I y a I un punto crítico de f. Entonces: 1. Si f 00 (a) > 0 entonces f alcanza un mínimo relativo en a. 2. Si f 00 (a) < 0 entonces f alcanza un máximo relativo en a. Si f 00 (a) =0no da información. En este caso, el resultado se puede extender para derivadas de orden superior. Si f es de clase C 4 en el intervalo I y f 000 (a) 6= 0 en el punto crítico a I entonces a es un punto de inflexión de f (punto donde se produce un cambio de convexidad en la gráfica de la función). Extremo absoluto de una función. Sea f una función definida en un intervalo I. Sedicequef alcanza un máximo (mínimo) absoluto para I en a I si para todo x I se verifica que f (x) f (a) (f (x) f (a)). Bajo dicha condición al valor f (a) se le denomina máximo (mínimo) absoluto de f en I. Los máximos y mínimos absolutos de f en I se denominan conjuntamente extremos absolutos de f en I. 7

8 Teorema de Weierstrass. Si f es una función continua en un intervalo cerrado yacotadoi =[a, b] entonces existen el máximo y el mínimo absolutos de f en I. Búsqueda de los extremos absolutos. Sea f de clase C 1 en el intervalo I.Para encontrar los extremos absolutos de f en I necesitaríamos realizar los siguientes pasos: 1. Garantizar la existencia de los extremos requeridos. 2. Encontrar los puntos críticos contenidos en el interior de I. 3. Tomar los extremos del intervalo I. 4. Evaluar f en todos los puntos seleccionados en los apartados 2 y 3. La mayor de dichas evaluaciones es el máximo absoluto de f en I, ylamenor de ellas es el mínimo absoluto de f en I. 8

9 Ejercicios de la lección. Ejercicio Prueba que la función polinómica f(x) =x 3 +2x 1 tiene un único cero en el intervalo [0, 1]. 2. Prueba que la función f(x) =x 3 2x 2 +3x 5 tiene un único cero en toda la recta real y que dicho cero se encuentra en el intervalo [1, 2]. Ejercicio 2. Sea f una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) tal que f[a, b] [a, b] y f 0 (x) 6= 1para todo x [a, b]. Prueba que dicha función tiene un único punto fijo en [a, b], esto es, existe un único valor c (a, b) tal que f(c) =c. Ejercicio 3. Encuentra el número de soluciones que tienen las siguientes ecuaciones en toda la recta real: 1. x 3 12x +3= x 2 +1=0. (Junio 04-05) x 3 +1 Ejercicio 4. Dada la función f(x) =cos(πx), prueba que existe al menos un punto c [1, 2] tal que la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto es y cos(cπ) =2(x c). Ejercicio 5. Halla los polinomios de Maclaurin de las siguientes funciones con el grado indicado. 1. f (x) =e x + e x, grado f (x) =e x sen x, grado3. 3. f (x) =(1+x 2 ) 1, grado f (x) =cos(x 2 ),grado5. 5. f (x) = arctan x, grado f (x) =e sen x,grado4. Ejercicio 6. Halla los polinomios de Maclaurin de las siguientes funciones con el grado indicado. 1. f (x) =(1+cosx) 1, grado f (x) =e x log (1 + x), grado4. 3. f (x) =(x 1) 3, grado f (x) = 3 1 x, grado4. 5. f (x) = 1+x 4, grado f (x) =x 2 1 x 2, grado 8. x (Primer Parcial 04-05) 7. f (x) =, grado x4 Ejercicio 7. CalculalospolinomiosdeTaylordegrado4delasfuncionesquese indican a continuación centrados en el punto dado. 1. f (x) =(1 x) 1 centrado en a =0. 9

