TREN DE PASAJEROS TREN DE MERCANCÍAS (en horas)

Transcripción

1 Unidd. L integrl definid Resuelve Págin Dos trenes Un tren de psjeros un tren de mercncís slen de l mism estción, por l mism ví en idéntic dirección, uno trs otro, csi simultánemente. Ests son ls gráfics tiempo-velocidd que describen mbos movimientos: VELOCIDAD (en km/h) TREN DE PASAJEROS TREN DE MERCANCÍAS 8 TIEMPO (en hors) Como podemos ver en l gráfic, el tren de psjeros, ls dos hors reduce su velocidd: A qué puede deberse? Por qué no minor l mrch tmbién el otro tren en ese instnte? A ls tres hors, mbos trenes modificn su mrch: el tren de psjeros se detiene durnte breves minutos, mientrs que el tren de mercncís v mu despcio durnte medi hor. Pr hcernos un ide clr de estos movimientos, relicemos lgunos cálculos: ) El tren de psjeros, durnte h, v km/h. Cuántos kilómetros recorre es velocidd? b) De, el tren de psjeros disminue su velocidd. Cuántos kilómetros recorre es velocidd? c) El tren de mercncís minor l mrch ls h. Qué distnci h recorrido hst ese momento? d) Qué distnci recorre el tren de mercncís durnte l medi hor en que v bj velocidd? Hciendo los cálculos nteriores, podrás comprobr que: Ambos trenes recorren km velocidd norml. Reducen l velocidd en el mismo lugr recorren, sí, otros km (puede ser debido obrs en l ví), continución, recuper cd cul su velocidd norml. (es decir, el tren de mercncís no fren cundo el de psjeros, pero sí donde el tren de psjeros). Más delnte, el tren de psjeros pr en un estción. e) A qué distnci de l estción de slid está est otr en l que pr el tren de psjeros? f) Observ que en todos los cálculos que hs relizdo hst hor se hn obtenido áres bjo ls gráfics, roj o zul. Señl en tu cuderno los recintos cus áres hs clculdo sign cd uno su áre correspondiente.

2 Unidd. L integrl definid ) km. b) A km/h durnte de hor, recorre km. c) H ido 8 km/h durnte hors, luego h recorrido 8 km. d) V km/h durnte hor, luego recorre km. e) L prd l hce ls hors; en este momento llev recorrid un distnci de: km en ls dos primers hors km el siguiente curto de hor km los siguientes tres curtos de hor Totl: + + km hst llegr l prd. f ) VELOCIDAD (km/h) 8 Áre Áre PASAJEROS Áre TIEMPO (hors) VELOCIDAD (km/h) 8 Áre MERCANCÍAS Áre TIEMPO (hors)

3 Unidd. L integrl definid Un condición pr que un función se integrble en [, b] Págin Hll gráficmente ls siguientes integrles: ) b + d l b) d ) Es un trpecio cus bses miden cu ltur mide. + Áre + u b) + (Circunferenci) El recinto cu áre queremos clculr es medio círculo de rdio u. Áre π r π π 8 π, u Hll gráficmente ls siguientes integrles: ) ( + ) d b) ( ) d ) ( + ) d + d Llmmos I d e I d. Resolvemos gráficmente mbs integrles pr posteriormente sumr los resultdos. I : + (circunferenci) El recinto cu áre queremos clculr es medio círculo de rdio u. Áre π r π π 8 π, u

4 Unidd. L integrl definid I : Se trt de un rectángulo de dimensiones 8 u 8 u. Por tnto, su áre es u. Finlmente, I + I, +, u. b) ( ) d d d Observmos que se trt de ls misms integrles que en el prtdo ), solo que hor es I I, dndo como resultdo,, u.

5 Unidd. L integrl definid Propieddes de l integrl Págin Dds ls integrles: f () d f () d Cuánto vle f () d? f () d f () d + f () d 8 f () d + 8 f () d Justific est desiguldd: Usndo l propiedd tenemos: Por tnto: b f () d f ( ) d f () f () pr cd [, b] f () d f () d b b b b b b f () f () pr cd [, b] f () d [ f ( ) d] f () d b f () d f () d b Justific ls siguientes implicciones: ) Si f es impr: f () d b) Si f es pr: f () d f () d ) Y X b) Consideremos ls áres comprendids entre l gráfic de l función, el eje horizontl ls rects. Ambs áres son igules, pero, mientrs un qued representd por encim del eje X, l otr qued por debjo debido l simetrí respecto del origen. En consecuenci: Y f () d f () d + f () d f () d + f () d X El áre comprendid entre l gráfic de l función, el eje horizontl ls rects está formd por dos áres simétrics respecto del eje verticl debido l pridd de l función. En consecuenci: f () d f () d + f () d f () d + f () d f () d

6 Unidd. L integrl definid Hll el vlor del punto c que se postul en el T.V.M. del cálculo integrl pr f () + el intervlo [, ]. ( + ) d + que es el áre de un trpecio de bses menor mor f ( ) f (), respectivmente. f (c) [ ( )] f (c) c + c es el vlor del intervlo (, ) que se postul en el T.V.M.

7 Unidd. L integrl definid L integrl su relción con l derivd Págin Se l función F () log( t + ) dt. Clcul F ' (). F () log ( t + ) dt f () t dt, siendo f (t ) log (t + ) continu. Por el teorem fundmentl del cálculo: F '() f () log ( + ) Clcul l siguiente integrl: π/ cos d π/ π/ cos d 8sen B sen π sen

8 Unidd. L integrl definid Regl de Brrow Págin 8 Clcul: ( ) d I < F d n d n, 8 +, 8 Clcul: + d I [ rc tg] rc tg rc tg π Observción: d + π 8

9 Unidd. L integrl definid Cálculo de áres medinte integrles Págin Hll el áre comprendid entre l función el eje X. I. Hllmos ls soluciones de l ecución: Son,. II. f (). Buscmos su primitiv: III. G ( ) G () ( d ), G (), G () IV. G () G ( ) G () G () El áre buscd es: + u (Se inclue l gráfic pr entender el proceso, pero es innecesri pr obtener el áre). 8 8 Hll el áre comprendid entre ls funciones + e + +. Se obtiene l función diferenci: ( + ) ( + + ) Ahor se clcul el áre comprendid entre est función el eje X, lo cul se h hecho en el ejercicio nterior. Por tnto, el áre buscd es u. (Tmbién quí es innecesri l gráfic pr obtener el áre buscd)

10 Unidd. L integrl definid Págin Hll: ) dt b) t t dt c) t dt d) dt t ) dt < F + si t t Luego: dt t b) Como l función f (t ) no está cotd que f (t ) ± cundo t, debemos estudir t por seprdo t dt t dt : t dt lm í 8 + t dt lm í 8ln tb 8 + lm í ( ln ) Por tnto, no eiste l integrl plnted. c) t dt lm í 8 t dt lm í 8 tb lm í 8 ( + ) 8 d) dt lm í t : dt 8 t lm í < F lm í d n+ 8 t 8 Luego no eiste l integrl.

