LÍMITES DE FUNCIONES

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1 LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejemplo : Consideremos l gráic de l unción: si < si > Si tom vlores próimos, distintos de y menores que ej.: 9, 99, 999,, se not sí:, es decir: < muy próimos Los correspondientes vlores de y cundo : y 9 99 Observ que se proimn muchísimo se not: y En este cso se escribe que: Se lee: Límite de por l izquierd de es Si tom vlores próimos, distintos de y myores que ej.:,,, etc..., se not sí:, es decir: muy > Los correspondientes vlores de y cundo : y próimos

2 Observ que se proimn cd vez más se not: y En este cso se escribe que: Se lee: Límite de por l derech de es. A y se le llmn límites lterles de por l izquierd y derech de respectivmente. Ejemplo : Dds ls unciones: Cuys gráics respectivs son: Observmos: g g h h h k k k En los tres csos se escribe que: g h k Y se lee que el límite de l unción es en el punto. En generl: Si y es un unción cuy gráic es: Se escribe: m y ' m Si y es un unción cuy gráic es: Se tiene que: m ó m > < > < si si k si si si h si si g

3 A m y m se les llm: límites lterles de por l izquierd y por l derech de respectivmente. Si mbos números reles son igules m m, dicho número rel m se le llm: límite de en el punto. Observción.- Es importnte señlr que pr deinir el límite de un unción en un punto, no necesitmos pr nd el vlor de l unción y en el propio punto, es decir, sino que sólo nos interes el comportmiento de dich unción en los lrededores de vlores próimos pero menores o myores que. Cálculo del límite de lgebricmente. El cálculo del límite de usndo l órmul de l unción se hce de l siguiente orm: Ejemplo : si < si > como < y como > Ejemplo : k como si si no se entre dierenci izq. y dch de Y en este cso no serí necesrio buscr por seprdo los límites lterles, y que l epresión lgebric de tnto por su izquierd pr < como por su derech pr > es l mism. IDEA INTUITIVA DE LÍMITES INFINITOS. ASÍNTOTAS VERTICALES Ejemplo : Consideremos l unción: de R { } D y cuy gráic es:

4 Si, los correspondientes vlores de y: y Se hcen cd vez más grndes en vlor bsoluto y son negtivos se not y Se escribe: Se lee: Límite de por l izquierd de es Si, los correspondientes vlores de y: y Se hcen cd vez más grndes sin ningún tope rel se not y Se escribe: Se lee: Límite de por l derech de es Ejemplo : Tomemos g de g R { } D y gráic opuest de : Observmos: g y g Ejemplo : Tomemos h h

5 Observmos: h h h Se escribe: h Se lee: Límite de h en el punto es Ejemplo : Se k k opuest de h Observmos: k k k Se lee: Límite de k en el punto es En todos los csos se dice que l rect de ecución es un síntot verticl. En generl: Se escribe: ± Y:. Se dice que el límite de en o los lterles es ± es un A.V. de y ± Deinición de A.V. 5

6 Algebricmente: El cálculo del límite de usndo l órmul se hce sí: Ejemplo : R por Cundo sle en el denomindor: su signiicdo en el cálculo de límites es denomindor tiende denomindor. L tendenci del denomindor puede ser: - Por vlores positivos denomindor:,,, si es que - Por vlores negtivos denomindor: -, -, -, si es que Por eso cundo sle en el denomindor, se clculn los límites lterles:.. '9,'99,... ',',... Con lo cul podemos conocer l posición reltiv de y con respecto su síntot verticl En generl si l clculr: sle con l es A.V. de. l Bsándonos en ello, ls síntots verticles de un unción y se obtienen entre los vlores que nuln l denomindor y no nuln el numerdor. Pr clculr ls A.V. de un unción : Denomindor Despejmos :, b, c,... y sustituimos, b, c,.. en el numerdor. Si en dichos vlores el numerdor es,, b, c,... son A.V. Si pr, el numerdor se hce, veremos lo que ps más delnte. IDEA INTUITIVA DE LÍMITES EN EL INFINITO. ASÍNTOTAS HORIZONTALES. RAMAS PARABÓLICAS Ejemplo : de R Tomemos D y gráic: Observ: 6

7 A medid que tom vlores que se representn más l izquierd sobre el eje de bsciss,,,, que se not, ls ordends, y correspondientes, tienden ; que se not: y. y 98 8 y Se escribe: Se lee: Límite de cundo tiende es. Ejemplo : Tomemos hor g con g R D y gráic: Observ que: A medid que tom vlores cd vez myores, que se representn cd vez más l derech sobre el eje de bsciss,,,, y se not, sus ordends y correspondientes se proimn cd vez más : y 98 y Se escribe: g. Y se lee: Límite de g cundo tiende es. Ejemplo : Se h con h R { } Observmos que: D y gráic: h y h. En todos los csos se dice que l rect de ecución y es un síntot horizontl A.H. de h.

