CÁLCULO NUMÉRICO (0258) TERCER PARCIAL (25%) 28/06/10. c. Estime el error cometido al considerar la fórmula y compare con el error real.

Transcripción

1 CÁLCULO NUMÉRICO (58) TERCER PARCIAL (5%) 8/6/. Sea la fórmula de diferenciación numérica f(x) f(x + ) + f(x + ) f ''(x). a. Utilizando series de Talor deduzca el término de error. b. Use la fórmula para calcular la segunda derivada de f(x) = cos(x) en c. Estime el error cometido al considerar la fórmula compare con el error real. π x = con =.. ( + + = puntos). Sea la expresión de la forma f(x)dx Af( ) + Bf( ). a. Halle A B para que la expresión dada resulte exacta para todos los polinomios de grado. b. Transforme la fórmula anterior en una que sirva para integrar sobre [a,b] encuentre el término de error. ( + = puntos). Determine k, k, k k de forma tal que la aproximación f(x)dx k f() + k f() + k f '() + k f '() resulte exacta para los polinomios de más alto grado posible. ( puntos). Sea el problema de valor inicial 5x ' = x, () =. a. Estime el valor de (.5) con =.5 mediante el método de: a.. Talor de tres términos. b. Si la solución exacta es método del apartado anterior. a.. Runge-Kutta de to orden. x = 5 e, compare (.5) con el valor obtenido en cada 5. Dada la ecuación diferencial ' = x, determine el valor de: ( + + = 5 puntos) a. positivo si al aplicar el método de Heun se obtiene en la novena iteración x9 =.5, (x 9) =.89 en la décima iteración (x ) =.89. b. xk si al aplicar el método de Runge-Kutta de do orden (punto medio) con =. se obtiene en la iteración k-, (x k ) =.7 en la iteración k, (x k) =.85. ( + = puntos)

2 CÁLCULO NUMÉRICO (58) TERCER PARCIAL (5%) 8/6/ PREGUNTA. Sea la fórmula de diferenciación numérica f(x) f(x + ) + f(x + ) f ''(x). a. Utilizando series de Talor deduzca el término de error. f(x + ) = f(x) f '(x).f ''(x).f '''( ξ) f(x + ) = f(x) + f '(x) +.f ''(x) +..f '''( ξ) f(x + ) + f(x + ) = f(x) + f ''(x) + f '''( ξ) f(x) f(x + ) + f( x + ) = f ''(x) + f '''( ξ) f(x) f(x + ) + f(x + ) f ''(x) = f '''( ξ) Por lo tanto, el término de error es f '''( ξ ). b. Use la fórmula para calcular la segunda derivada de f(x) = cos(x) en π ( puntos) ( puntos) x = con =.. ( punto) π π π f( ) f( +.) + f( +.) π f ''( )...6 =.6. c. Estime el error cometido al considerar la fórmula compare con el error real. PREGUNTA. Sea la expresión de la forma Estimación =., Error = =.777 <. f(x)dx Af( ) + Bf( ). ( punto) ( puntos) a. Halle A B para que la expresión dada resulte exacta para todos los polinomios de grado. Por lo tanto A = B =. dx = A + B =, xdx = A + B =. ( punto) b. Transforme la fórmula anterior en una que sirva para integrar sobre [a,b] encuentre el término de error.

3 CÁLCULO NUMÉRICO (58) TERCER PARCIAL (5%) 8/6/ a b b a b a (b a) b a a + b a + b f(x)dx f a f a f f = +. Calculando el término del error: a+ a ( puntos) f(x)dx = f(a + ) + f(a + ) + E() F(a + ) F(a) = f(a + ) + f(a + ) + E() F(a) + F'(a)() + F''(a)() + F''( ξ)() F(a) = f(a) + f'(a) + f''( ξ ) + f(a) + f '(a)() + () f''( ξ ) + E() 6 F(a) + F'(a)() + F''(a)() + F''( ξ)() F(a) = f(a) + f'(a)() + () f ''( ξ ) + E() 6 f(a)() + f'(a)() + f ''( )() f(a)() 6 ξ = + f '(a)() + () f''( ξ ) + E() E() = () f ''( ξ)( ) 6 Por lo tanto el término de error viene dado por 7 9 E() = () f ''( ξ)( ) = () f ''( ξ ) = f ''( ξ ) = f ''( ξ ) = (b a) f ''( ξ ) 6 PREGUNTA. Determine k, k, k k de forma tal que la aproximación f(x)dx k f() + k f() + k f '() + k f '() resulte exacta para los polinomios de más alto grado posible. Usando el método de los coeficientes indeterminados, se tiene: dx = k + k =, xdx = k + k + k =, 8 x dx = k + k =, x dx = 8k + k =. ( puntos) De las últimas dos ecuaciones se tiene que k = k =. De la primera ecuación se tiene que k = sustituendo todos los valores conocidos en la segunda ecuación se tiene que k =. Con estos valores se asegura exactitud para todos los polinomios de grado. Construendo otra ecuación sustituendo estos valores se tiene que 8 x dx = 6k + k = 6 = De modo que el grado más alto posible es.

4 CÁLCULO NUMÉRICO (58) TERCER PARCIAL (5%) 8/6/ PREGUNTA. Sea el problema de valor inicial 5x ' = x, () =. a. Estime el valor de (.5) con =.5 mediante el método de: a.. Talor de tres términos. 5x 5x 5 5x + 5x 5x (5 puntos) ( puntos) 5x 5 5x x 5 5x' 5x '' = '(x,) = x' = x x 5x 5 + = + x = + x 5 5x + 5x 5x + x 5 5x + x = = (.5) (.5) (.5) () +.5 (, ) + '(, ) = =.565 (.5) (.5) (.5) +.5 (.5,.565) + '(.5,.565) a.. Runge-Kutta de to orden. (.5) = k k ( puntos) k = f(, ) = =, k = f( +, + ) = f(, ) = = =.65 5 k = f( +, + ) = f(, + ) = f(, ) =.67 5 k = f( +.5, +.5 k ) = f(,.577) =.5769 = (.5) () + ( ).59 k = f(,.59) =.657, k = f(.75,.9658) =.6679 k = f(.75, ) = f(.75,.55) = k = f(.5, ) = f(.5,.5565) = (.5) (.5) + ( ).5558 b. Si la solución exacta es método del apartado anterior. x = 5 e, compare (.5) con el valor obtenido en cada Error Talor de tres términos: =.66. Error Runge-Kutta de to orden: =.. ( punto)

5 CÁLCULO NUMÉRICO (58) TERCER PARCIAL (5%) 8/6/ PREGUNTA 5. Dada la ecuación diferencial ' = x, determine el valor de: ( puntos) a. positivo si al aplicar el método de Heun se obtiene en la novena iteración x9 =.5, (x 9) =.89 en la décima iteración (x ) =.89. (x ) = (x9 + ) = (x 9) + f(x 9,(x 9)) + f(x9 +,(x 9) + f(x 9,(x 9)) b. k ( puntos).89 = ( ).89 = (.5689).6 = = (.658) = = =.775, =.5 x si al aplicar el método de Rugge-Kutta de do orden (punto medio) con =. se obtiene en la iteración k-, (x k ) =.7 en la iteración k, (x k) =.85. ( punto) (x k) = (xk + ) = (x k ) + f(x k, (x k ) f(x k, (x k )) ) =.7 +. xk (xk +.7) =..5xk =..5xk xk =.5