10 2. f (x) =x (1 + x) 1 centrado en a =1. 3. f (x) =logx centrado en a =1. 4. f (x) =x 3 2x 2 +3x 5 centrado en a =2. Ejercicio 8. Determina los polinomios de Maclaurin de grado 3 de las primitivas que se anulan en x =0de las siguientes funciones f (x) =e x2. 2. f (x) = Ejercicio 9. 1 cos x x 2, x 6= 0 1 2, x =0. 1. Aproxima el número e usando el polinomio de Maclaurin de f (x) =e x de grado 4 y estima el error cometido. 2. Aproxima el número sen (0.5) usando el polinomio de Maclaurin de la función f (x) =senx de grado 5 y estima el error cometido. 3. Aproxima el número log (0.9) usando el polinomio de Maclaurin de la función f (x) =log(1+x) de grado 4 y estima el error cometido. 4. (Junio 08-09) Aproxima el número (1,1) 5/2 usando el polinomio de Maclaurin de la función f(x) = de grado 2 y estima el error cometido. q(1 x) 1 5 Ejercicio 10. Resuelve los siguientes ites en función del párametro a. log x 1. xa,a R. 2.,a R. x 0 + x 0 + xa log x e x 3.,a R. 4.,a R. x + xa x + xa Ejercicio 11. Resuelve los siguientes ites. 1. xsen x. 2. x +1 x. x 0 + x + 3. µ1+ 1 x µ x. x 0 x x + x 5. (sen x) tan2 x. x π 2 Ejercicio 12. Resuelve los siguientes ites. 1. sen x. 2. x sen x + x 0 x x 0 10 sen x x.

11 Ejercicio 13. Resuelve los siguientes ites. sen (x 4 ) x sen x 1. x 0 (e 2x ) x 0 + (x sen x) 3 2 µ 1 sen (2x)cos(x) tan x x x π. 2 x sen (4x) x 0 + x x tan x tan 2 x 5.. (Primer Parcial 05-06) x 0 sen 2 x x sen x Ejercicio 14. (Septiembre 03-04) Consideralafunción 1+x2 1 x f (x) = arctan 2 1+x2 + 1 x. 2 Se pide: 1. Comprueba que f 0 (x) = x 1 x 4 2. Obtén el polinomio de Maclaurin de grado 4n +1,conn N, delafunción f 0 (x). 3. Calcula, haciendo uso del apartado anterior, el polinomio de Maclaurin de grado 4n +2,conn N, de la función f (x). 4. Halla x 0 1 sen 2 x arctan 1+x2 1 x 2 1+x2 + 1 x. 2 Ejercicio 15. (Primer parcial 06-07) Obtén el polinomio de Maclaurin de grado 6def (x) = 3 1 x 2 y resuelve el ite x x2 1+x 2 x log (1 + x). Ejercicio 16. (Primer Parcial 07-08) Construye el polinomio de Maclaurin de grado 5 de la función f(x) =x 2 log (1 + 3 sen x) y halla el ite x 0 f(x) (1 cos x) 3/2. Ejercicio 17. (Primer Parcial 08-09) Consideralafunciónf (x) = p 1+log(1+x). Construye su polinomio de Maclaurin de grado 3 y calcula el ite x 0 2f (x) 2 x. x sen x Ejercicio 18. Encuentra los máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones en los intervalos mencionados. 11

12 2(x 1) 1. f (x) = log (x 2 ) en R. x 2. f (x) =e x sen x en ( 2π, 2π). 3. f (x) =x n e x en R. Ejercicio 19. Encuentra el extremo absoluto requerido de las siguientes funciones en los intervalos mencionados. 1. El mínimo absoluto de f (x) = x 4 3x 2 +4en [ 1, 2] El máximo absoluto de f (x) = en [0, 1]. (1 + x) El máximo absoluto de f (x) = 6x x 3 en [0, 3]. Ejercicio 20. Sea g (x) la primitiva de f (x) = ex x tal que g (1) = 0. Sepide: 1. Halla el polinomio de Taylor de grado 2 de g en a =1. 2. Aproxima g (1.1) usando el polinomio anterior. 3. Encuentra el máximo absoluto de x 2 2x +2 en [1, 1.1]. 4. Estima el error cometido por la aproximación del apartado 2 haciendo uso del apartado 3. 12