8 En generl: Si y es un unción cuy gráic se comport de l orm: Se escribe: Y: b R ó b R ó b R ± y b es A.H. de y b R Deinición A.H. o Algebricmente: El cálculo de los límites en el ininito prenderemos hcerlo cundo se estudien ls propieddes del cálculo de límites. Ejemplo : Dds ls unciones: y de dominio R y gráics: g Observmos: g g En todos los csos se trt de límites ininitos en el ininito: ± Cundo l gráic no se proim ningun rect oblicu y se cumple que ± ± ±, se dice que y tiene un rm prbólic. Por l derech si 8

9 ± coss. En generl: y por l izquierd si ±, y por mbos ldos si ocurren ls dos y tiene un R.P. ± Deinición de R.P o y Grá no se proim ningun rect ASÍNTOTAS OBLICUAS.- Pr lguns unciones ocurre que cundo ó proimrse un rect oblicu, llmd síntot oblicu de l unción:, se observ que su gráic tiende L rect y m n con m es síntot oblicu de y [ m n ] o Como se observ en l gráic si ó AP. El método generl pr clculr ls síntots oblicus de un unción es el siguiente: Si l clculr ls A.H de puede que se un nº rel o un ecución: Y si l clculr el y m n,siendo y, obtenemos: ±, clculmos o o, que ±. Si este último es rel, l unción y tiene un A.O. de m y n [ m] o o, sle un ±, entonces l unción y tiene un R.P. o En resumen: Si ± : se clcul: ± m R AO.. clcul : n ± R. P ±. 9

10 PROPIEDADES INDETERMINACIONES. ± g ± g ± l ± ± ± ±. g g ± ± ± k k con k constnte ± ± ± ± l Regl de los signos pr el producto y l ± ± ± Regl de los signos pr el producto. g ± ± g ± l ± ± l ± Regl de los signo pr el cociente l l R incluido l ± ± Regl de los signos pr el cociente l R incluido l l. ± g ± g ± n n ± ± l si l > l si l < l si l > si < l < l si l > si < l < Entre ls propieddes nteriores ltn los siguientes csos, en los que no hy ningun regl ij:

11 . ± ±.. ±. 5. ± 6.. En estos csos se trt de indeterminciones. Cundo l clculr el límite de l unción prece un indeterminción, hy que evitrl usndo estrtegis de cálculo que dependerán de l orm que teng l epresión lgebric de l unción y del tipo de indeterminción que nos hy slido. CÁLCULO ALGEBRAICO DE LÍMITES: Tendremos en cuent demás de ls propieddes nteriores: k k siendo k constnte. ± P P P ± ± siendo P un polinomio. dependiendo del signo del coeiciente principl y del grdo de P Indeterminción ± ± Si es rcionl P P y Q polinomios. En todos los csos, pr evitr l indeterminción, se divide ± Q numerdor y denomindor por l de myor grdo del denomindor. Ejemplo : Ejemplo : 5 5 Ejemplo : 5

12 Si es irrcionl: Se evit dividiendo numerdor y denomindor entre l de myor grdo del denomindor igul que si uese rcionl. Si el denomindor tiene ríz, se dividen entre l ríz de es potenci de. Ejemplo: Indeterminción: Si es rcionl: Q P Q P. Como P P es divisible por Teorem del resto. Lo mismo ocurre con Q. Pr evitr este tipo de indeterminción dividimos numerdor y denomindor por., ctorizándolos primero pr que se más cómodo hcer dich división. Ejemplo: indeterminción Dividimos numerdor y denomindor entre ctorizándolos primero pr que se más cómodo hcer dich división: : Si es irrcionl: Ejemplo: indeterminción que se evit multiplicndo numerdor y denomindor por el conjugdo de donde prece l ríz y posteriormente dividiendo por, en nuestro ejemplo por.