11 Unidd. L integrl definid Volumen de un cuerpo de revolución Págin Clcul el volumen de un esfer de rdio cm hciendo girr l semicircunferenci lrededor del eje X. Qué límite de integrción debes tomr? u V π ( ) d π ( ) d π G π Observción: el volumen del cuerpo engendrdo por el círculo + r, l girr lrededor del eje X, es: V π r u

12 Unidd. L integrl definid Ejercicios problems resueltos Págin. Áre limitd por un curv el eje X Hzlo tú. Hll el áre comprendid entre l gráfic de l función + el eje X. +,, G () ( + d ) + G ( ) ( ) ( ) + ( ) 8 ; G () ; G () ( + d ) G( ) G( ) d 8 n ( + d ) G( ) G( ) 8 + Áre 8 + u. Áre entre dos curvs Hzlo tú. Comprueb que l rect π Hll el áre comprendid entre cort l gráfic de sen en el punto c π, m. π e sen. π 8 π π L rect l curv se cortn en el punto π 8 sen π d π, n Y X Por l simetrí del áre respecto del origen podemos plnter el áre clculndo un de ls dos prtes multiplicndo el resultdo por. G () dsen nd cos π π π π π ( π/ ) sen d cos cos d n G ( ) π + π π π Áre e π + o π + u

13 Unidd. L integrl definid Págin. Áre entre dos curvs Hzlo tú. Hll el áre delimitd por ls gráfics de ls funciones siguientes: + ( + ) ,,, G () ( + ) d + G ( ) G ( ) G () G () ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) d G( ) G( ) 8 ( + ) d G( ) G( ) ( + ) d G( ) G( ) 8 Áre u. Áre de un recinto Hzlo tú. Hll el áre del recinto limitdo por ls rects, l curv,. Y Puntos de corte: (, ); (, ) X 8 8 ( que ) R (es un triángulo de bse ltur ) R ( d ) + + G + e + o Áre R + R + u

14 Unidd. L integrl definid Págin. Volumen (giro lrededor del eje X ) Hzlo tú. Clcul el volumen generdo por +,, l girr lrededor del eje X. V π f () d π ( + ) d π ( + 8 ) d π + 8 G π > d nh, π u. Volumen (giro lrededor del eje Y ) Hzlo tú. Clcul el volumen generdo por +,, l girr lrededor del eje Y. V π g ( ) b d + u V π ( ) d π ( ) d π> H π( ( )) π 8. Volumen de un esfer Hzlo tú. Hll el volumen del elipsoide de revolución que se obtiene l girr l elipse + lrededor del eje X. Despejmos l pr integrr lrededor de X. Un de ls soluciones es: Los límites de integrción son los puntos donde l curv cort l eje X : Por tnto, el volumen de l esfer es: V π f p d π e o d π G π > d nh, π u Págin. Función integrl Hzlo tú. Hll sus puntos etremos. F '() [( ) ] ( ) 8 F () ( t t) dt F ' () 8,,

15 Unidd. L integrl definid F '' () * F'' ( ) > F'' ( ) F'' ( ) > En en h dos mínimos reltivos. En h un máimo reltivo (estudindo los signos de F '() mbos ldos del vlor). Los vlores de los etremos son: F () ( t t) dt t t G F () ( t t) dt ( t t) dt t t G F ( ) ( t t) dt Los mínimos reltivos son: (, ) (, ). El máimo reltivo es el punto: d, n. Áre de un recinto Hzlo tú. El recinto limitdo por l prábol l rect debe ser prtido en dos trozos de igul áre por un rect prlel l eje X,. Hll el vlor de. El áre del recinto limitdo es: u ( ) d ( ) d G d8 8 n Ls intersecciones de l prábol l rect son (, ) (., ) El áre comprendid entre l rect l prábol es: ( ) d ( ) d G f p / 8 Págin. Volumen de un recinto infinito (Trompet de Torricelli) Hzlo tú. Hll el volumen que gener l función Hllmos el volumen entre : V V π dt dt e π π π o G e + t t t lm í 8 + V lm í 8 + π π > e + o H u l girr lrededor del eje X, entre +. o

16 Unidd. L integrl definid. L integrl como límite de sum de rectángulos Hzlo tú. Hll d medinte sum de rectángulos pso l límite. Prtimos el intervlo [, ] en n trozos de igul longitud. L prtición está formd por los puntos,,,, n. n n n n ( ) En cd intervlo i, i G tommos un rectángulo cu ltur es el vlor de l función en el etremo superior. El áre de cd uno de estos rectángulos es i d n. n n n n L sum de ls áres de los rectángulos es: S n dn + d n + d n + + dn n n n n n n n n n ( )( ) 8 nn n ( d n + d n + d n n ) n n n n n n n n que, n nn ( + )( n + ) d lím S lm í n 8 n n 8 8nn ( + )( n + ) n 8

17 Unidd. L integrl definid Ejercicios problems guidos Págin 8. Integrl definid de un función dd trozos Hllr l integrl f () d siendo: f () ) + si si < f () d f () d f () d d ( d ) G + + G + e + o L primer integrl vle cero porque es l integrl de un función pr en l que los límites son simétricos respecto del origen. En l segund integrl h dos recintos, seprdos por el vlor, uno de áre positiv el otro, lgo mor, de áre negtiv.. Áre delimitd por un función definid trozos Hllr el áre encerrd entre f () ) si si <, el eje X ls rects,. L rect cort l eje X en el punto (, ). G () d G ( ) ; G () ; G () d G( ) G( ) d G( ) G( ) En el cso del primer trmo: Áre + L prábol + cort en cundo (, ]. ( + ) d + H () ; H( ) ; H( ) ( + ) d H( ) H( ) + ( + ) d H( ) H( ) En el cso del segundo trmo: Áre + Áre totl + u

18 Unidd. L integrl definid. Construcción de un polinomio definido medinte uns condiciones Hllr un polinomio de segundo grdo, P (), que cumpl: P () P () P () d Como son ríces del polinomio, P () k ( ) k k Pd () ( k k) d k k G k k k k. Integrl impropi: áre definid por un función no cotd Hllr l integrl impropi: Como l función f (t ) I () t t t dt no está definid en t, se trt de un integrl impropi. / dt t dt / t < F dt lm í I () lm í t d n 8

