Resumen 8: La recta real y el espacio métrico R n. Funciones de una variable: límites, continuidad y cálculo diferencial

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1 Resumen 8: La recta real y el espacio métrico R n. Funciones de una variable: límites, continuidad y cálculo diferencial 1 La recta real R R, el conjunto de los números reales, son los números decimales (sean periódicos o no). Lo veremos como una recta, la recta real. Densidad: Dados a<bexisten α Q y β R Q tales que a<α <by a<β <b. x si x>0 Dado x, elvalor absoluto de x es x =max{x, x} = x si x<0 0 si x =0 Desigualdad triangular: x, y R se cumple que x + y x + y Infinito: Intervalos abiertos: ]a, b[= {x R : a<x<b} ]-,b[= {x R : x<b} y ]a, + [= {x R : a<x} Intervalos cerrados: [a, b] ={x R : a x b} ]-,b]={x R : x b} y [a, + [= {x R : a x} Intervalos ni abiertos ni cerrados: ]a, b] ={x R : a<x b} y [a, b[= {x R : a x<b}. El espacio métrico R n Distancia usual en R d(x, y) = x y Distancia usual en R d[(x 1,x ), (y 1,y )] = p (x 1 y 1 ) +(x y ) Bola abierta B(a, r) ={x R n : d(x, a) <r}. Bola cerrada B(a, r) ={x R n : d(x, a) r} a es un punto interior de X si existe B(a, r) X. a es un punto de acumulación de X si toda B(a, r) contiene infinitos puntos del conjunto X. X es abierto si todo punto de X es un punto interior de X X es cerrado en el espacio métrico si su complementario R n X es abierto. Observación: La idea intuitiva es que un conjunto es abierto cuando no tiene puntos que estén en el borde, cuando están todos encerrados en el interior, y que un conjunto es cerrado si todo el borde del conjunto pertenece a él. X es acotado si está contenido en alguna bola. X es compacto si es cerrado y acotado. 1

2 3 Dominio. Funciones usuales. Operaciones con funciones Función real de variable real f : D R R, D = Domf es el dominio. Entenderemos el dominio como el conjunto más amplio posible de puntos en el que está definida la función. La gráfica de f es la representación en el plano de todos los puntos (x, f(x)) con x Domf. OPERACIONES CON FUNCIONES Suma y resta de funciones (f ± g)(x) =f(x) ± g(x) Producto por números (α f)(x) =α f(x) Producto de funciones (f g)(x) =f(x) g(x) Cociente de funciones f f(x) (x) = g g(x) Exponenciación f(x) g(x) Composición (f g)(x) =f(g(x)) Función constante f(x) =k Función identidad I(x) =x Una función biyectiva f tiene inversa f 1,queverifica que f f 1 = f 1 f = I A veces se restringe el dominio o el codominio para que la función tenga inversa en algunos trozos. FUNCIONES USUALES 1. Los polinomios expresión general recta horizontal recta oblícua parábola potencia n-ésima a 0 + a 1 x + a x a n x n k ax + b ax + bx + c x n. Función exponencial y su inversa (logaritmo) Dado a>0, a 6= 1se tiene que exponencial de base a a x logaritmo de base a log a x Propiedades exponencial a 0 =1 a x+y = a x a y a x y = ax a y a log a x = x x >0 logaritmo log a 1=0 log a xy =log a x +log a y x log a y =log a x log a y log a (a x )=x x Logaritmo neperiano =silabaseeselnúmeroe ' Funciones trigonométricas principales Seno, coseno y tangente. En un triángulo rectángulo de hipotenusa 1 y tal que uno de los ángulos distintos del ángulo recto es x el valor sin x representa el cateto opuesto al ángulo y cos x el cateto contiguo. tan x = sin x cos x 4. Éstas funciones admiten inversas de modo local: arcsin x, arccos x, arctan x. sin x +cos x =1 1+tan x = 1 cos x sin(arcsin x) = x cos(arccos x) = x tan(arctan x) = x arcsin(sin x) = x arccos(cos x) = x arctan(tan x) = x Funciones sinusoidales: Son del siguiente tipo (o combinación de ellas) f(x) = A sin(bx + C)+D f(x) = A cos(bx + C)+D

