UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

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1 UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Introducción Ide de ite Propieddes de los ites Operciones con. Indeterminciones Regls práctics pr l obtención del ite Asíntots horizontles y verticles Continuidd INTRODUCCIÓN En el siglo XVII encontrmos ls primers referencis l concepto de ite; precen en ls obrs de Fermt y Newton entre otros. Sin embrgo el trbjo más importnte cerc del ite se lo debemos Euler: su obr Introductio in Anlysim Infinitorum (748) constituye l piedr ngulr del Análisis mtemático. IDEA DE LÍMITE Límite de un función en un punto es el vlor l que se cercn ls imágenes [f()] cundo los orígenes () se proimn dicho punto. Los siguientes 4 ejemplos nos vn ir desvelndo spectos de lo que intuitivmente es el ite. Retrto de Leonhrd Euler pintdo por Emmnuel Hndmnn en 75 Ejemplos. º) f() Si se proim l vlor qué vlor se proim f()? (por l izquierd: < ) 9 99 (por l derech: > ) f() f() Observmos que l cercrse los orígenes tnto por l izquierd como por l derech sus imágenes se cercn 4: f () 4 ( < ) f () 4 ( > ) Conclusión: f() 4 4 Págin de 9

2 Pr que eist ite en un punto hn de eistir los ites lterles (por l izquierd y por l derech) y ser igules º) f() si En este cso el origen no tiene imgen pero eso no es impedimento pr que eist el ite y vlg 4. f() L ide de ite supone cercmiento sin llegr l vlor l que se tiende. Es decir l eistenci de ite en un punto es independiente de que eist o no l imgen de dicho punto 4 4 º) E( ) f() (número entero más próimo por defecto) ( < ) f () f () ( > ) Conclusión: f() Como los ites lterles son distintos no eiste ite 4º) f() Cundo nos cercmos l por l derech l función se dispr hci vlores tn grndes como quermos y decimos que tiende. Si nos cercmos l por l izquierd l función tiende. f() f() f() Si hcemos que los orígenes sen cd vez más grndes (tienden ) o cd vez más pequeños (tienden ) ls imágenes se cercn l : f() y f() Págin de 9

3 El es un bstrcción mtemátic pr indicr un cntidd tn grnde como quermos myor que culquier número rel. A pesr de NO ser un número concreto veremos que se puede mnipulr como tl en el cálculo de ites. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES I. UNICIDAD DEL LÍMITE: Si un función tiene ite en un punto éste es único II. Si f () L y g() M se cumple (en donde teng sentido l operción): [ f() ± g() ] f () ± g() L ± M Ejemplos. [ f() g() ] f () g() L M f() f () g() g() g() L M M [ f() ] f () L g() ( g o f )( ) g[ f() ] g f () g(l) f () f () [ sen f ()] sen( f ()) etc. º) ( 6) º) ( ) ( ) ª) ( ) 6 4ª) ( ) ( ) 5º) ( ) El represent lgo muy grnde. Si lo elevmos l cudrdo o lo multiplicmos por sigue siendo lgo muy grnde. Además si summos dos cntiddes muy grndes nos d otr cntidd tmbién muy grnde. 6º) ( ) ( ) Observmos que ls propieddes de los ites nos permiten hllrlo por simple sustitución de l por el vlor l que tiende. Esto sigue siendo válido con el si sbemos operr con él; pr ello rzonremos de form precid lo hecho en el recudro nterior y utilizremos el criterio de signos. Págin de 9

4 OPERACIONES CON EL INFINITO. INDETERMINACIONES Algunos resultdos con el son los que se muestrn continución. Aquellos csos en los que ls operciones no tienen sentido y que el vlor depende de cd problem en prticulr se denominn indeterminciones. Se k R con k > : Sum y rest ( ) ( ) ( ) ( ) k ( ± ) ± Indeterminción: IMPORTANTE: En l teorí de ites tnto los números reles como el representn cntiddes ls que nos cercmos progresivmente. De este modo cundo escribimos queremos indicr l tendenci de un función con ite elevd otr función cuyo ite es. Producto y cociente ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ± k ( ) ± ± k ( ) m ± k ± k ± k ± m ± ± k Indeterminciones: Potenci k ( ) si k > si < k < k si k > si k < JUSTIFICACIÓN CASERA DE LAS INDETERMINACIONES y !! 5 5 ln ln e e ln ln e e ln ln e e e e e! Indeterminciones: REGLAS PRÁCTICAS PARA LA OBTENCIÓN DEL LÍMITE º) Se sustituye l de l función por el número l que tiende: 4. Al utilizr este procedimiento nos puede quedr un indeterminción que hbrá que resolver con cierts estrtegis: Págin 4 de 9