19 Unidd. L integrl definid Ejercicios problems propuestos Págin Pr prcticr Integrl definid Clcul ls siguientes integrles: ) d b) e d c) ln d d) d + /e + ) / ( ) d ( ) d / + + > H : + D + / / / b) d / / d ( ) d e o G < F / / d n d n d 8 n d n d n e c) ln d. Integrmos por prtes ln d: /e u ln 8 du d dv d 8 v ln d ln d ln e e ln 8 ln B ( e ln e e) d ln n e e e e / e / d) d + ( e e) d ( ) n d n e e e e Clculmos un primitiv: d + d d rc tg e o d 8 rc tg B c πm c + πm + π + π π π/ Clcul: sen cos d π/ () / / * sen cos d t dt t G (*) Aplicmos el siguiente cmbio: sen t ; cos d dt pr ; t pr π ; t 8

20 Unidd. L integrl definid Hll el vlor de l integrl definid de l función f () + I [, ]. Hll: sen( π) cos( π ) d ln( ) ln ln ln d n + G + π ( ) d G si < * ( ) si < si ( ) d d d ( + ) d + ( ) d + G + G + + d n cos (π) en el intervlo Clcul ls siguientes integrles: si < ) f () d siendo f () * b) f () d siendo f () ) si + si si < ) f () d d + ( ) d G + G + d n b) f () d d + ( + ) d G + + G + d + n Áre entre f (), eje X,, b ) Clcul: ( + ) d b) Hll el áre que determin l curv + con el eje X entre ls bsciss. ) ( ) d G + d + + n b) Los puntos de corte de l curv con el eje X son: +, De estos dos vlores, uno se encuentr en el intervlo [, ] es. G () ( + ) d + G ( ) ; G( ) ; G( ) ( + ) d G( ) G( ) ( + ) d G( ) G( ) + Áre + u

21 Unidd. L integrl definid Clcul el áre comprendid entre l curv +, el eje X ls rects. I. Clculmos ls soluciones de l ecución: + No tiene soluciones, por lo que no cort l eje X. II. Buscmos un primitiv de f (): G () ( + ) d + III. G (), G () IV. G () G () El áre buscd es u. (L gráfic se h incluido pr entender el proceso, pero es innecesri pr obtener el áre). + 8 Clcul el áre bjo l curv entre ls rects. I. Hllmos l solución de l ecución. Es. II. Ordenmos los etremos del intervlo l ríz que h entre ellos:,,. III. Buscmos un primitiv de f (): G () ( ) d IV. G ( ) ; Gd n ; G( ) V. Gd n G( ) G () G d n + El áre buscd es: + u. (Se inclue l gráfic, unque es innecesri pr obtener su áre). 8 8 Hll el áre bjo l curv entre. I. Buscmos l primitiv de l función f (). G () d II. G (), G () 8 III. G () G () El áre buscd es: u. (Se inclue l gráfic, unque es innecesri pr obtener su áre).

22 Unidd. L integrl definid Clcul el áre de l región limitd por l curv ( ) ( + ) ls rects,,. I. Hllmos ls soluciones de l ecución: ( ) ( + ). Son. II. Ordenmos los etremos del intervlo ls ríces que h entre ellos:,,. III. Buscmos un primitiv de f (): G () ( ) ( + ) d + IV. G (), G( ) V. G () G () El áre buscd es u. (Se djunt l gráfic, unque es innecesri pr resolver el ejercicio). ( ) ( + ) Clcul el áre de l región limitd por l curv ls rects,,. I. Hllmos l solución de. Es. II. Como est solución se encuentr fuer del intervlo de integrción, los etremos son. III. Buscmos l primitiv de l función f (), l cul es continu en dicho intervlo: G () d ln IV. G () ln ( ), G( ) ln ( ) V. G () G () [ ln ( ) ln ( )] El áre buscd es: [ ln ( ) ln ( )] u. (Se djunt l gráfic, unque es innecesri pr l resolución del ejercicio). Cálculo de un áre reconociendo l figur Ls siguientes integrles se pueden clculr reconociendo, en cd cso, l curv cu ecución está bjo el signo integrl clculndo, utilizndo métodos de geometrí elementl, el áre pedid: ) d b) ( + ) d c) d d) d Recuerd que el áre de l elipse de semiejes b es A πb. ) L rect, entre, limit con el eje X un triángulo. Por tnto: d 8 B 8 b) L rect +, entre, limit con el eje X un trpecio. Por tnto: ( + ) d + G + +

23 Unidd. L integrl definid c) L curv es un semicircunferenci centrd en el origen, de rdio situd por encim del eje X. L integrl pedid es un cudrnte de círculo, por tnto: d) d π π + + L función es l prte positiv de un elipse que cort los ejes en (, ); (, ) (, ) l integrl pedid es un cudrnte del áre encerrd por l elipse. Por tnto, d π π Hll gráficmente ls siguientes integrles: ) ( + ) d b) ( ) C d ) L rect +, entre, limit con el eje X un triángulo. Por tnto: ( + ) d b) Como vemos en l gráfic siguiente, l integrl es el resultdo de restr l áre del rectángulo el áre del semicírculo de rdio. Y X ( ( ) ) d π π Áre entre dos curvs Hll, en cd cso, el áre comprendid entre los siguientes pres de prábols: ) e + b) e ) I. Buscmos ls soluciones de +. Son Por tnto, estos vn ser nuestros límites de integrción. II. Se obtiene l función diferenci: ( + ) ( ) + III. Buscmos su primitiv: G () ( + ) d + IV. G( ) G( ) + + El áre buscd es: u. (Se inclue l gráfic, unque es innecesri pr obtener el áre). +

24 Unidd. L integrl definid b) I. Buscmos ls soluciones de l ecución:. Son. II. Clculmos l función diferenci: III. Buscmos su primitiv: G () ( ) d IV. G (), G () V. G () G () El áre buscd es u. (Se djunt l gráfic, unque no es necesri pr l resolución del ejercicio). Clcul el áre comprendid entre ls curvs dds en cd uno de los ejercicios siguientes: ) ; 8 b) ; c) + ; d) ( ) ( ); e) ; f) ; + g) + ; ) I. Buscmos ls soluciones de 8. Son. Por tnto, estos vn ser nuestros límites de integrción. II. Clculmos l función diferenci: (8 ) ( ) III. Clculmos su primitiv: G () ( ) d IV. G ( ) G () 8 8 V. G () G ( ) El áre buscd es: d n u. 8 8 b) I. Buscmos ls soluciones de l ecución:. Son (nuestros límites de integrción). II. Clculmos l función diferenci: ( ) III. Clculmos su primitiv: G () ( ) d 8 8 IV. G( ), G( ) 8 8 V. G( ) G( ) + El áre buscd es: u. (Se djunt l gráfic, unque es innecesri pr hllr el áre).