13 Indeterminción: Si es rcionl: Ejemplo :, se evit l indeterminción operndo rzones lgebrics y trnsormndo l epresión en un cociente de polinomios: Qued otr indeterminción que se evit dividiendo numerdor y denomindor por : 6 : Ejemplo :, se evit l indeterminción, como en el cso nterior, relizndo l operción y trnsormndo l rest en un sol rzón lgebric. 6 6 Indeterminción que se evit dividiendo por l de myor eponente del denomindor, en nuestro cso dividimos por : Si es irrcionl:

14 Si hy cociente se divide por l de myor eponente del denomindor con su ríz, en Ejemplo : cso de que le ecte lgun ríz., pr quitr l indeterminción se divide numerdor y denomindor entre : Ejemplo : denomindor por, pr quitr indeterminción se divide numerdor y Si no hy cociente sino sólo un rest de ríces, l indeterminción se evit Ejemplo : multiplicndo y dividiendo por el conjugdo: dividimos por el conjugdo: Indeterminción. Pr evitrl multiplicmos y Indeterminción que se evit dividiendo por l de myor eponente del denomindor, en nuestro cso

15 EJERCICIOS RESUELTOS DEL CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN.- Clcul rzondmente tods ls síntots de ls siguientes unciones: Ejercicio. A.V: Clculmos los vlores de que nuln l denomindor: que son ls posibles A.V. de l unción. Comprobmos si lo son o no, clculndo los límites en estos puntos: R ± es un A. V. Y l posición reltiv de l gráic de l unción respecto de se estudi clculndo los límites lterles: ' ' : R y D Luego: no es un A. V. En, hy un discontinuidd evitble A.H: ± ± ± ± y es A. H por l dch y por l izqd Y pr sber l posición reltiv de l R Grá respecto de l síntot: y : Comprció n con y Posición de con respecto A.H. ' ' ' 98 '98 No puede hber A.O.: Pues l unción tiene un A.H. por encim de l A.H >. <. por debjo de l A.H 5

16 Ejercicio. g A.V: Clculmos el vlor de que nul l denomindor, que es: posible A.V Comprobmos si lo es o no, clculndo el límite en ese punto: R ± g es un síntot verticl Y l posición reltiv de l gráic de l unción respecto de se estudi clculndo los límites lterles: g g '9 ' g ± A.H: ± ± ± ± ± no tiene síntots horizontles ± R A.O.: y m n Con m y n R, Que se clculn de l orm siguiente: m n g ± ± ± ± ± ± ± g m ± ± ± ± ± R n R m ± Luego l unción posee un síntot oblicu de ecución: y Si queremos conocer l posición reltiv de l Grá respecto de l A.O.: ' g A.O. ± ± y Comprció n g con y A.O. por encim de l A.O. 99' 99 g g por debjo de l A.O. 6

17 Ejercicio. h A.V: No tiene A.V., pues el denomindor es el y no se puede nulr. A.H: Clculmos el h ± ± R No hy A.H. A.O.: y m n Con m y n R, Que se clculn de l orm siguiente: m ± h ± ± ± R R Pr: m n Y l síntot oblicu tiene de ecución: Pr: m y n Y l síntot oblicu tiene de ecución: Como vemos tiene dos A.O. : Y l posición reltiv de l Grá h respecto de ells: ' 99 ' 99 y Por l dch : y Por l izqd : y h A.O. y Comprció nh con y A.O. h por debjo de l A.O 99. h por debjo de l A.O 99.

18 Ejercicio. k si < si A.V: Clculmos los vlores de que nuln los denomindores: que son ls posibles A.V. de l unción. Comprobmos si lo son o no, clculndo los límites en estos puntos: k k R es A. V. R ± k es A.V. Y l posición reltiv de l gráic de l unción respecto de se estudi clculndo los límites lterles: k k A.H: Clculmos el k ± '9 ' L posición reltiv de l Grá k respecto de ells: A. H. por l dch : y A. H. por l izqd : y k Comprció nk con A. H Posición de k con respecto A.H. ' ' ' ' < k por encim de l A.H >. k. por debjo de l A.H Observción: El estudio de l posición reltiv de l Grá de cd unción respecto de sus síntots no es riguroso, en cunto que dmos un solo vlor ó - que no tiene por qué 8

19 ser en vlor bsoluto suicientemente lto. Pero en l myorí de ls unciones que trbjremos en el curso, nos suele yudr y dr un ide clr de cómo se posicion l gráic de l unción. En culquier cso, podemos prescindir de dicho estudio y sustituirlo por l utilizción del resto de ls propieddes que teng l gráic de l unción, encjándols hst hcer un esbozo correcto de l gráic pedid. 9