3 5. Funciones hiperbólicas principales Seno hiperbólico (sinh x = ex e x ), coseno hiperbólico (cosh x = ex +e x ) y tangente hiperbólica (tanh x = sinh x cosh x ). Inversas: argumento seno hiperbólico (arg sinh x), argumento coseno hiperbólico (arg cosh x) yargumento tangente hiperbólica (arg tanh x). Fórmula: sinh x +1=cosh x 4 Límite de una función en un punto Idea intuitiva de límite: lim f(x) =L si para valores de la variable x cercanos a (pero diferentes de) a los valores de f(x) son cercanos al límite L. También pueden definirse los límites por la izquierda y por la derecha, tomando puntos sólo por el lado correspondiente. El límite es único si existe, y no depende del valor de la función en el punto, si es que dicho valor existe. Cuando no hay problemas de sustitución calcular el límite consiste en sustituir en el punto. Hay límites que dan infinito lim f(x) =± y también se pueden estudiar límites cuando x tiende a infinito lim x + f(x). Límite de polinomios en el infinito: límite es la propia constante). lim p(x) = (salvo que sea un polinomio constante, en cuyo caso el x 4.1 Operaciones con límites. Indeterminaciones. Límites de funciones racionales Las operaciones usuales con límites se conservan, siempre que la operación que se realiza tenga sentido: lim f(x) ± g(x) = lim f(x)± lim g(x) f(x) lim g(x) = lim f(x) lim g(x) lim f(x) g(x) = lim f(x) lim g(x) lim f(x) g(x) = lim f(x) lim g(x) Los límites también se conservan al componer con las funciones usuales tales como los polinomios, las trigonométricas, las exponenciales, los logaritmos, etc (las funciones que después denominaremos continuas). Las operaciones anteriores son válidas también en algunos contextos más generales. De ahí que a veces podamos extender estas operaciones a casos en los puedan aparecer algunos infinitos u otros casos no incluidos inicialmente entre los posibles. Dentro de estos casos nos aparecen operaciones válidas y otras no válidas, denominadas indeterminaciones. Todos estos casos están reflejados en la parte de operaciones simbólicas dada en el apéndice del tema. Las indeterminaciones son: Para los últimos tres casos podemos aplicar la fórmula f(x) g(x) = e g(x) log(f(x)) y transformar la indeterminación inicial en una de los primeros tipos. Límite de funciones racionales (cocientes de polinomios) en el infinito: p(x) lim x q(x) = 0 si s>r si r>s α λ si r = s donde p(x) =αx r βx + γ q(x) =λx s μx + δ 5 Continuidad Una función f es continua en un punto a si: 1. Existe (y es finito) lim f(x).. f está definida en el punto a. 3

4 3. f(a) = lim f(x). Continuidad por la derecha (o izquierda) = cambiar el límite por el límite por la derecha (o izquierda). Una funciónescontinuaenunintervalosi lo es en todo punto del intervalo (si el intervalo contiene algún extremo, se supone la continuidad lateral en dicho extremo). Las funciones usuales (como polinomios, trigonométricas, exponenciales, logaritmos etc.) son continuas en todo punto del dominio. Si realizamos operaciones usuales (suma, resta, producto, cociente, exponenciación, composición, etc.) con funciones continuas, el resultado es una función continua, siempre en puntos del dominio. Teorema de Bolzano: Sea f :[a, b] R una función continua tal que los signos de f(a) y f(b) son distintos. Entonces existe algún punto a<c<btal que f(c) =0. Teorema de Weierstrass: Sea f :[a, b] R una función continua. Entonces f está acotada en [a, b] y además existen dos puntos del intervalo en los que se alcanza el máximo y el mínimo de la función en el intervalo. 6 Derivabilidad El límite f 0 f(x) f(a) (a) = lim x a función es derivable en a. es la derivada de f en el punto a. Cuando existe y es finito decimos que la Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. Una función es derivable en un intervalo ]a, b[ si lo es en todo punto del intervalo. Las funciones usuales (como polinomios, trigonométricas, exponenciales, logaritmos etc.) son derivables en todo punto del dominio y si realizamos operaciones usuales (suma, resta, producto, cociente, exponenciación, composición, etc.) con funciones derivables en algún punto, el resultado es una función derivable en dicho punto. 6.1 Reglas de derivación Suma [f(x)+g(x)] 0 = f 0 (x)+g 0 (x) f y g funciones Resta [f(x) g(x)] 0 = f 0 (x) g 0 (x) f y g funciones Producto por un número [k f(x)] 0 = k f 0 (x) f y g funciones, k R Cociente entre un número [ f(x) k ]0 = f 0 (x) k f y g funciones, k R Producto [f(x) g(x)] 0 = f 0 (x) g(x)+f(x) g 0 (x) f y g funciones 0 f(x) Cociente = f 0 (x) g(x) f(x) g 0 (x) g(x) g(x) f y g funciones Composición (regla de la cadena) (g f) 0 (x) =(g[f(x)]) 0 = g 0 [f(x)] f 0 (x) f y g funciones 4