5 INDETERMI- NACIÓN ESTRATEGIA EN FUNCIONES RACIONALES: Se descompone en fctores y se simplific. EN FUNCIONES IRRACIONALES: Multiplicmos y dividimos por el conjugdo. EN FUNCIONES POLINÓMICAS: Nos quedmos con el monomio de myor grdo desprecindo los demás EN FUNCIONES RACIONALES: Se efectú l operción EN FUNCIONES IRRACIONALES: Multiplicmos y dividimos por el conjugdo. Dividimos numerdor y denomindor entre l myor potenci de l eistente en el denomindor (o entre l myor potenci de tod l epresión). En cociente de polinomios podemos ctur sí: m m m... m lim lim n b... b b n n bn m bn si m > n si m < n si m Simplificmos si es posible e intentmos obtener otr indeterminción Se plic l siguiente fórmul: (el eponente puede tender ó ) Se tiene en cuent: lim lim b) Regl de L Hôpitl (plicble tmbién ls demás indeterminciones): lim ó n ) ) EJEMPLOS lim lim ) lim 5 4) lim 5) lim ( ) 5 6) lim 6 7) lim 8) lim 8 9) ( ) ) lim 4 lim OBSERVACIÓN: A veces result útil este cmbio: lim f () lim f ( ) º) Conviene estudir los ites lterles en los siguientes csos: k Cundo el resultdo es con k R. En este cso el ite si eiste es ó. Ejemplo ): En funciones trozos cundo se intent hllr el ite en los puntos en que se ps de un función otr. si < Ejemplo ): f () siendo f() si En ls indeterminciones cundo interviene el vlor bsoluto. Ejemplo ): Págin 5 de 9

6 Ejemplo : ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo : lìm ( ) ( ) ( ) 6 Ejemplo : 5 Ejemplo 4: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ejemplo 5: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) Ejemplo 6: L myor potenci 5 del denomindor es: Ejemplo 7: Como nos quedmos con el término principl de cd polinomio 8 8 Ejemplo 8: 8 λ Ejemplo 9: ( 4) e siendo: λ ( 4 ) Por tnto : ( 4) e λ ln - Ejemplo : e siendo: λ ln (- ) (L Hôpitl) / λ ( - ). Por tnto: e -/ Ejemplo : ;. Por tnto NO eiste el ite Págin 6 de 9

7 Ejemplo : si < f() ; si Dch.: f () Izd.: f () f() Ejemplo : Dch.: Izd.: ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y VERTICALES Un síntot es quell rect l que se proim pultinmente l función y que se supone que coincide con ell en el infinito. Asíntots horizontles (AH) Si f() b y b es ó AH Un función puede tener como máimo dos AH En funciones rcionles hy AH si el grdo del numerdor es menor o igul que el del denomindor. En este cso l mism rect es síntot hci y Ej.) f() lim lim y y es AH es AH hci hci f () < y f () > Asíntots verticles (AV) Si f() ± ó Ej.) f() lim lim es AV es AV por l derech es AV por l izquierd Un función puede tener infinits AV En funciones rcionles ls AV se encuentrn en los vlores que nuln el denomindor sin nulr el numerdor Págin 7 de 9

8 Ejercicio. Determin ls síntots de l función y ( ) ( ) CONTINUIDAD Definición Por tnto AV: No hy AH: y (síntot hci ) Hcemos que cost de cmbir l por f() continu en GRÁFICAMENTE: L función no está rot en (pr dibujrl no hy que levntr el lápiz del ppel en ese punto) ANALÍTICAMENTE: lim f() f() L iguldd nlític grntiz que el vlor que cbe esperr de l función l cercrnos es el que relmente tiene no hy sltos inesperdos. L definición nterior supone tres condiciones: ª. f() y es finito ª. f () ª. Los vlores nteriores coinciden Se dice que un función es discontinu en un punto si no cumple lgun de ls condiciones nteriores. Ls tres funciones siguientes son discontinus en por diferentes motivos: f() g() h() f() Discontinuidd no evitble (no eiste ite finito) g() h() h() Discontinuidd evitble (eiste ite finito) Págin 8 de 9

9 Observciones práctics ª. Un función es continu en un intervlo bierto si lo es en cd uno de sus puntos. ª. Ls funciones elementles y ls definids por operciones con ells son continus en todo su dominio. Además si un función es continu tmbién lo será su vlor bsoluto. log Ej.) f() ; Dom(f) R {} f() continu en R {} Sin embrgo unque no eiste f() sí eiste el ite: ( ) ( ) Ej.) f() ; f() ; Dom(f) R {} f() continu en R {} ( ) f() Est discontinuidd se llm evitble y que podemos redefinir l función forzndo que l imgen de coincid con el ite cundo : g() si si ( g() es continu en R ) g() ª. En funciones trozos hemos de estudir cd trozo (función) por seprdo y después plicr l definición en los puntos en que se ps de un trozo otro. (NOTA: Ls funciones con vlor bsoluto pueden epresrse como funciones trozos) Ej.) f () si si < Pr < : y es discontinu en pero no fect f() Pr > : y es continu en todo R Pr : f() f () f () CONCLUSIÓN: f() es continu en R {} OBSERVACIÓN: L función es discontinu en porque no eiste el ite en ese punto l no coincidir los ites lterles. Sin embrgo el ite por l derech coincide con l imgen del : en estos csos se hbl de continuidd lterl es decir f() es continu por l derech en y que: f () f () Los ites lterles no coinciden. Por tnto no hy ite en y f() es discontinu en ese punto. Págin 9 de 9