Unidad Temática Integral definida
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- Andrés Sandoval Mendoza
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1 Integrl definid Unidd Temátic Integrl definid Análisis Mtemático (Ingenierí Informátic) Deprtmento de Mtemátic Aplicd Fcultd de Informátic Universidd Politécnic de Vlenci S. Cmp, J.A. Conejero y E. Snbri U.T. 5: Integrción
2 Integrl definid Contenidos 1 Integrl definid Prticiones Integrl de Riemnn Regl de Brrow Áres y volúmenes S. Cmp, J.A. Conejero y E. Snbri U.T. 5: Integrción
3 Prticiones Integrl definid Prticiones Integrl de Riemnn Regl de Brrow Áres y volúmenes Definición (prtición de un intervlo) Ddo un intervlo [,b] R, el conjunto P = {x 0,x 1,...,x n } es un prtición de [,b] si = x 0 < x 1 <... < x n = b. Definición (norm de un prtición) L norm de l prtición P, que denotmos por N(P), viene dd por el máximo de l distnci entre 2 puntos consecutivos de l prtición, es decir: N(P) = mx{x 1 x 0,x 2 x 1,...,x n x n 1 }. Si dd otr prtición P de intervlo [,b] tl que P P, decimos que P es más fin que P, es decir l prtición P tiene más puntos que l prtición P. S. Cmp, J.A. Conejero y E. Snbri U.T. 5: Integrción
4 Integrl de Riemnn Integrl definid Prticiones Integrl de Riemnn Regl de Brrow Áres y volúmenes Definición (función integrble Riemnn) Decimos que un función f definid en [,b] es integrble Riemnn en [,b] si existe el ĺımite n lim f (x i )(x i x i 1 ). N(P) 0 i=1 En este cso, l integrl definid de f en [,b] es el vlor de dicho ĺımite y l denotmos por: n f (x)dx = lim f (x i )(x i x i 1 ). N(P) 0 i=1 S. Cmp, J.A. Conejero y E. Snbri U.T. 5: Integrción
5 Condiciones de integrbilidd Integrl definid Prticiones Integrl de Riemnn Regl de Brrow Áres y volúmenes Cuándo podemos clculr l integrl de Riemnn? Teorem (continuidd implic integrbilidd) Si f es continu en [,b], entonces es integrble Riemnn en dicho intervlo. Es necesrio que f se continu pr que se integrble? No. Si f está cotd en [,b], l continuidd de f fll dentro del intervlos en un número finito de puntos. Teorem (monotoní y cotción es suficiente) Si f es monóton y cotd en [,b], entonces es integrble Riemnn en dicho intervlo. S. Cmp, J.A. Conejero y E. Snbri U.T. 5: Integrción
6 Integrl definid Propieddes de l integrl definid Prticiones Integrl de Riemnn Regl de Brrow Áres y volúmenes Proposición (propieddes) Dd un función f integrble Riemnn en el intervlo [, b], se cumple: 1 Si los ĺımites de integrción coinciden, entonces l integrl es nul: f (x)dx = 0. 2 Si cmbimos el orden de los extremos de integrción, entonces l integrl cmbi de signo: f (x)dx = f (x)dx. b 3 Si f (x) 0 en [,b], entonces f (x)dx 0. 4 f (x)dx f (x) dx S. Cmp, J.A. Conejero y E. Snbri U.T. 5: Integrción
7 Integrl definid Propieddes de l integrl definid Prticiones Integrl de Riemnn Regl de Brrow Áres y volúmenes Proposición (propieddes) Dds dos funciones f, g integrbles Riemnn en el intervlo [,b] y α, β R se cumple: 1 L integrl es linel: (αf (x) + βg(c))dx = α f (x)dx + β g(x)dx. 2 Si f (x) g(x) en [,b], entonces f (x)dx g(x)dx. 3 Ddo culquier c R, tl que c b se cumple: c f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. c S. Cmp, J.A. Conejero y E. Snbri U.T. 5: Integrción
8 Regl de Brrow Integrl definid Prticiones Integrl de Riemnn Regl de Brrow Áres y volúmenes Teorem (regl de Brrow) Si F (x) es un primitiv de l función continu f en [,b], entonces: f (x)dx = F (b) F (). S. Cmp, J.A. Conejero y E. Snbri U.T. 5: Integrción
9 Cmbio de vrible Integrl definid Prticiones Integrl de Riemnn Regl de Brrow Áres y volúmenes Teorem (cmbio de vrible) Si f es continu en [,b], x = u(t) es continu y tiene l derivd continu y no nul en [c,d], donde c = u 1 (), d = u 1 (b), entonces podemos clculr l integrl definid como sigue: u 1 (b) d f (x)dx = f (u(t))u (t)dt = f (u(t))u (t)dt = F (d) F (c), u 1 () c donde F (t) es l primitiv de f (u(t)) en [c,d]. S. Cmp, J.A. Conejero y E. Snbri U.T. 5: Integrción
10 Áres y volúmenes Integrl definid Prticiones Integrl de Riemnn Regl de Brrow Áres y volúmenes Interpretción geométric de l integrl: Áres Si l función f es positiv e integrble Riemnn en [,b], l integrl definid de f en [,b] es el áre de l región comprendid entre l gráfic de l función, el eje 0X (y = 0) y ls dos rects x =, x = b. Si l función f es negtiv en [,b], el áre viene dd por l integrl definid de f. Por tnto, si l función tom en [, b] vlores positivos y negtivos, tendremos que verigur los intervlos donde es positiv y negtiv pr clculr el áre en cd intervlo y luego sumr estos vlores, o equivlentemente clculr l integrl definid del vlor bsoluto de l función. Dds dos funciones f y g integrbles Riemnn en [,b], el áre de l región comprendid entre ls gráfics de mbs funciones y ls dos rects x =, x = b viene dd por l integrl definid en [,b] del vlor bsoluto de l rest de ls funciones, es decir: f (x) g(x) dx. S. Cmp, J.A. Conejero y E. Snbri U.T. 5: Integrción
11 Áres y volúmenes Integrl definid Prticiones Integrl de Riemnn Regl de Brrow Áres y volúmenes Interpretción geométric de l integrl: Volúmenes Se f un función integrble Riemnn en [, b], considermos l región comprendid entre l gráfic de f, el eje OX y ls dos rects x =, x = b. El volumen del cuerpo generdo l girr dich región un vuelt enter lrededor del eje OX viene ddo por l integrl definid: πf 2 (x)dx. El volumen del cuerpo generdo l girr dich región un vuelt enter lrededor del eje OY viene ddo por l integrl definid: 2π xf (x) dx. S. Cmp, J.A. Conejero y E. Snbri U.T. 5: Integrción
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