CÁLCULO NUMÉRICO (0258) Tercer Parcial (20%) Jueves 27/09/12
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- Rubén Márquez Espinoza
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1 Universidd Centrl de Venezuel Fcultd de Ingenierí Deprtmento de Mtemátic Aplicd CÁLCULO NUMÉRICO (58 Tercer Prcil (% Jueves 7/9/ Se l fórmul de diferencición numéric f(x f(x + + f(x + f ''(x Usndo series de Tylor deduzc el término de error Utilice l fórmul pr clculr l segund derivd de f(x = sen(x en x = con Se l siguiente fórmul de cudrtur llmd punto medio dd por + f(xdx ( f = ( + = 4 puntos Clcule el término del error pr dic fórmul e indique pr qué tipo de funciones result exct (4 puntos Use el resultdo nterior pr cotr el error cometido cundo se plic l fórmul de cudrtur de punto medio pr clculr l integrl sen(xdx ( punto Se l siguiente fórmul de cudrtur dd por f(xdx Af( + Af(x Determine ls constntes A, A y x pr otener el myor grdo de precisión posile A prtir de l fórmul nterior, oteng un expresión pr f(xdx c Use l fórmul nterior pr clculr un vlor proximdo pr l integrl sen(xdx 4 Se l ecución diferencil y' = x + y, y( = 5 (5 + + = 8 puntos Usndo el método de Euler modificdo con = y trjndo con cutro decimles redondedos, proxime y(5 Usndo el método de Tylor de tres términos con = y trjndo con cutro decimles, proxime y(5 c Resuelv l ecución diferencil pr otener el vlor excto y(5 d Clcule el error cometido pr cd método de proximción usdo ( puntos
2 SOLUCIÓN DEL TERCER PARCIAL Se l fórmul de diferencición numéric f(x f(x + + f(x + f ''(x Usndo series de Tylor deduzc el término de error f(x + = f(x f '(x f ''(x f '''( ξ 4 f(x + = f(x + f '(x + f ''(x + f '''( ξ f(x + + f(x + = f(x + f ''(x + f '''( ξ f(x f(x + + f(x + = f ''(x + f '''( ξ f(x f(x + + f(x + f ''(x = f '''( ξ Por lo tnto, el término de error es f '''( ξ ( puntos Utilice l fórmul pr clculr l segund derivd de f(x = sen(x en x = con = ( puntos f( f( f ''( + + f( + sen( + sen( + = = = = Se l siguiente fórmul de cudrtur llmd punto medio dd por + f(xdx ( f Clcule el término del error pr dic fórmul e indique pr qué tipo de funciones result exct Se tiene que Si se tom = (, se tiene que + + f(xdx = ( f + E(, f(xdx = f( + + E( F( + F( = f( + + E( De modo que 8 F( + F '(( + F ''(( + F'''( ξ F( = f( + f '( + f ''( ξ + E( 6 8 F'(( + F''(( + F '''( ξ = f( + f '( + f ''( ξ + E( 6 f( + f '( 8 + f ''( ξ = f( 6 + f '( + f ''( ξ + E( 8 ( E( = f ''( ξ f ''( ξ = f ''( ξ = f ''( ξ E(, = f ''( ξ (4 puntos
3 Use el resultdo nterior pr cotr el error cometido cundo se plic l fórmul de cudrtur de punto medio pr clculr l integrl Se tiene que sen(xdx ( punto ( E(, f ''( ξ Se l siguiente fórmul de cudrtur dd por f(xdx Af( + Af(x Determine ls constntes A, A y x pr otener el myor grdo de precisión posile Construyendo el sistem de ecuciones respectivo se tiene que Por lo tnto dx = A + A = xdx = A + A x = x =, A =, A = 4 4 x dx = A + A x = f(xdx f( + f 4 4 Hst or es exct pr polinomios de grdo menor o igul Se exminrá su exctitud pr polinomios de grdo : 8 x dx = A + A x = (5 puntos Por lo tnto, l fórmul de cudrtur nterior tiene como myor grdo de precisión posile, el grdo A prtir de l fórmul nterior, oteng un expresión pr f(xdx Usndo l fórmul pr cmio de intervlo se tiene que + f(xdx f( + f 4 c Use l fórmul nterior pr clculr un vlor proximdo pr l integrl sen(xdx ( punto ( puntos
4 sen(xdx sen( + sen 45 4 = = Se l ecución diferencil y' = x + y, y( = 5 Usndo el método de Euler modificdo con = y trjndo con cutro decimles redondedos, proxime y(5 f(,5 + f(,y y( + = y( y( +, y y( + f(,5 = = f(, y( + = y( y( + = 5 + = 55 f(,55 + f(,y y( + = y( y( +, y y( + f(, 55 = = f(, y( + = y( y( + = 55 + = 66 f(,66 + f(,y y( + = y( y( +, y y( + f(, 66 = = f(, y( + = y( y( + = 66 + = f(, f(4,y y( + = y(4 y( +, y y( + f(, = = f(4, y( + = y(4 y( + = = 7549 f(4, f(5,y y(4 + = y(5 y(4 +, y y(4 + f(4, 7549 = = f(5, y(4 + = y(5 y(4 + = = 88 Usndo el método de Tylor de tres términos con = y trjndo con cutro decimles, proxime y(5 y'' = + y' = + x + y = x + y = g(x,y y( + = y( y( + y'( + y''( y( + = y( y( + f(,5 + g(,5 y( + = y( = 55 y( + = y( y( + y'( + y''( y( + = y( y( + f(,55 + g(,55 y( + = y( = 66 y( + = y( y( + y'( + y''( y( + = y( y( + f(, 66 + g(, 66 y( + = y( = y( + = y(4 y( + y'( + y''( y( + = y(4 y( + f(, g(, y( + = y( = 75455
5 y(4 + = y(5 y(4 + y'(4 + y''(4 y(4 + = y(5 y(4 + f(4, g(4, y(4 + = y( = 8848 c Resuelv l ecución diferencil pr otener el vlor excto y(5 x 5 y' = x + y, y( = 5 y(x = x + 6e y(5 = 5 + 6e 89 d Clcule el error cometido pr cd método de proximción usdo x Heun Tylor excto error error ( puntos
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