25 Unidd. L integrl definid c) I. Buscmos ls soluciones de l ecución: +. Son,. II. Clculmos l función diferenci: ( + ) + III. Clculmos su primitiv: G () ( + d ) + IV. G (), G () G () G (), G () G () G () El áre buscd es: + u. (L gráfic que se djunt es pr entender mejor el ejercicio, pero es innecesri pr obtener el áre). + d) I. Buscmos ls soluciones de: ( )( ). Son,. II. Clculmos l función diferenci: ( )( ) III. Clculmos su primitiv: G () ( )( ) d + Result que se trt del mismo ejercicio que el prtdo c). El áre buscd es: u. e) I. Buscmos ls soluciones de l ecución:. Son. II. Clculmos l función diferenci: III. Clculmos su primitiv: G () ( ) d IV. G ( ), G () V. G () G ( ) El áre buscd es: u. (Se djunt l gráfic, unque es innecesri pr resolver el ejercicio). f ) I. Buscmos ls soluciones de l ecución: +. Son. II. Clculmos l función diferenci: ( ) ( + ) III. Clculmos su primitiv: G () ( ) d IV. G (), G () V. G () G () El áre buscd es: u. (Se djunt l gráfic, unque es innecesri). + +

26 Unidd. L integrl definid g) I. Buscmos ls soluciones de: +, Son. II. Clculmos l función diferenci: ( + ) ( ) + + III. Clculmos su primitiv: G () ( ) d IV. G ( ), G () V. G () G ( ) + El áre buscd es: u. + 8 (Se djunt l gráfic, unque es innecesri pr l resolución del ejercicio). Dibuj hll el áre de l región limitd por l curv ( ) l rect. ( ) I. Buscmos ls soluciones de l ecución: ( ). Son. II. Clculmos l función diferenci: f () ( ) ( ) + + III. Clculmos su primitiv: G () ( + + ) d + + IV. G ( ), G( ) V. G () G ( ) + El áre buscd es u. Dibuj el recinto plno limitdo por l prábol por l rect prlel que ps por el punto (, ). Clcul el áre de ese recinto. Rect prlel que pss por (, ): m ( ) P(, ) Buscmos los puntos de corte de l curv l rect : Representmos el recinto lo descomponemos en dos prtes: R limitdo por +, eje OX l rect R limitdo por +, eje OX l rect 8 8

27 Unidd. L integrl definid Clculmos en primer lugr el áre de R : Y R + X / ( ) A R + d ( ) d > + H G / < ( + ) F G 8 > d n d nh Clculmos hor el áre de R : R Y X + u A R d ( ) d + + < ( + ) F + G + Áre totl: R + R + u otr form de resolverlo I. Clculmos ls soluciones de l ecución: + (Est ecución result de despejr l en: ; ). Sus soluciones son,. Y + X + II. Clculmos l función diferenci: ( ) ( + ) III. Buscmos su primitiv: G () ( ) d IV. G ( ) G( ) V. G () G ( ) El áre buscd es u.

28 Unidd. L integrl definid 8 Hll el áre limitd por l función sus tngentes en los puntos en los que su gráfic cort l eje de bsciss. I. Buscmos ls soluciones de l ecución:. Son. II. Clculmos l derivd de f (), que es f '(). L tngente que ps por (, ) tiene pendiente f '() ; por tnto, es. L tngente que ps por (, ) tiene pendiente f '() ; por tnto, es +. III. Tenemos que distinguir dos intervlos de integrción: entre entre. L función diferenci en el primer intervlo es: f () ( ) en el segundo intervlo es: f () + ( ) + IV. Sus primitivs son: G () d G () ( + ) d + V. G (), G (), G ( ) G ( ) G ( ), G ( ) 8, G ( ) G ( ) El áre buscd es: + u. (Se djunt l gráfic, unque no es necesri pr resolver el ejercicio). + Págin 8 Dds l hipérbol l rect +, clcul el áre comprendid entre ells. I. Buscmos ls soluciones de l ecución:. Son (nuestros límites de integrción). II. Clculmos l función diferenci: III. Buscmos su primitiv: G () d n ln IV. G () G () ln () V. G () G () ln () ln () El áre buscd es: ln () u (Se djunt l gráfic, unque no es necesri pr resolver el ejercicio). 8

29 Unidd. L integrl definid Clcul el áre limitd por l curv + l rect tngente ell en el origen de coordends. I. Clculemos l ecución de l rect tngente en el punto (, ); pr ello, clculmos l derivd de nuestr función: ' + () (pendiente) L rect tngente tiene por ecución. II. Clculmos ls soluciones de: +. Son (límites de integrción). III. Obtenemos l función diferenci: + IV. Buscmos su primitiv: G () ( ) d V. G (), G () G () G () El áre buscd es: u. (Se djunt l gráfic unque no es necesri pr l resolución del ejercicio). + Hll el áre encerrd por l curv ln entre el punto de corte con el eje X el punto de bscis e. L curv ln cort l eje X en el punto de bscis. Áre e Integrmos por prtes: * ln d u ln 8 du d dv d 8 v G () ln d ln d ln e Áre ln d G() e G( ) ( ) u Hll el áre limitd por ls gráfics de ls funciones que se indicn. ) f () + g () + b) f () g () c) f () ( )( ) g () d) f () g () e) f () g () f ) f () g () ) Clculmos ls bsciss de los puntos de corte de ls dos curvs: f () g () + +, Llmmos l integrl de h () f () g () Áre u ( ) d G

30 Unidd. L integrl definid b) Clculmos ls bsciss de los puntos de corte: 8, Y 8, X Utilizmos l simetrí respecto del eje verticl: e o [ ( )] d + G + e o ( ) d > H G e o Áre e + o u c) f () g () se cortn en los puntos de bsciss,,. d) Llmmos h () f () g () ( )( ) + H () ( + d ) + H () ; H () Áre ; H () ( + d ) H( ) H( ) ( + d ) H( ) H( ) + u Áre u 8, ( d ) G e) + 8,, G () [ ( )] d + e o e o e o Ge o + ; G( ) e o e o e o + G e o +

31 Unidd. L integrl definid ( + d ) G( ) G e o + ( + d ) Ge + o G( ) + Áre u f ) 8, ( ) d + G + d + n Áre u Volúmenes Clcul el volumen engendrdo l girr lrededor del eje X los recintos siguientes: ) f () entre b) f () entre c) f () entre u u u ) V π ( ) d π ( ) d π G 8π b) V π ( ) d π d π G π c) V π ( ) d π ( + ) d π + G π Clcul el volumen engendrdo l girr lrededor del eje X los recintos limitdos por ls gráfics que se indicn: ) f (), g() b), ) I. Buscmos ls soluciones de l ecución:. Son. Estos son nuestros límites de integrción. II. Clculmos l función diferenci: u u III. V π ( ) ( ) d π ( ) d π G π b) V π f () d π ( ) d π 88 B 8π