5 6. Derivadas de funciones usuales Constante (k) 0 =0 Potencia (n R) (x n ) 0 = nx n 1 [f(x) n ] 0 = nf(x) n 1 f 0 (x) Exponencial (a R) (a x ) 0 = a x log a [a f(x) ] 0 = a f(x) f 0 (x) log a Exponencial de base e (e x ) 0 = e x (e f(x) ) 0 = e f(x) f 0 (x) Logaritmo (a R) (log a x) 0 = 1 x 1 log a (log a [f(x)]) 0 = f 0 (x) f(x) 1 log a Logaritmo de base e (log x) 0 = 1 x (log[f(x)]) 0 = f 0 (x) f(x) Seno (sin x) 0 =cosx (sin[f(x)]) 0 =cos[f(x)] f 0 (x) Coseno (cos x) 0 = sin x (cos[f(x)]) 0 = sin[f(x)] f 0 (x) Tangente (tan x) 0 = 1 cos (tan[f(x)]) 0 = f 0 (x) x cos [f(x)] Cotangente (cot x) 0 = 1 sin (cot[f(x)]) 0 = f 0 (x) x sin [f(x)] Arcoseno (arcsin x) 0 1 = (arcsin[f(x)]) 0 f 0 (x) = p 1 x 1 f(x) Arcocoseno (arccos x) 0 1 = (arccos[f(x)]) 0 = f 0 (x) p 1 x 1 f(x) Arcotangente (arctan x) 0 = 1 1+x (arctan[f(x)]) 0 = f 0 (x) 1+f(x) Seno hiperbólico (sinh x) 0 =coshx (sinh[f(x)]) 0 =cosh[f(x)] f 0 (x) Coseno hiperbólico (cosh x) 0 =sinhx (cosh[f(x)] 0 =sinh[f(x)] f 0 (x) Argumento seno hiperbólico (arg sinh x) 0 1 = (arg sinh[f(x)]) 0 f 0 (x) = p 1+x 1+f(x) Argumento coseno hiperbólico (arg cosh x) 0 = 1 x 1 (arg cos[f(x)]) 0 = f 0 (x) p f(x) 1 Derivada de una función potencial-exponencial: 6.3 Interpretaciones de la derivada [g(x) h(x) ] 0 = g(x) h(x) [h 0 (x)log[g(x)] + h(x)g0 (x) ] g(x) La derivada de una función puede interpretarse como una medición del incremento (o variación) de la función por cada unidad de la variable. En física una de las interpretaciones más conocidas de la derivada es la que permite obtener la velocidad de un objeto a partir de su posición, derivando con respecto al tiempo. Geométricamente la derivada representa la pendiente de la recta tangente: Sea y = f(x) una curva, donde f es una función derivable. La recta tangente a la curva en el punto (a, f(a)) es la que tiene por ecuación y = f(a)+f 0 (a)(x a) ylarecta normal es y = f(a) 1 f 0 (x a) (a) 6.4 Derivadas de orden superior (f 0 ) 0 = f 00, (f 00 ) 0 = f 000, (f 000 ) 0 = f IV, (f IV ) 0 = f V,..., derivada n-ésima f (n) Función de clase C n = existe la derivada n-ésima yéstaescontinua Función de clase C = existen todas las derivadas. 6.5 Cambios de variable dy dx = dy dt dt dx 5

