Integración Numérica

Transcripción

1 Integración Numérica

2 Contenido Integración Numérica Método de Coeficientes Indeterminado Método de Curvatura de Newton-Cotes Método de Romberg

3 Integración Numérica Los métodos numéricos utilizados para resolver la Integración Definida de una función son: Método de Coeficientes Indeterminados Método de Curvatura de Newton-Cotes Método de Romberg

4 Integración Numérica La Integral Definida se expresa como bb II = ff xx dddd aa donde ff(xx) es una función continua en el intervalo (aa, bb), y esta representa el área bajo la curva de yy = ff(xx) entre xx = aa y xx = bb. Si se divide el intervalo (aa, bb) en NN subintervalos (xx ii, xx ii+11 ) de longitud hh (hh = xx), obtenemos una serie de rectángulos de ancho hh y altura ff(xx ii ) y el área de cada uno de ellos es ff(xx ii )hh.

5 Integración Numérica El área bajo la curva puede ser aproximada por la suma de las áreas de estos rectángulos, por lo que podemos obtener la Integral Definida de la siguiente forma Por lo tanto, un método de aproximación de I sería el cálculo de la suma de las áreas donde nn es un número entero muy grande pero finito.

6 Integración Numérica Intuitivamente, una mejor aproximación numérica de la integral definida podría ser el cálculo de la suma de las áreas trapezoidales, donde el área del trapezoide i sería La suma TT de estas áreas trapezoidales es entonces

7 Integración Numérica Examinando las fórmulas anteriores podemos ver que cualquiera de estos dos métodos numéricos de aproximación de una integral definida puede ser escrita forma de la suma de los pesos de las ordenadas donde AA ii son constantes apropiadas (pesos), y la ff(xx ii ) son ordenadas de la función escogidas apropiadamente. El error entre la integral definida y estas aproximaciones lo podemos obtener con la siguiente relación

8 Método de Coeficientes Indeterminados En esta sección se determinará el juego de constantes AA ii tal que el Error EE definido en la relación sea igual a cero para una xx ii arbitraria y donde ff(xx) es cualquier polinomio pp nn (xx) de grado no mayor de nn.

9 Método de Coeficientes Indeterminados Ahora, si el error EE es cero cuando ff(xx) es cualquier polinomio de grado no mayor que nn, entonces deberá ser cero cuando ff xx = 11, xx, xx 22,, xx nn. Por sustitución sucesiva de 11, xx, xx 22,, xx nn para ff(xx) en la ecuación del error, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones, las cuales son lineales y con constante desconocida AA ii (considerando la restricción EE = 00 para cada caso)

10 Método de Coeficientes Indeterminados

11 Método de Coeficientes Indeterminados Escribiendo las ecuaciones anteriores en forma matricial obtenemos Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos los valores de AA ii los cuales los podemos aplicar a la siguiente fórmula para obtener la aproximación de la integral definida

12 Método de Coeficientes Indeterminados Ejemplo: Encontrar la Integral de cosh(xx) de 0 a 2. Considerando los puntos xx = 0, xx = 1, xx = 2 y ff(xx) = cosh(xx)

13 Método de Coeficientes Indeterminados

14 Método de Coeficientes Indeterminados La solución exacta del ejemplo es: Entonces el error total es: Error = =

15 Método de Curvatura de Newton-Cotes Las reglas de trapecios, Simpson 1/3 y Newton 3/8 pertenecen a la clase denominada Curvatura de Newton de métodos de integración numérica para aproximar bb II ff xx dddd aa Estas fórmulas son denotadas por QQ nnnn y son de la forma general donde ff (xx) es un polinomio de interpolación.

16 Método de Curvatura de Newton-Cotes Características: 1. Para valores igualmente espaciados de xx, es decir xx ii+11 xx ii = hh 2. La ff(xx) se aproxima por un polinomio de interpolación de Diferencias Finitas Hacia Adelante de Newton, PP kk (xx) donde: kk nn, para nn impar kk nn + 11, para nn par 3. Se tomarán grupos de NN subintervalos, para calcular PP kk (xx) en cada grupo

17 Método de Curvatura de Newton-Cotes Regla Trapezoidal QQ 1111 Regla de Simpson 1/3 QQ 2222 Regla de Newton 3/8 QQ 3333

18 Método de Romberg Más eficiente computacionalmente, mayor precisión. El método consiste de 2 pasos: a) Calcular aproximaciones de aa bb ff xx dddd usando QQ 1111 (método de trapecios), para diferentes valores hh kk ; donde (bb aa) hh kk = 22 kk ; kk = 00, Llamaremos TT 00 kk

19 Método de Romberg b) Aplicar la fórmula recursiva de Romberg sobre las aproximaciones TT kk 00 encontradas en a), para encontrar las aproximaciones TT kk 11. La fórmula se aplican hasta donde sea posible. TT kk mm = 44mm TT kk+11 kk mm 11 TT mm mm 11

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23 Problemas 1. Use el método de Coeficientes Indeterminados para aproximar usando xx 0 = 0.0, xx 1 = 0.5, xx 2 = Aproxime Usando: a) Regla Trapezoidal con h = 0.125; b) Regla de Simpson 1/3 con h = 0.125; c) Regla de Newton 3/8 con h = 2/12.

24 Problemas 3. Aproxime la siguiente función con el Método de Romberg con h = 1, 0.5, 0.25, 0.125, hasta que h d = Considere para éste caso, 9 dígitos de precisión.

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