32 Unidd. L integrl definid Función integrl Clcul ls derivds de ls siguientes funciones: ) F () costdt b) G () ( t + ) c) H () e t dt d) J () ( t + ) Atención! L últim es l más fácil. ) F '() cos b) F '() ( + ) c) H '() e d) J '(), porque J () es constnte. dt dt Pr resolver Hll el áre comprendid entre l curv: + el eje de bsciss ls rects verticles que psn por los puntos de infleión de dich curv. I. Buscmos los puntos de infleión; pr ello, clculmos ls dos primers derivds: ' ( ) + ( + 8 ) '' ( + ) Igulmos cero pr encontrr en qué vlores de l segund derivd es cero. Esto ocurre en II. Clculmos l primitiv de nuestr función: G () rc tg e o + III. Ge o rc tg e o Ge o rc tg e o (puntos de infleión). Ge o Ge o frc tg e o rc tg e op El áre buscd es: frc tg e o rc tg e op (Se djunt l gráfic, unque es innecesri pr l resolución del ejercicio). +

33 Unidd. L integrl definid Si f () g () : ) Dibuj ls dos gráfics sobre unos mismos ejes hll sus puntos de intersección. b) Determin el áre del recinto encerrdo entre mbs gráfics. Y g() R R f() X ) Definimos g () por intervlos: g () ) si si > Buscmos los puntos de intersección resolviendo l siguiente ecución: ( ) o bien ( ) Al elevr l cudrdo culquier de ls dos ecuciones, llegmos : ± + / Sus soluciones son (límites de integrción). b) Tenemos que distinguir dos intervlos de integrción: de de, porque en cmbi l definición de g (). Tenemos, por tnto, dos recintos de integrción, R R. I. L función diferenci en el primer intervlo es: h () ( ) L función diferenci en el segundo intervlo es: h ( ) II. Sus primitivs son: H () d + n d n + H () d + n d n + III. H d n ; H( ) H ( ) ; H ( ) + IV. Áre del recinto R : H ( ) H d n + Áre del recinto R : H ( ) H ( ) El áre buscd es + + u.

34 Unidd. L integrl definid 8 Se consider l función: g () * si < si < si < Represent l función g clcul el vlor de ls siguientes integrles definids: I gd () J gd () K gd () Y X I g() d d d + G + 8 B 8 + J g() d d + ( d ) 8 B + G K g() d I + J + Dibuj el recinto comprendido entre ls gráfics de ls funciones,, 8, hll su áre. Y 8 R R I. Buscmos los puntos de intersección de ls funciones:. Su solución es Su solución es Su solución es. Tenemos dos intervlos de integrción: de de. Corresponden los recintos R R señldos en el gráfico. II. Hllmos l función diferenci en el primer intervlo: f () 8 Y en el segundo intervlo: f () X

35 Unidd. L integrl definid III. Buscmos sus primitivs: G () d G () e d o IV. G (), G d n 8 G d n, G ( ) 8 V. Áre de R : Gd n G ( ) Áre de R : G () G d n 8 8 El áre buscd es + u Clcul el áre del recinto plno limitdo por l curv e ls rects. Buscmos un primitiv nuestr función: G () e d ( + ) e (plicndo el método de integrción por prtes). e G () G () e G () G () e El áre buscd es (e ) u. (Se djunt l gráfic, unque no es necesri pr resolver el ejercicio). Dd l curv + +, hll el áre limitd por l curv, l rect tngente en el punto donde l función tiene un etremo l tngente l curv con pendiente. Buscmos el punto donde l curv tiene un etremo, hllndo su derivd e igulndo cero: ' +, el punto es (, ). L ecución de l rect tngente en dicho punto es. Por otro ldo, l ecución de l rect tngente con pendiente es. Buscmos los puntos de corte de l curv con mbs rects, de + + con es (, ); de + + con es (, ); de con es d, n. Distinguimos dos intervlos de integrción: de de. En el primer intervlo l función diferenci es: f () En el segundo: f () + + ( ) + Buscmos sus primitivs: G () + + G () +

36 Unidd. L integrl definid G ( ), G d n G d n, G( ) 8 G d n G ( ) + G () G d n 8 El áre buscd es: + u / + l dr un vuelt complet lre- Hll el volumen del cuerpo limitdo por l elipse dedor de OX. u V π f p d π e o d π G π Clcul el áre limitd por f (), el eje X ls rects b, siendo b + ls bsciss del máimo el mínimo de f. L función cort l eje X en. Por otro ldo, tiene un mínimo en un máimo en. Tenemos que distinguir entre dos intervlos: de de. Hllmos l función primitiv: G () d ln ( + ) + El áre en el primer intervlo es: G ( ) ln 8 G () ln G () G ( ) (ln ln 8) (ln ln 8) (ln 8 ln ) u El áre en el segundo intervlo es: G () ln 8 G () G () (ln 8 ln ) (ln 8 ln ) u El áre totl es: (ln 8 ln ) + (ln 8 ln ) (ln 8 ln ) u

37 Unidd. L integrl definid Hll el áre comprendid entre ls curvs e, ls rects. I. Hllmos l función diferenci: e ( ) e + II. Buscmos su primitiv: III. G () G () e G () e + G () G () e El áre buscd es: de n u. 8 e Págin 8 L curv, los ejes de coordends l rect limitn un superficie S. + Clcul el áre de S el volumen de l figur engendrd por S l girr lrededor del eje X. Buscmos un primitiv: G () ln + G () ln G () ln 8 G () G () (ln 8 ln ) El áre buscd es (ln 8 ln ) u. + V π d n d π < F π π u Hll el polinomio de segundo grdo que ps por los puntos (, ) (, ), sbiendo que el áre limitd por es curv, el eje Y el eje X positivo es /. Como el polinomio ps por el punto (, ), un ríz es, por tnto: ( )( b ) Por otro ldo, cundo, : ( b) b, b Luego qued: ( ) d n Puesto que ps por los puntos indicdos está limitdo por los ejes X e Y (positivos), los límites de integrción son.

38 Unidd. L integrl definid Así, buscmos l primitiv del polinomio: G () ( ) d d d n c + + m + G () G () + G () G () + De donde scmos que. Por tnto, el polinomio es: ( ) d n Hll l ecución de un prábol de eje verticl, tngente en el origen de coordends un rect de pendiente que delimit con el eje X un recinto de bse [, ] áre. Del enuncido del problem se deduce que l prábol ps por el origen de coordends. Supongmos que es de l form f () + b. Como l pendiente de l rect tngente en el origen es f ' (). f '() + b, f '() b f () + Si l gráfic de l prábol qued por encim del eje X en el intervlo [, ], el áre es: ( d ) + + G + 8, L prábol buscd es f () +, cu gráfic es positiv en el intervlo [, ]. 8 De l función f() + b + c + d se sbe que tiene un máimo reltivo en, un punto de infleión en (, ) que f () d. Clcul, b, c d. Hllmos f '() + b + c f ''() + b Sbemos que f () ps por el punto (, ), es decir, f (), de donde verigumos que d. Por otro ldo, sbemos que tiene un máimo reltivo en, esto es que f ' (), es decir: + b + c Tmbién tiene un punto de infleión en (, ), por lo que f ''(), de donde b. Como + b + c b, se tiene que: + c c Así, nuestr función qued reducid l función: f () Buscmos su primitiv: G () G (), G () G () G () El resultdo es que es igul, de donde deducimos que, por tnto, c. L función buscd es f () +. 8