6 7 Propiedades gráficas de las funciones derivables 7.1 Crecimiento y decrecimiento La primera función es creciente y la segunda es decreciente. Si f 0 (x) tiene signo positivo la función f será creciente, ysif 0 (x) tiene signo negativo la función f será decreciente. 7. Máximos y mínimos 7..1 Máximos y mínimos relativos Se tiene un máximo relativo en a si f(a) es el valor mayor de todos los alrededores. Simétricamente ocurre con un mínimo relativo. Ambos son se llaman extremos relativos. Si hay extremo relativo en a entonces f 0 (a) =0 (se dice que a es un punto crítico de f). La primera gráfica muestra un máximo relativo y la segunda un mínimo. Propiedad: Si a es un punto crítico de f, entonces: 1. Si f 00 (a) > 0 la función tiene en a un mínimo relativo y si f 00 (a) < 0 la función tiene en a un máximo relativo.. Si existe B(a, r) que cumple que la función f es creciente en los puntos de la bola que están a la izquierda de a y decreciente en los puntos de la bola que están a la derecha, entonces f presenta en a un máximo relativo. Simétricamente, si a la izquierda decrece y a la derecha crece, se alcanza un mínimo relativo. 7.. Máximos y mínimos absolutos Máximo absoluto de f = valor máximo de la función (simétricamente mínimo). En la gráfica 6

7 x vemos que el mínimo absoluto de la función en el intervalo representado se alcanza en el extremo izquierdo del intervalo, mientras que el máximo absoluto se alcanza en el interior (en el punto 0, donde la función presenta un máximo relativo). Si evaluamos la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo, los valores máximo y mínimo serán los correspondientes máximo y mínimo absolutos de la función en dicho intervalo. Teorema de Rolle: Sea f :[a, b] R una función continua, que además es derivable en ]a, b[. Si f(a) =f(b) entonces existe algún punto interior c tal que f 0 (c) =0. Teorema de los Incrementos Finitos de Lagrange: Seaf :[a, b] R una función continua, que además es derivable en ]a, b[. Entonces existe algún punto c ]a, b[ tal que 8 Regla de l Hôpital f(b) f(a) b a = f 0 (c) f(x) lim g(x) = lim f 0 (x) g 0 (x) si el primer límite da 0 0 ó (esta regla funcionará en la mayoría de casos que veamos). Observación: Cuando tienden a infinito las funciones exponencial, polinómica y logarítmica, la exponencial es la que tiene más potencia, seguida de la polinómica y finalmente de la logarítmica. 9 Desarrollos de Taylor fórmula de Taylor o desarrollo de Taylor (de orden n de f en a): donde el polinomio de Taylor es p n (x) =f(a)+ f 0 (a) 1! (x a)+ f 00 (a)! f(x) =p n (x)+r n (x) (x a) + f 000 (a) 3! (el resto de Taylor es R n (x) =f(x) p n (x)) Observación: Para cada n el número n! se llama factorial de n yvale n! =n (n 1) (n ) 3 1 (x a) f (n) (a) (x a) n n! Forma de Lagrange del resto: R n (x) = f (n+1) (c) (n +1)! (x a)n+1 donde c depende de x yestáentreélya. 9.1 Acotación del resto Sea f una función derivable en un intervalo ]a r, a + r[ para la que se cumple que f (i) (c) K, paratodoi ypara todo c ]a r, a + r[. Entonces si aproximamos el valor de f(x) por el de su polinomio de Taylor de orden n en el punto a, para puntos x ]a r, a + r[, el error que se comete en esta aproximación es R n (x) = f (n+1) (c) (x a)n+1 (n +1)! K (n +1)! rn+1 7

8 y esta expresión tiende a cero cuando n tiende a infinito o cuando r tiende a 0. Con lo cual la aproximación que hacemos del valor de la función por el valor del polinomio, será muy buena cuando n es muy grande o cuando r es muy pequeño, pues el error cometido, que es el resto, tiende a cero. 8