39 Unidd. L integrl definid Teniendo en cuent que l función f () + k tom vlores positivos negtivos, hll el vlor de k de form que el áre de l región limitd por el eje X, ls rects, l curv f () quede dividid por el eje X en dos prtes con igul áre. Supongmos que comprendido entre es el punto donde nuestr función cort l eje X; por tnto, tenemos que distinguir dos intervlos de integrción: de de. Buscmos un primitiv de nuestr función: G () k + + k G ( ) k G () k Si suponemos que en el primer intervlo l función es negtiv, el áre es: G ( ) G () si en el segundo intervlo l función es positiv, el áre es: G () G () Y como el áre en los dos intervlos tiene que ser l mism, se tiene l siguiente iguldd: G ( ) G () G () G () es decir: G ( ) G () k k 8 k Observ que se obtiene el mismo resultdo independientemente de qué intervlo consideremos en el que l función es positiv o negtiv. Se considern ls curvs e, donde < <. Ambs curvs se cortn en el punto (, ) con bscis positiv. Hll sbiendo que el áre encerrd entre mbs curvs desde hst es igul l encerrd entre ells desde hst. Hllmos los puntos de corte: 8 (no vle porque l bscisdebeser positiv). El punto de corte es (., ) Dibujmos ls áres pr tener un ide más clr de nuestro ejercicio: Tenemos dos intervlos de integrción: de de, que determinn los recintos R R señldos en el gráfico. Y R R X L función diferenci pr el primer intervlo es: f ()

40 Unidd. L integrl definid Su primitiv es: G () G (), G ( ) El áre del primer intervlo es u. L función diferenci en el segundo intervlo es: f () Su primitiv es: G () G ( ), G ( ) G () G ( ) + El áre del segundo intervlo es + u. Como el áre en los dos intervlos es igul, se tiene que: + De donde obtenemos que. Sen e + ls ecuciones de un prábol p de un rect r, respectivmente. Demuestr ls siguientes firmciones: ) Los puntos de corte de p r no dependen del vlor de. b) Si se duplic el vlor de, tmbién se duplic el áre encerrd entre p r. ) Los puntos de corte se obtienen l igulr mbs ecuciones: + ( ) Como suponemos, pr que sen ciertmente un prábol un rect, dividiendo tod l ecución entre, llegmos : sus soluciones son: b) L función diferenci es: + f () + ( + + ) Si llmmos h () + +, se tiene que: f () h () (que no dependen de ). l primitiv de f () es por l primitiv de h (), es decir: G () H () El áre comprendid es, por tnto: + + G e o G e o fhe o He op u

41 Unidd. L integrl definid Si duplicmos, se tiene que l función diferenci es hor: f () h () su primitiv: G () H () Por lo que el áre comprendid es: G e + o Ge o + fh e o H e op u Sbiendo que el áre de l región comprendid entre l curv l rect b es igul, clcul el vlor de b. L curv l rect b se cortn en el punto de bscis b en. Así, nuestros límites de integrción son b. L función diferenci es: b Su primitiv es: G () b G () G (b) b G (b) G () b Como el áre es, se tiene que: b, de donde obtenemos que b. 8 Clcul el vlor de pr que el áre de l región limitd por l curv + el eje X se igul. L curv cort l eje X en los puntos de bscis (estos son los límites de integrción). Su primitiv es: G () + G () G () G () G () Como el áre es, se tiene que:, de donde verigumos que. 8 +

42 Unidd. L integrl definid Dd l función + rects se igul. clcul el vlor de pr que el áre limitd por es curv ls Buscmos su primitiv: G () ln ( + ) G () G () ln ( + ) G () G () ln ( + ) Como el áre es igul, se tiene que: ln ( + ) de donde verigumos que e. + e e Epres l función de posición de un móvil sbiendo que su celerción es constnte de 8 cm/s, que su velocidd es cundo t que está en el origen los segundos. Llmmos S (t) l posición del móvil l cbo de t segundos. Así: V (t) S' (t) (t ) S ''(t) 8 cm/s Clculmos l velocidd V (t): Vt () t () dt 8dt 8t + k V( ) + k 8 k Clculmos S (t): V (t ) 8t S (t) Vt () dt ( 8t ) dt t t + c S () + c c Por tnto: S (t ) t t Un móvil se desplz en líne rect, con movimiento uniformemente celerdo, con celerción de m/s con velocidd inicil v m/s. Clcul compr ls distncis recorrids entre t t entre t t. Clculmos l velocidd del móvil: Vt () t () dt dt t + k V( ) k Distnci recorrid entre t t : V (t ) t + d Vt () dt ( t + ) dt 8t + t B m Distnci recorrid entre t t : d Vt () dt 8t + tb m Por tnto, recorre l mism distnci entre t t que entre t t.

43 Unidd. L integrl definid Hll el volumen del cuerpo engendrdo por l región del plno limitd por los ejes de coordends, l curv de ecución e l rect, l girr lrededor del eje X. u V π ( e ) d π e d π e π ( e 8 B ) e 8 Clcul el volumen que se obtiene l hcer girr lrededor del eje X el recinto limitdo por ls gráfics de ls funciones,,. Ls curvs se cortn en el punto de bscis. Por tnto, nuestros límites de integrción son. El volumen buscdo es el resultdo de restr el volumen engendrdo por l curv lrededor de OX entre, el volumen engendrdo por l curv lrededor de OX entre los mismos límites. V π ( ) d π G π u V π dn d π < F π u El volumen buscdo es: V V π π π u Clcul el volumen engendrdo por l hipérbol cundo [, ]. u V π f ( ) d π e o d π G π 8π

44 Unidd. L integrl definid Hll el volumen engendrdo por l circunferenci + + l girr lrededor del eje X. El círculo del ejercicio tiene su centro en (, ) rdio + + ; por tnto, cort l eje OX en (, ) (, ). Así, nuestros límites de integrción son. ( ) + u ( ) V π d π ( ( )) d π > H π Hll l derivd de ls funciones que se dn en los siguientes prtdos: ) F () cost dt b) F () ( t + t) dt c) F () sen t dt sen d) F () ( + tdt ) + ) Como f es continu, podemos plicr el teorem fundmentl del cálculo: F '() cos b) Como f es continu, tmbién podemos plicr el teorem fundmentl del cálculo: F '() [( ) + ] + c) Del mismo modo: F '() + sen d) Análogmente: F '() ( + sen ) (sen )' ( + sen ) cos Sin resolver l integrl, indic dónde h máimo o mínimo reltivo en l función: F () ( t ) dt Los máimos o mínimos reltivos se obtienen pr los vlores de donde l primer derivd es cero, en nuestro cso, F '(). Como f es continu, podemos plicr el teorem fundmentl del cálculo: F '() F '() en, sí en los puntos de bscis h máimos o mínimos reltivos. Sbemos que f () t dt ( + ), siendo continu en Á. Clcul f (). Aplicndo el teorem fundmentl del cálculo, se tiene que: f () ( + ) + f () Se F () cos t dt. Hll los posibles etremos de dich función en el intervlo [, π]. Como f () cos es continu en [, π], podemos plicr el teorem fundmentl del cálculo, sí obtenemos l primer derivd de l función F (): F '() cos Est tiene sus etremos en los vlores de en que F '(), esto es en π π.

45 Unidd. L integrl definid Págin 8 Hll máimos mínimos reltivos de ls funciones: ) F () ( t ) ( t + ) dt b) G () log t dt t ) F '() ( ) ( + ) F '() ( ) ( + ), Pero F '() > cundo por ser un cudrdo perfecto. Luego F () es creciente no tiene máimos ni mínimos reltivos. b) G '() log con > G ' () log G' < G' > El mínimo reltivo se lcnz en. log t, G () dt El mínimo reltivo es el punto (, ). t Consider l región del plno que determinn ls curvs e e e l rect k. ) Hll su áre pr k. b) Determin el vlor de k > pr que el áre se. ) Ls funciones dds se cortn en el punto,. Si k >, el áre es: k k k k ( e e ) d e e e k e e k G d n e + Si k <, el áre es: k ( e e ) d e e k G e + e k k b) e k e k k + 8 e e Hciendo el cmbio de vrible z e k, obtenemos: z z z, z (no vle) e k k ln k Clcul el áre encerrd entre l curv l cuerd de l mism que tiene por etremos los puntos de bsciss. Clculmos ls coordends de los puntos:, (, ), (, ) L pendiente de l cuerd que ps por ellos es: m + L ecución de l rect que contiene l cuerd es: G () [( ) ( )] d [( ) ( )] d El áre buscd es u.

46 Unidd. L integrl definid Cuestiones teórics 8 Clcul l derivd de l función dd por F () costdt de dos forms: ) Obteniendo de form eplícit F (), después, derivndo. b) Aplicndo el teorem fundmentl del cálculo. ) F () 8sen tb sen F ' () cos b) Como f es un función continu en todos los puntos, se puede plicr el teorem fundmentl del cálculo: F ' () f ( ) ( )' cos L gráfics I, II III corresponden, no necesrimente por ese orden, ls de un función derivble f, su función derivd f un primitiv F de f. Identific cd gráfic con su función, justificndo l respuest. I II III L gráfic II es l de l función; l gráfic I, l de su derivd l gráfic III, l de su primitiv. L rzón es: prtiendo de l gráfic II, observmos que se trt de un función linel (fín) con pendiente positiv, por lo que l función derivd tiene que ser un función constnte (l pendiente de l función fín). Por otro ldo, l primitiv de l función fín tiene que ser un función cudrátic, cu gráfic corresponde l prábol. Sbemos que el áre limitd por un función f, el eje de bsciss ls rects es igul. Cuánto umentrá el áre si trsldmos uniddes hci rrib l función f? f + f Si trsldmos tmbién el eje OX uniddes hci rrib, es fácil ver que el áre ñdid es l de un rectángulo u de bse u de ltur (su áre es 8 u ). Y X Es decir, su áre umentrá 8 u. (No depende de lo que mid el áre señld). Si un función f es positiv pr todos los vlores de su vrible, culquier función primitiv de ell es creciente en cd uno de sus puntos. Por qué? Cierto, puesto que si l primer derivd de un función es positiv, dich función es creciente.

47 Unidd. L integrl definid Hll ls derivds de: ) F () cos t dt b) F () ( + t) dt c) F () dt d) F () + t (Observ que l puede slir fuer de l integrl) ) F '() por ser un función constnte. b) F () ( + t ) dt F '() dt + t c) F () t dt F '() + t dt + d) F () t dt F '() + t dt + t dt Cuál de ls si guientes epresiones nos d el áre limitd por l gráfic de f el eje de bsciss? f b c c c b c b c ) f b) f c) f + f d) f + f d) Dd l función, hll el punto c [, ] tl que el áre d se igul l de un rectángulo de bse ltur f (c). Es decir, que cumpl lo siguiente: f (c) d Qué teorem segur l eis tenci de c? d 8 Así pues, se tiene: f (c) 8, de donde verigumos que c. El teorem que segur l eistenci de c es el teorem del vlor medio del cálculo integrl. Se F un función definid en [, + ) tl que: F () ln ( + tdt ) Anliz si es verdder o fls cd un de ls siguientes firmciones: ) F () ln b) F ' (), c) F es creciente en su dominio. + ) Clculmos G (t) ln ( + tdt ) integrndo por prtes: u ln ( + t) 8 du + t dt dv dt 8 v t G (t) ln ( + tdt ) t ln ( + t) t dt t ln ( + t) d ndt + t + t t ln ( + t) t + ln ( + t) ( t + ) ln ( + t) t b b

48 Unidd. L integrl definid Por tnto: F () G () G () [( + ) ln ( + ) ] [ln ] ( + ) ln ( + ) ln F () ln ln L firmción F () ln es fls (bst ver, demás, que en F () no h áre). b) Como f es continu pr, plicmos el teorem del cálculo integrl: F '() ln ( + ) Tmbién es fls. c) Ciert, porque su derivd F ' es positiv en todo el dominio. Demuestr l desiguldd siguiente: En el intervlo ;, π E se cumple que: π/ sen d + sen + + que sen en dicho intervlo. Por tnto: π sen d + + π π d π ln ( ) ln π, d < + F e + o < + De est form qued probd l desiguldd. Págin 8 Pr profundizr ) Hll el volumen del tronco de cono de rdios cm cm ltur cm. b) Obtén l fórmul: V π h ( r r r r ) + + que nos d el volumen de un tronco de cono de rdios r, r ltur h. Y B A X ) L rect ps por los puntos (, ) (, ). Obtenemos su ecución: m, l rect es + Los límites de integrción son. 8

49 Unidd. L integrl definid b) El volumen será: V f () d d π ` j π d + n π d + + nd π + + G π u r r h L rect ps por los puntos (, r ) (h, r ). Obtenemos l ecución: r r r r r r m 8 r + d n h h h El volumen será: h r r V π > r + d nh d h h r r π > r r r + d n + r d n H d h h r r r r r π > r + d n + d n H h h r r r r π r h h > + d n + r d n h H h h π r h < + ( r + r r r r r r + F π r h < r rr rr + + F πh ( r + r + rr ) 8 ) Demuestr, utilizndo el cálculo integrl, que el áre del círculo + es π. b) Demuestr, utilizndo el cálculo integrl, que el volumen de l esfer de rdio r es V π r. + h ) Áre d Clculmos G () d G () d c m d, medinte un cmbio de vrible:

50 Unidd. L integrl definid Cmbio: sent 8 sen t 8 d cos t dt G () sen t costdt cos t dt cos t dt t sen t t e + o < + F + sen t rc sen c m+ c m rc sen c m+ c m rc sen c m+ Por tnto, el áre será: A (G() G ()) π π u R R b) V π d π ( R ) d π R π R R G e + R R o π R R R R R Clcul el áre encerrd por l elipse +. 8 e o 8 ± c m El áre es: A d c m c m d Clculmos G () c m d : Cmbio: sent 8 sen t 8 d cos t dt G () sen t costdt cos t dt e + cos t odt ( + cos t) dt t + sen t rc sen c m+ rc sen c m+ 8 El áre será: A [G () G ()] π

51 Unidd. L integrl definid Demuestr, utilizndo el cálculo integrl, que el áre de l elipse + es π. + Despejmos : 8 ± c m c m El áre será: A c m d Clculmos G () c m d Cmbio: sent 8 sen t 8 d cos t dt G () sen t costdt cos t dt e cos o ( cos ) + t dt + tdt t sen t rc sen rc sen + c m+ c m c m + El áre será: A [G() G ()] π π Demuestr que el volumen del elipsoide obtenido l girr l elipse + es: b ) π b si gir lrededor del eje X. b) π b si gir lrededor del eje Y. ) V π b b f p d π > b b H π e b b + b b o π b b b) V π d π π b b f p > H e + b b o πb b b b b b Hll l derivd de l función siguiente: F () sen tdt Si G () es un primitiv de l función g () sen, entonces sentdt G ( ) G ( ). L derivd, plicndo l regl de l cden, es: D sen tdtg D [G( ) G ( )] G' ( ) G' ( ) sen ( ) sen ( ) Por tnto: F '() sentdt + [ sen( ) sen ( )] sen tdt + [ sen ( ) sen ( )]

52 Unidd. L integrl definid Comprueb si eisten, en su cso, clcul ls siguientes integrles impropis: ) dt b), + t d r > c) dt d) e d r + t e) d f ) d g) d h) du ( u ) ) dt 8rc tgtb rc tg + t + í π d lm dt lm í rc tg t + b) dt r r G r t ( rt ) ( r) r + d lm í dt r 8 r t, que r >, por tnto, l primer frcción tiende. + r c) dt 8rc tgtb rc tg rc tg ( ), con > + t + ( ) π π π d lm í dt lm í 8rc tg rc tg B c m t t t d) e dt 8e B e, con > e) t e d lím e dt lm í ( e ) t dt < t F / / d lm dt lm / í í d n t 8 f ) ln ln t dt 8 t B g) h) lm í dt lm í ( ln ) t + No eiste l integrl t dt 8rc sen tb rc sen d lm í dt lm í rc sen π 8 t 8 du < F + ( u ) u lm í du lm í 8 ( u ) d n No eiste l integrl. Si f () lm í + e g () f () t dt, hll el siguiente límite: g () lm í 8 g () ( ) H '() lm í g lm í f () lm í ( ) + e Por tnto, el límite ddo vle.

53 Unidd. L integrl definid Determin el vlor del prámetro > de tl mner que vlg 8 el áre de l región del plno limitd por el eje X l gráfic de l función siguiente: f () ( + ) ( + ) L función cort l eje X en los puntos de bscis. Nuestros límites de integrción; buscmos un primitiv: G () [ ( ) ( )] ( ) d ( ) G ( ) G ( ) G ( ) G () Como el áre tiene que ser 8, igulmos: 8. De donde obtenemos que.

54 Unidd. L integrl definid Autoevlución Págin 8 Dd l función f () +, clcul: ) El áre encerrd por l gráfic de f (), el eje X ls rects. b) El áre de cd uno de los dos recintos comprendidos entre ls gráfics de f () de g () +. ) Representmos el recinto: Cortes con el eje OX : + Y ( + ) Puntos singulres: f ' () + ( + ) X f '' () + f ''( ) > 8 Mínimo: (, ) f ''( ) < 8 Má imo: (, ) Áre ( ) d + + G d + n ( 8 ) u b) Representmos f () + g () + : Hllmos los puntos de corte de f g : Y X Ls gráfics se cortn en,. Clculmos el áre entre el áre entre : [( ) ( )] d ( ) d G d + n d8 + n d n + u [( ) ( )] d ( ) d G d + n d + n d n + u

55 Unidd. L integrl definid Clcul el áre del recinto limitdo por f () +, el eje Y l rect tngente f en. Clculmos l tngente f () + en : Punto de tngenci:, f () + (, ) Pendiente de l rect tngente: f '() m f ' () Ecución de l rect tngente: + ( ) Representmos el recinto: f () + Y X Vértice de l prábol: f ' (), f () (, ) Corte con los ejes:, f () (, ) ± 8 + No cort l eje OX. Clculmos el áre: u A [( ) ( )] d ( ) d G Clcul: d L función se descompone de l siguiente mner: Por tnto: f () + > * f () d ( + ) d + ( ) d 8 + B + 8 B / /

56 Unidd. L integrl definid Hll el áre de l región comprendid entre l gráfic de l función f () ( ),. Representmos l función f () ( ) : Asíntot verticl:, lm í f () + 8 Asíntot horizontl: Puntos singulres: f '() pr culquier No tiene puntos singulres. ( ) Punto de corte con l rect : 8 ( ) ( ) 8 (, ) 8 (, ) Recinto: Y ls rects Áre d ( ) G < F + u X Clcul el áre encerrd entre l gráfic de l función eponencil f () e l cuerd l mism que une los puntos de bsciss. Ecución de l cuerd: Áre: 8 f ( ) e Rect que ps por (, ) por (, e ): 8 f ( ) e m e 8 + e e e e d e + o + e G ( + e e ) ( + e ) + u Dd l función F () ln tdt con : ) Clcul F ' (e). b) Tiene F puntos de infleión? Justific tu respuest. ) F () ln td F '() (ln ) (ln ) ln F '(e) e ln e e b) F '' () ln + ln + ; ln + ln e F no tiene puntos de infleión porque e < ; es decir, e no pertenece l dominio de F.

57 Unidd. L integrl definid ) Hll, integrndo l función decud en el intervlo que conveng, el volumen de un cono de rdio cm ltur cm. b) Procediendo de form similr, deduce l fórmul del volumen de un cono de rdio r ltur. ) L rect ps por los puntos (, ) (, ). El cono ddo se puede obtener girndo el segmento que une los puntos nteriores lrededor del eje X. El volumen es: V π d π π d n G π u b) L rect r ps por los puntos (, ) (, r ). El cono de ltur rdio r se puede obtener girndo el segmento que une los puntos nteriores lrededor del eje X. El volumen es: V π r d π π r c m G πr u r